Theorem 2eu7 2382

Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2eu7	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )

Proof of Theorem 2eu7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1780	. . . 4 |- F/ x E. x ph
2	1	nfeu 2281	. . 3 |- F/ x E! y E. x ph
3	2	euan 2340	. 2 |- ( E! x ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E! x E. y ph ) )
4		ancom 450	. . . . 5 |- ( ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E. y ph /\ E. x ph ) )
5	4	eubii 2287	. . . 4 |- ( E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! y ( E. y ph /\ E. x ph ) )
6		nfe1 1780	. . . . 5 |- F/ y E. y ph
7	6	euan 2340	. . . 4 |- ( E! y ( E. y ph /\ E. x ph ) <-> ( E. y ph /\ E! y E. x ph ) )
8		ancom 450	. . . 4 |- ( ( E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
9	5, 7, 8	3bitri 271	. . 3 |- ( E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
10	9	eubii 2287	. 2 |- ( E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! x ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
11		ancom 450	. 2 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E! x E. y ph ) )
12	3, 10, 11	3bitr4ri 278	1 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   E.wex 1587   E!weu 2262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-eu 2266

This theorem is referenced by:  2eu8  2383