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Theorem 2eu8 2364
Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. Curiously, we can put  E! on either of the internal conjuncts but not both. We can also commute  E! x E! y using 2eu7 2363. (Contributed by NM, 20-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
2eu8  |-  ( E! x E! y ( E. x ph  /\  E. y ph )  <->  E! x E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) )

Proof of Theorem 2eu8
StepHypRef Expression
1 2eu2 2356 . . 3  |-  ( E! x E. y ph  ->  ( E! y E! x ph  <->  E! y E. x ph ) )
21pm5.32i 641 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) )
3 nfeu1 2278 . . . . 5  |-  F/ x E! x ph
43nfeu 2284 . . . 4  |-  F/ x E! y E! x ph
54euan 2329 . . 3  |-  ( E! x ( E! y E! x ph  /\  E. y ph )  <->  ( E! y E! x ph  /\  E! x E. y ph ) )
6 ancom 451 . . . . . 6  |-  ( ( E! x ph  /\  E. y ph )  <->  ( E. y ph  /\  E! x ph ) )
76eubii 2290 . . . . 5  |-  ( E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) 
<->  E! y ( E. y ph  /\  E! x ph ) )
8 nfe1 1892 . . . . . 6  |-  F/ y E. y ph
98euan 2329 . . . . 5  |-  ( E! y ( E. y ph  /\  E! x ph ) 
<->  ( E. y ph  /\  E! y E! x ph ) )
10 ancom 451 . . . . 5  |-  ( ( E. y ph  /\  E! y E! x ph ) 
<->  ( E! y E! x ph  /\  E. y ph ) )
117, 9, 103bitri 274 . . . 4  |-  ( E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) 
<->  ( E! y E! x ph  /\  E. y ph ) )
1211eubii 2290 . . 3  |-  ( E! x E! y ( E! x ph  /\  E. y ph )  <->  E! x
( E! y E! x ph  /\  E. y ph ) )
13 ancom 451 . . 3  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! y E! x ph  /\  E! x E. y ph ) )
145, 12, 133bitr4ri 281 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  E! x E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) )
15 2eu7 2363 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  E! x E! y ( E. x ph  /\  E. y ph ) )
162, 14, 153bitr3ri 279 1  |-  ( E! x E! y ( E. x ph  /\  E. y ph )  <->  E! x E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370   E.wex 1659   E!weu 2266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-eu 2270  df-mo 2271
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