Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2even Structured version   Unicode version

Theorem 2even 32978
Description: 2 is an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
Assertion
Ref Expression
2even  |-  2  e.  E
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    E( x, z)

Proof of Theorem 2even
StepHypRef Expression
1 2z 10835 . . 3  |-  2  e.  ZZ
2 2cn 10545 . . . 4  |-  2  e.  CC
3 1zzd 10834 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  ->  1  e.  ZZ )
4 oveq2 6226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
54eqeq2d 2410 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
2  =  ( 2  x.  x )  <->  2  =  ( 2  x.  1 ) ) )
65adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  =  1 )  ->  ( 2  =  ( 2  x.  x
)  <->  2  =  ( 2  x.  1 ) ) )
7 mulid1 9526 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
87eqcomd 2404 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
93, 6, 8rspcedvd 3157 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  ->  E. x  e.  ZZ  2  =  ( 2  x.  x ) )
102, 9ax-mp 5 . . 3  |-  E. x  e.  ZZ  2  =  ( 2  x.  x )
11 eqeq1 2400 . . . . 5  |-  ( z  =  2  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  2  =  ( 2  x.  x
) ) )
1211rexbidv 2910 . . . 4  |-  ( z  =  2  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  2  =  ( 2  x.  x ) ) )
1312elrab 3199 . . 3  |-  ( 2  e.  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  2  =  ( 2  x.  x ) ) )
141, 10, 13mpbir2an 918 . 2  |-  2  e.  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
15 2zrng.e . 2  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
1614, 15eleqtrri 2483 1  |-  2  e.  E
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1836   E.wrex 2747   {crab 2750  (class class class)co 6218   CCcc 9423   1c1 9426    x. cmul 9430   2c2 10524   ZZcz 10803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-z 10804
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  32994
  Copyright terms: Public domain W3C validator