Theorem 2eu7 2389

Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2eu7	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )

Proof of Theorem 2eu7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1922	. . . 4 |- F/ x E. x ph
2	1	nfeu 2316	. . 3 |- F/ x E! y E. x ph
3	2	euan 2360	. 2 |- ( E! x ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E! x E. y ph ) )
4		ancom 456	. . . . 5 |- ( ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E. y ph /\ E. x ph ) )
5	4	eubii 2322	. . . 4 |- ( E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! y ( E. y ph /\ E. x ph ) )
6		nfe1 1922	. . . . 5 |- F/ y E. y ph
7	6	euan 2360	. . . 4 |- ( E! y ( E. y ph /\ E. x ph ) <-> ( E. y ph /\ E! y E. x ph ) )
8		ancom 456	. . . 4 |- ( ( E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
9	5, 7, 8	3bitri 279	. . 3 |- ( E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
10	9	eubii 2322	. 2 |- ( E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! x ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
11		ancom 456	. 2 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E! x E. y ph ) )
12	3, 10, 11	3bitr4ri 286	1 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )

Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 375   E.wex 1667   E!weu 2300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 377  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-eu 2304

This theorem is referenced by:  2eu8  2390