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Theorem 2eu1 2193
Description: Double existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2eu1  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph 
<->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )

Proof of Theorem 2eu1
StepHypRef Expression
1 eu5 2151 . . . . . . . 8  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph ) )
2 eu5 2151 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! y ph  <->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
32exbii 1580 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x E! y ph  <->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
42mobii 2149 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x E! y ph  <->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
53, 4anbi12i 681 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph )  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
61, 5bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
76simprbi 452 . . . . . 6  |-  ( E! x E! y ph  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
8 ax-4 1692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x E* y ph  ->  E* y ph )
98anim2i 555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. y ph  /\  A. x E* y ph )  ->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
109ancoms 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x E* y ph  /\  E. y ph )  ->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1110immoi 2160 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  E* x ( A. x E* y ph  /\  E. y ph ) )
12 nfa1 1719 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x E* y ph
1312moanim 2169 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x ( A. x E* y ph  /\  E. y ph )  <->  ( A. x E* y ph  ->  E* x E. y ph ) )
1411, 13sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( E* x ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  ( A. x E* y ph  ->  E* x E. y ph )
)
1514ancrd 539 . . . . . . 7  |-  ( E* x ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  ( A. x E* y ph  ->  ( E* x E. y ph  /\ 
A. x E* y ph ) ) )
16 2moswap 2188 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E* x E. y ph  ->  E* y E. x ph ) )
1716com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( E* x E. y ph  ->  ( A. x E* y ph  ->  E* y E. x ph )
)
1817imdistani 674 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x E. y ph  /\  A. x E* y ph )  -> 
( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) )
1915, 18syl6 31 . . . . . 6  |-  ( E* x ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  ( A. x E* y ph  ->  ( E* x E. y ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
207, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( E! x E! y ph  ->  ( A. x E* y ph  ->  ( E* x E. y ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
21 2eu2ex 2187 . . . . . 6  |-  ( E! x E! y ph  ->  E. x E. y ph )
22 excom 1765 . . . . . . 7  |-  ( E. x E. y ph  <->  E. y E. x ph )
2321, 22sylib 190 . . . . . 6  |-  ( E! x E! y ph  ->  E. y E. x ph )
2421, 23jca 520 . . . . 5  |-  ( E! x E! y ph  ->  ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph ) )
2520, 24jctild 529 . . . 4  |-  ( E! x E! y ph  ->  ( A. x E* y ph  ->  (
( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  /\  ( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) ) ) )
26 eu5 2151 . . . . . 6  |-  ( E! x E. y ph  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )
27 eu5 2151 . . . . . 6  |-  ( E! y E. x ph  <->  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )
2826, 27anbi12i 681 . . . . 5  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
29 an4 800 . . . . 5  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )  <-> 
( ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  /\  ( E* x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) ) )
3028, 29bitri 242 . . . 4  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E. y E. x ph )  /\  ( E* x E. y ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
3125, 30syl6ibr 220 . . 3  |-  ( E! x E! y ph  ->  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) ) )
3231com12 29 . 2  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
33 2exeu 2190 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )
3432, 33impbid1 196 1  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph 
<->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537   E!weu 2114   E*wmo 2115
This theorem is referenced by:  2eu2  2194  2eu3  2195  2eu5  2197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119
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