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Theorem 2cshwcshw 12870
Description: If a word is a cyclically shifted word, and a second word is the result of cyclically shifting the same word, then the second word is the result of cyclically shifting the first word. (Contributed by AV, 11-May-2018.) (Revised by AV, 12-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
2cshwcshw  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )  /\  E. m  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, K    m, N, n    m, V, n    m, X, n   
m, Y, n    m, Z, n

Proof of Theorem 2cshwcshw
StepHypRef Expression
1 difelfznle 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  m  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  m )  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
213exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( -.  K  <_  m  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
32ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( -.  K  <_  m  ->  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
43imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( -.  K  <_  m  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) ) )
54adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( -.  K  <_  m  ->  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
65com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  K  <_  m  ->  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) ) )
76adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m )  ->  (
( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) ) )
87imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m )  /\  (
( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
9 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  Y  e. Word  V
)
109ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  Y  e. Word  V )
11 elfzelz 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
1211adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  K  e.  ZZ )
1312ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
14 elfz2 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
15 elfzelz 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  ZZ )
16 zaddcl 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( m  +  N
)  e.  ZZ )
1716adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( m  +  N )  e.  ZZ )
18 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
1917, 18zsubcld 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m  +  N )  -  K )  e.  ZZ )
2019ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ZZ ) )
2115, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ZZ ) )
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( m  +  N )  -  K )  e.  ZZ ) )
23223adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ZZ ) )
2423adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
m  +  N )  -  K )  e.  ZZ ) )
2514, 24sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ZZ ) )
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
) )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ZZ ) )
2726imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ZZ )
28 2cshw 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
( m  +  N
)  -  K )  e.  ZZ )  -> 
( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) )  =  ( Y cyclShift  ( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) ) ) )
2910, 13, 27, 28syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Y cyclShift  K ) cyclShift  (
( m  +  N
)  -  K ) )  =  ( Y cyclShift  ( K  +  (
( m  +  N
)  -  K ) ) ) )
3018, 19zaddcld 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  e.  ZZ )
3130ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  e.  ZZ ) )
3215, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  e.  ZZ ) )
3332com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  e.  ZZ ) )
34333adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  e.  ZZ ) )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  e.  ZZ ) )
3614, 35sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  e.  ZZ ) )
3736ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
) )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  e.  ZZ ) )
3837imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  e.  ZZ )
39 cshwsublen 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( K  +  (
( m  +  N
)  -  K ) )  e.  ZZ )  ->  ( Y cyclShift  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) ) )  =  ( Y cyclShift  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  -  ( # `  Y
) ) ) )
4010, 38, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  ( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) ) )  =  ( Y cyclShift  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) ) ) )
4129, 40eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Y cyclShift  K ) cyclShift  (
( m  +  N
)  -  K ) )  =  ( Y cyclShift  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) ) ) )
42 elfz2nn0 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  ( K  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  K  <_  N ) )
43 elfznn0 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  NN0 )
44 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
45 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
46 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
4745, 46anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )
48 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  K  e.  CC )
49 addcl 9572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( m  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( m  +  N
)  e.  CC )
5049adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( m  +  N )  e.  CC )
5148, 50pncan3d 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  =  ( m  +  N
) )
5251oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  ( ( m  +  N )  -  N
) )
53 pncan 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( m  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( m  +  N )  -  N
)  =  m )
5453adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( (
m  +  N )  -  N )  =  m )
5552, 54eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  CC  /\  ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m )
5644, 47, 55syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m )
5756ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  N
)  =  m ) )
5843, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  N
)  =  m ) )
5958com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) )
60593adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  N
)  =  m ) )
6142, 60sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  N
)  =  m ) )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) )
63 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  -  ( # `  Y
) )  =  ( ( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  -  N ) )
6463eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( ( ( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  -  ( # `  Y ) )  =  m  <->  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) )
6564imbi2d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) )  =  m )  <->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) ) )
6665adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  ( # `  Y
) )  =  m )  <->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) ) )
6766adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  -  ( # `  Y ) )  =  m )  <->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  N )  =  m ) ) )
