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Theorem 2elfz2melfz 31758
Description: If the sum of two integers of a 0 based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0 based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2elfz2melfz  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) ) )

Proof of Theorem 2elfz2melfz
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11677 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  ZZ )
2 elfzel2 11675 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3 elfzelz 11677 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  e.  ZZ )
4 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
5 zsubcl 10894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A
)  e.  ZZ )
65adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A )  e.  ZZ )
74, 6zsubcld 10960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  -  ( N  -  A
) )  e.  ZZ )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ZZ )
9 zre 10857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
11 zaddcl 10892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
1211zred 10955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
1312expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  B
)  e.  RR ) )
1514imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
1610, 15, 10ltsub1d 10150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  <->  ( N  -  N )  <  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
17 zre 10857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
189, 17anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
19 zre 10857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2018, 19anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR ) )
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  RR )
2221, 21resubcld 9976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  N )  e.  RR )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N  -  N )  e.  RR )
24 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
2524expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  B
)  e.  RR ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
28 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
2927, 28resubcld 9976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  -  N )  e.  RR )
3023, 29jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( N  -  N )  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  -  N )  e.  RR ) )
31 ltle 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  N
)  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  -  N
)  e.  RR )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  ( N  -  N )  <_  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
3220, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  ( N  -  N )  <_  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
33 zcn 10858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3433subidd 9907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  N )  =  0 )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  N )  =  0 )
36 zcn 10858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3933ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
40 zcn 10858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
42 simp3 993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
43 simp1 991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
4442, 43addcomd 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) )
4544oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( B  +  A )  -  N ) )
46 subsub3 9840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  =  ( ( B  +  A )  -  N
) )
4745, 46eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( B  -  ( N  -  A
) ) )
4838, 39, 41, 47syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  +  B )  -  N )  =  ( B  -  ( N  -  A ) ) )
4935, 48breq12d 4453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  <_ 
( ( A  +  B )  -  N
)  <->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5032, 49sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5116, 50sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A )
) )
53 elnn0z 10866 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  NN0  <->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( B  -  ( N  -  A )
) ) )
548, 52, 53sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 )
5554exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( A  +  B )  ->  ( B  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
) )
562, 3, 55syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( A  +  B )  -> 
( B  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
) )
571, 56mpan9 469 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 ) )
5857imp 429 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 )
59 elfznn0 11759 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  NN0 )
6059ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  A  e.  NN0 )
61 elfzle2 11679 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  <_  N )
6261adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  <_  N
)
63 elfzel2 11675 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
6463zcnd 10956 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  CC )
651zcnd 10956 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  CC )
6664, 65jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
6766adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
68 npcan 9818 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( N  -  A )  +  A
)  =  N )
6967, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  A )  +  A )  =  N )
7062, 69breqtrrd 4466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  <_  (
( N  -  A
)  +  A ) )
713zred 10955 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  e.  RR )
7271adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  RR )
7363zred 10955 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
741zred 10955 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  RR )
7573, 74resubcld 9976 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
7675adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
7774adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  RR )
7872, 76, 77lesubadd2d 10140 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  <_  A 
<->  B  <_  ( ( N  -  A )  +  A ) ) )
7970, 78mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B  -  ( N  -  A
) )  <_  A
)
8079adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  <_  A )
81 elfz2nn0 11757 . . 3  |-  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 
/\  ( B  -  ( N  -  A
) )  <_  A
) )
8258, 60, 80, 81syl3anbrc 1175 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) )
8382ex 434 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ...cfz 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662
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