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Theorem 2eu1OLD 2363
Description: Obsolete proof of 2eu1 2362 as of 11-Nov-2019. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
2eu1OLD  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph 
<->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )

Proof of Theorem 2eu1OLD
StepHypRef Expression
1 eu5 2296 . . . . . . . 8  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph ) )
2 eu5 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! y ph  <->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
32exbii 1654 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E! y ph  <->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
42mobii 2293 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x E! y ph  <->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
53, 4anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph )  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
61, 5bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
76simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( E! x E! y ph  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
8 sp 1845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x E* y ph  ->  E* y ph )
98anim2i 569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. y ph  /\  A. x E* y ph )  ->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
109ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x E* y ph  /\  E. y ph )  ->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1110moimi 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  E* x ( A. x E* y ph  /\  E. y ph ) )
12 nfa1 1883 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x E* y ph
1312moanim 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( A. x E* y ph  /\  E. y ph )  <->  ( A. x E* y ph  ->  E* x E. y ph ) )
1411, 13sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( E* x ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  ( A. x E* y ph  ->  E* x E. y ph )
)
1514ancrd 554 . . . . . . 7  |-  ( E* x ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  ( A. x E* y ph  ->  ( E* x E. y ph  /\ 
A. x E* y ph ) ) )
16 2moswap 2355 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E* x E. y ph  ->  E* y E. x ph ) )
1716com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( E* x E. y ph  ->  ( A. x E* y ph  ->  E* y E. x ph )
)
1817imdistani 690 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x E. y ph  /\  A. x E* y ph )  -> 
( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) )
1915, 18syl6 33 . . . . . 6  |-  ( E* x ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  ( A. x E* y ph  ->  ( E* x E. y ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
207, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( E! x E! y ph  ->  ( A. x E* y ph  ->  ( E* x E. y ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
21 2eu2ex 2354 . . . . . 6  |-  ( E! x E! y ph  ->  E. x E. y ph )
22 excom 1835 . . . . . . 7  |-  ( E. x E. y ph  <->  E. y E. x ph )
2321, 22sylib 196 . . . . . 6  |-  ( E! x E! y ph  ->  E. y E. x ph )
2421, 23jca 532 . . . . 5  |-  ( E! x E! y ph  ->  ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph ) )
2520, 24jctild 543 . . . 4  |-  ( E! x E! y ph  ->  ( A. x E* y ph  ->  (
( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  /\  ( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) ) ) )
26 eu5 2296 . . . . . 6  |-  ( E! x E. y ph  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )
27 eu5 2296 . . . . . 6  |-  ( E! y E. x ph  <->  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )
2826, 27anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
29 an4 824 . . . . 5  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )  <-> 
( ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  /\  ( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) ) )
3028, 29bitri 249 . . . 4  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E. y E. x ph )  /\  ( E* x E. y ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
3125, 30syl6ibr 227 . . 3  |-  ( E! x E! y ph  ->  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) ) )
3231com12 31 . 2  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
33 2exeu 2357 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )
3432, 33impbid1 203 1  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph 
<->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1381   E.wex 1599   E!weu 2268   E*wmo 2269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-eu 2272  df-mo 2273
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