6862, 67mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( ( K  +  ( (
m  +  N )  -  K ) )  -  ( # `  Y
) )  =  m ) )
6968adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
) )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) )  =  m ) )
7069imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( K  +  ( ( m  +  N
)  -  K ) )  -  ( # `  Y ) )  =  m )
7170oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  ( ( K  +  ( ( m  +  N )  -  K
) )  -  ( # `
 Y ) ) )  =  ( Y cyclShift  m ) )
7241, 71eqtr2d 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N
)  -  K ) ) )
7372adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  = 
0  /\  -.  K  <_  m ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) )
74 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) )
7574adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  = 
0  /\  -.  K  <_  m ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) )
7673, 75eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  ( -.  m  = 
0  /\  -.  K  <_  m ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( (
m  +  N )  -  K ) ) )
7776exp41 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) ) ) ) )
7877com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ( -.  m  =  0  /\ 
-.  K  <_  m
)  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) ) ) ) )
7978imp41 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) )
8079eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  <->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) ) )
8180biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
) )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) ) )
8281impancom 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m
)  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) ) )
8382impcom 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m )  /\  (
( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K ) ) )
84 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( m  +  N )  -  K )  ->  ( X cyclShift  n )  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) )
8584eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( ( m  +  N )  -  K )  ->  ( Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N )  -  K
) ) ) )
8685rspcev 3125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  +  N )  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  /\  Z  =  ( X cyclShift  ( ( m  +  N
)  -  K ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
878, 83, 86syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  m  =  0  /\  -.  K  <_  m )  /\  (
( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
8887exp31 607 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  m  =  0  -> 
( -.  K  <_  m  ->  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
89 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  0  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( Y cyclShift  0 ) )
9089eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  0  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  <->  Z  =  ( Y cyclShift  0 ) ) )
91 cshw0 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e. Word  V  ->  ( Y cyclShift  0 )  =  Y )
9291adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( Y cyclShift  0 )  =  Y )
9392eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( Z  =  ( Y cyclShift  0 )  <->  Z  =  Y ) )
94 fznn0sub2 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )
9594adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
96 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( (
# `  Y )  -  K )  =  ( N  -  K ) )
9796eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  Y )  =  N  ->  ( ( ( # `  Y
)  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
9897ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( # `  Y )  -  K )  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
9995, 98mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `
 Y )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
10099adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( ( # `
 Y )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
101 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( X cyclShift  ( (
# `  Y )  -  K ) )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) ) )
102 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  ->  Y  e. Word  V )
103 2cshwid 12859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) )  =  Y )
104102, 11, 103syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `
 Y )  -  K ) )  =  Y )
105101, 104sylan9eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( X cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) )  =  Y )
106105eqcomd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  Y  =  ( X cyclShift  ( ( # `  Y )  -  K
) ) )
107 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  ( ( # `  Y )  -  K
)  ->  ( X cyclShift  n )  =  ( X cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) ) )
108107eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  ( ( # `  Y )  -  K
)  ->  ( Y  =  ( X cyclShift  n )  <-> 
Y  =  ( X cyclShift  ( ( # `  Y
)  -  K ) ) ) )
109108rspcev 3125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( # `  Y
)  -  K )  e.  ( 0 ... N )  /\  Y  =  ( X cyclShift  ( (
# `  Y )  -  K ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) )
110100, 106, 109syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) )
111110adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  Z  =  Y )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Y  =  ( X cyclShift  n ) )
112 eqeq1 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Z  =  Y  ->  ( Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
113112rexbidv 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Z  =  Y  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  E. n  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
114113adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  Z  =  Y )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  E. n  e.  (
0 ... N ) Y  =  ( X cyclShift  n ) ) )
115111, 114mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  Z  =  Y )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
116115exp41 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Z  =  Y  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
117116com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( Z  =  Y  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
11893, 117sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( Z  =  ( Y cyclShift  0 )  -> 
( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
119118com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  0 )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
120119impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  0 )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
121120com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  =  ( Y cyclShift  0
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
122121a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  =  ( Y cyclShift  0
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
12390, 122syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  0  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
124123com24 90 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  0  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
125124com15 96 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( m  =  0  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) ) )
