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Theorem 2eu6 2378
Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
2eu6  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w    ph, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2eu6
StepHypRef Expression
1 2eu4 2375 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2 nfia1 1889 . . . . . 6  |-  F/ x
( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
3 nfa1 1833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )
4 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  x  =  z
5 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  x  =  z )
65imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( ph  ->  x  =  z ) )
76sps 1802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
83, 4, 7exlimd 1849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  ( E. y ph  ->  x  =  z ) )
9 ax12v 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ph  ->  A. x
( x  =  z  ->  E. y ph )
) )
108, 9syli 37 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  ( E. y ph  ->  A. x
( x  =  z  ->  E. y ph )
) )
1110com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ph  ->  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  A. x
( x  =  z  ->  E. y ph )
) )
1211spsd 1804 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ph  ->  ( A. x A. y (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  ->  A. x ( x  =  z  ->  E. y ph ) ) )
13 nfs1v 2149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y [ w  /  y ] ph
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  y  =  w )
1514imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( ph  ->  y  =  w ) )
16 sbequ1 1944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  ( ph  ->  [ w  / 
y ] ph )
)
1715, 16syli 37 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( ph  ->  [ w  /  y ] ph ) )
1817sps 1802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  ( ph  ->  [ w  /  y ] ph ) )
193, 13, 18exlimd 1849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  ( E. y ph  ->  [ w  /  y ] ph ) )
2019imim2d 52 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  ( (
x  =  z  ->  E. y ph )  -> 
( x  =  z  ->  [ w  / 
y ] ph )
) )
2120al2imi 1607 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  ->  ( A. x ( x  =  z  ->  E. y ph )  ->  A. x
( x  =  z  ->  [ w  / 
y ] ph )
) )
22 sb6 2140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ z  /  x ] [ w  /  y ] ph  <->  A. x ( x  =  z  ->  [ w  /  y ] ph ) )
23 2sb6 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ z  /  x ] [ w  /  y ] ph  <->  A. x A. y
( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
2422, 23bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( x  =  z  ->  [ w  /  y ] ph ) 
<-> 
A. x A. y
( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
2521, 24syl6ib 226 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  ->  ( A. x ( x  =  z  ->  E. y ph )  ->  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
) )
2612, 25sylcom 29 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ph  ->  ( A. x A. y (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  ->  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) ) )
2726ancld 553 . . . . . . 7  |-  ( E. y ph  ->  ( A. x A. y (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  /\  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
) ) )
28 2albiim 1667 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  /\  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
) )
2927, 28syl6ibr 227 . . . . . 6  |-  ( E. y ph  ->  ( A. x A. y (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  ->  A. x A. y (
ph 
<->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
302, 29exlimi 1847 . . . . 5  |-  ( E. x E. y ph  ->  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
31302eximdv 1679 . . . 4  |-  ( E. x E. y ph  ->  ( E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
3231imp 429 . . 3  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )  ->  E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
33 bi2 198 . . . . . . 7  |-  ( (
ph 
<->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  ->  (
( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
34332alimi 1606 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
35342eximi 1627 . . . . 5  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  E. z E. w A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
36 2exsb 2189 . . . . 5  |-  ( E. x E. y ph  <->  E. z E. w A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
3735, 36sylibr 212 . . . 4  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  E. x E. y ph )
38 bi1 186 . . . . . 6  |-  ( (
ph 
<->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  ->  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
39382alimi 1606 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
40392eximi 1627 . . . 4  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
4137, 40jca 532 . . 3  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  ->  ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
4232, 41impbii 188 . 2  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )  <->  E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
431, 42bitri 249 1  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  E. z E. w A. x A. y ( ph  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   [wsb 1702   E!weu 2260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265
This theorem is referenced by: (None)
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