Theorem 2elresin 4524

Description: Membership in two functions restricted by each other's domain.

Assertion

Ref	Expression
2elresin	|- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) <-> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))

Proof of Theorem 2elresin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnop 4516	. . . . . . 7 |- ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
2		fnop 4516	. . . . . . 7 |- ((G Fn B /\ <.x, z>. e. G) -> x e. B)
3	1, 2	anim12i 360	. . . . . 6 |- (((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) /\ (G Fn B /\ <.x, z>. e. G)) -> (x e. A /\ x e. B))
4		an4 564	. . . . . 6 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) <-> ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) /\ (G Fn B /\ <.x, z>. e. G)))
5		elin 2786	. . . . . 6 |- (x e. (A i^i B) <-> (x e. A /\ x e. B))
6	3, 4, 5	3imtr4i 236	. . . . 5 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) -> x e. (A i^i B))
7		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
8	7	opres 4225	. . . . . . 7 |- (x e. (A i^i B) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) <-> <.x, y>. e. F))
9		visset 2295	. . . . . . . 8 |- z e. _V
10	9	opres 4225	. . . . . . 7 |- (x e. (A i^i B) -> (<.x, z>. e. (G |` (A i^i B)) <-> <.x, z>. e. G))
11	8, 10	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (x e. (A i^i B) -> ((<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)))
12	11	biimprd 171	. . . . 5 |- (x e. (A i^i B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
13	6, 12	syl 12	. . . 4 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
14	13	ex 402	. . 3 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))))))
15	14	pm2.43d 79	. 2 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
16		resss 4237	. . . 4 |- (F |` (A i^i B)) C_ F
17	16	sseli 2617	. . 3 |- (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) -> <.x, y>. e. F)
18		resss 4237	. . . 4 |- (G |` (A i^i B)) C_ G
19	18	sseli 2617	. . 3 |- (<.x, z>. e. (G |` (A i^i B)) -> <.x, z>. e. G)
20	17, 19	anim12i 360	. 2 |- ((<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))) -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G))
21	15, 20	impbid1 575	1 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) <-> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   i^i cin 2592  <.cop 3046   |` cres 3988   Fn wfn 3993

This theorem is referenced by:  tfrlem5 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-dm 4004  df-res 4006  df-fun 4008  df-fn 4009

Copyright terms: Public domain