126125imp41 596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( m  =  0  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
127126com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
128 difelfzle 11855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  m  e.  ( 0 ... N )  /\  K  <_  m )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) )
1291283exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  <_  m  ->  ( m  -  K
)  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
130129ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( K  <_  m  ->  ( m  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) ) )
131130imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  <_  m  ->  (
m  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
132131adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( K  <_  m  ->  ( m  -  K )  e.  ( 0 ... N ) ) )
133132impcom 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  <_  m  /\  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
1349ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  Y  e. Word  V )
13512ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
136 zsubcl 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  -  K
)  e.  ZZ )
137136ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
13815, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
13911, 138syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ZZ ) )
140139ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  K  <_  m )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ZZ ) )
141140imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
m  -  K )  e.  ZZ )
142 2cshw 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
m  -  K )  e.  ZZ )  -> 
( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K
) )  =  ( Y cyclShift  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
143134, 135, 141, 142syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( Y cyclShift  K ) cyclShift  (
m  -  K ) )  =  ( Y cyclShift  ( K  +  (
m  -  K ) ) ) )
144 zcn 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
14515zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  CC )
146 pncan3 9834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
147144, 145, 146syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... N )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
148147ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m ) )
14911, 148syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( m  -  K ) )  =  m ) )
150149ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  K  <_  m )  ->  (
m  e.  ( 0 ... N )  -> 
( K  +  ( m  -  K ) )  =  m ) )
151150imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
152151oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  ( K  +  ( m  -  K ) ) )  =  ( Y cyclShift  m ) )
153143, 152eqtr2d 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K ) ) )
154153adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K
) ) )
155 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( X cyclShift  ( m  -  K ) )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K ) ) )
156155eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) )  <->  ( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K ) ) ) )
157156adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( ( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) )  <-> 
( Y cyclShift  m )  =  ( ( Y cyclShift  K ) cyclShift  ( m  -  K
) ) ) )
158154, 157mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Y cyclShift  m )  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) )
159158eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Z  =  ( Y cyclShift  m )  <->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) )
160159biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  K  <_  m )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  -> 
( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) )
161160exp41 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( K  <_  m  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) ) ) ) ) )
162161com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  <_  m  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) ) ) ) ) )
163162imp31 433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  <_  m  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) ) )
164163com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( K  <_  m  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) ) )
165164imp 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  ( K  <_  m  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) ) )
166165impcom 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  <_  m  /\  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) )
167 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( X cyclShift  n )  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) )
168167eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( Z  =  ( X cyclShift  n )  <->  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K
) ) ) )
169168rspcev 3125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  -  K
)  e.  ( 0 ... N )  /\  Z  =  ( X cyclShift  ( m  -  K ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
170133, 166, 169syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  <_  m  /\  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
171170ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  <_  m  ->  (
( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
17288, 127, 171pm2.61ii 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  /\  Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) )
173172ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K ) )  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
174173rexlimdva 2856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N ) )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )
)  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
175174ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
176175com23 81 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) )
177176ex 435 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
178177com24 90 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( X  =  ( Y cyclShift  K )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( Y cyclShift  m )  ->  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `
 Y )  =  N )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) ) ) )
1791783imp 1199 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )  /\  E. m  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  -> 
( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y
)  =  N )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
180179com12 32 1  |-  ( ( Y  e. Word  V  /\  ( # `  Y )  =  N )  -> 
( ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  X  =  ( Y cyclShift  K )  /\  E. m  e.  ( 0 ... N ) Z  =  ( Y cyclShift  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... N
) Z  =  ( X cyclShift  n ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2715   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   0cc0 9490    + caddc 9493    <_ cle 9627    - cmin 9811   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ...cfz 11735   #chash 12465  Word cword 12604   cyclShift ccsh 12836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-hash 12466  df-word 12612  df-concat 12614  df-substr 12616  df-csh 12837
This theorem is referenced by:  eleclclwwlknlem1  25487
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