Theorem 2eu1 2393

Description: Double existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 11-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2eu1	|- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph <-> ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2eu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2eu2ex 2386	. . . . 5 |- ( E! x E! y ph -> E. x E. y ph )
2		df-mo 2315	. . . . . . 7 |- ( E* y ph <-> ( E. y ph -> E! y ph ) )
3	2	albii 1702	. . . . . 6 |- ( A. x E* y ph <-> A. x ( E. y ph -> E! y ph ) )
4		euim 2363	. . . . . . 7 |- ( ( E. x E. y ph /\ A. x ( E. y ph -> E! y ph ) ) -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) )
5	4	ex 440	. . . . . 6 |- ( E. x E. y ph -> ( A. x ( E. y ph -> E! y ph ) -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) ) )
6	3, 5	syl5bi 225	. . . . 5 |- ( E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) ) )
7	1, 6	syl 17	. . . 4 |- ( E! x E! y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) ) )
8	7	pm2.43b 52	. . 3 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> E! x E. y ph ) )
9		2euswap 2388	. . . 4 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E. y ph -> E! y E. x ph ) )
10	8, 9	syld 45	. . 3 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> E! y E. x ph ) )
11	8, 10	jcad 540	. 2 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph -> ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) ) )
12		2exeu 2389	. 2 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) -> E! x E! y ph )
13	11, 12	impbid1 208	1 |- ( A. x E* y ph -> ( E! x E! y ph <-> ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1453   E.wex 1674   E!weu 2310   E*wmo 2311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-eu 2314  df-mo 2315

This theorem is referenced by:  2eu2  2394  2eu3  2395  2eu5  2397