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Theorem 2elfz2melfz 37966
Description: If the sum of two integers of a 0 based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0 based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2elfz2melfz  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) ) )

Proof of Theorem 2elfz2melfz
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11742 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  ZZ )
2 elfzel2 11740 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3 elfzelz 11742 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  e.  ZZ )
4 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
5 zsubcl 10947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A
)  e.  ZZ )
65adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A )  e.  ZZ )
74, 6zsubcld 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  -  ( N  -  A
) )  e.  ZZ )
87adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ZZ )
9 zre 10909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
11 zaddcl 10945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
1211zred 11008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
1312expcom 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
1413adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  B
)  e.  RR ) )
1514imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
1610, 15, 10ltsub1d 10201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  <->  ( N  -  N )  <  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
17 zre 10909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
189, 17anim12i 564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
19 zre 10909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2018, 19anim12i 564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR ) )
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  RR )
2221, 21resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  N )  e.  RR )
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N  -  N )  e.  RR )
24 readdcl 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
2524expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
2625adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  B
)  e.  RR ) )
2726imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
28 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
2927, 28resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  -  N )  e.  RR )
3023, 29jca 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( N  -  N )  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  -  N )  e.  RR ) )
31 ltle 9704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  N
)  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  -  N
)  e.  RR )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  ( N  -  N )  <_  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
3220, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  ( N  -  N )  <_  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
33 zcn 10910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3433subidd 9955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  N )  =  0 )
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  N )  =  0 )
36 zcn 10910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
3736adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3837adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3933ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
40 zcn 10910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
4140adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
42 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
43 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
4442, 43addcomd 9816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) )
4544oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( B  +  A )  -  N ) )
46 subsub3 9887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  =  ( ( B  +  A )  -  N
) )
4745, 46eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( B  -  ( N  -  A
) ) )
4838, 39, 41, 47syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  +  B )  -  N )  =  ( B  -  ( N  -  A ) ) )
4935, 48breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  <_ 
( ( A  +  B )  -  N
)  <->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5032, 49sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5116, 50sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5251imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A )
) )
53 elnn0z 10918 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  NN0  <->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( B  -  ( N  -  A )
) ) )
548, 52, 53sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 )
5554exp31 602 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( A  +  B )  ->  ( B  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
) )
562, 3, 55syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( A  +  B )  -> 
( B  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
) )
571, 56mpan9 467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 ) )
5857imp 427 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 )
59 elfznn0 11826 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  NN0 )
6059ad2antrr 724 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  A  e.  NN0 )
61 elfzle2 11744 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  <_  N )
6261adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  <_  N
)
63 elfzel2 11740 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
6463zcnd 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  CC )
651zcnd 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  CC )
6664, 65jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
6766adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
68 npcan 9865 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( N  -  A )  +  A
)  =  N )
6967, 68syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  A )  +  A )  =  N )
7062, 69breqtrrd 4421 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  <_  (
( N  -  A
)  +  A ) )
713zred 11008 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  e.  RR )
7271adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  RR )
7363zred 11008 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
741zred 11008 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  RR )
7573, 74resubcld 10028 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
7675adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
7774adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  RR )
7872, 76, 77lesubadd2d 10191 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  <_  A 
<->  B  <_  ( ( N  -  A )  +  A ) ) )
7970, 78mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B  -  ( N  -  A
) )  <_  A
)
8079adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  <_  A )
81 elfz2nn0 11824 . . 3  |-  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 
/\  ( B  -  ( N  -  A
) )  <_  A
) )
8258, 60, 80, 81syl3anbrc 1181 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) )
8382ex 432 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    + caddc 9525    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ...cfz 11726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727
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