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Theorem 2elfz2melfz 30225
Description: If the sum of two integers of a 0 based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0 based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2elfz2melfz  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) ) )

Proof of Theorem 2elfz2melfz
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11472 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  ZZ )
2 elfzel2 11470 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3 elfzelz 11472 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  e.  ZZ )
4 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
5 zsubcl 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A
)  e.  ZZ )
65adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A )  e.  ZZ )
74, 6zsubcld 10771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  -  ( N  -  A
) )  e.  ZZ )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ZZ )
9 zre 10669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
11 zaddcl 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
1211zred 10766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
1312expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  B
)  e.  RR ) )
1514imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
1610, 15, 10ltsub1d 9967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  <->  ( N  -  N )  <  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
17 zre 10669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
189, 17anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
19 zre 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2018, 19anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR ) )
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  RR )
2221, 21resubcld 9795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  N )  e.  RR )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N  -  N )  e.  RR )
24 readdcl 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
2524expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  B
)  e.  RR ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
28 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
2927, 28resubcld 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  -  N )  e.  RR )
3023, 29jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( N  -  N )  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  -  N )  e.  RR ) )
31 ltle 9482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  N
)  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  -  N
)  e.  RR )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  ( N  -  N )  <_  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
3220, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  ( N  -  N )  <_  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
33 zcn 10670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3433subidd 9726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  N )  =  0 )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  N )  =  0 )
36 zcn 10670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3933ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
40 zcn 10670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
42 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
43 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
4442, 43addcomd 9590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) )
4544oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( B  +  A )  -  N ) )
46 subsub3 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  =  ( ( B  +  A )  -  N
) )
4745, 46eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( B  -  ( N  -  A
) ) )
4838, 39, 41, 47syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  +  B )  -  N )  =  ( B  -  ( N  -  A ) ) )
4935, 48breq12d 4324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  <_ 
( ( A  +  B )  -  N
)  <->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5032, 49sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5116, 50sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A )
) )
53 elnn0z 10678 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  NN0  <->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( B  -  ( N  -  A )
) ) )
548, 52, 53sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 )
5554exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( A  +  B )  ->  ( B  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
) )
562, 3, 55syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( A  +  B )  -> 
( B  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
) )
571, 56mpan9 469 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 ) )
5857imp 429 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 )
59 elfznn0 11500 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  NN0 )
6059ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  A  e.  NN0 )
61 elfzle2 11474 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  <_  N )
6261adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  <_  N
)
63 elfzel2 11470 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
6463zcnd 10767 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  CC )
651zcnd 10767 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  CC )
6664, 65jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
6766adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
68 npcan 9638 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( N  -  A )  +  A
)  =  N )
6967, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  A )  +  A )  =  N )
7062, 69breqtrrd 4337 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  <_  (
( N  -  A
)  +  A ) )
713zred 10766 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  e.  RR )
7271adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  RR )
7363zred 10766 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
741zred 10766 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  RR )
7573, 74resubcld 9795 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
7675adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
7774adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  RR )
7872, 76, 77lesubadd2d 9957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  <_  A 
<->  B  <_  ( ( N  -  A )  +  A ) ) )
7970, 78mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B  -  ( N  -  A
) )  <_  A
)
8079adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  <_  A )
81 elfz2nn0 11499 . . 3  |-  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 
/\  ( B  -  ( N  -  A
) )  <_  A
) )
8258, 60, 80, 81syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) )
8382ex 434 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4311  (class class class)co 6110   CCcc 9299   RRcr 9300   0cc0 9301    + caddc 9304    < clt 9437    <_ cle 9438    - cmin 9614   NN0cn0 10598   ZZcz 10665   ...cfz 11456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457
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