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Theorem 2cshw 12897
Description: Cyclically shifting a word two times. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
2cshw  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
)  =  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )

Proof of Theorem 2cshw
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cshwlen 12886 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( # `  ( W cyclShift  M ) )  =  ( # `  W
) )
213adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( W cyclShift  M ) )  =  ( # `  W ) )
3 cshwcl 12885 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W cyclShift  M )  e. Word  V
)
43anim1i 570 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( W cyclShift  M )  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ ) )
543adant2 1024 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  M )  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ ) )
6 cshwlen 12886 . . . . 5  |-  ( ( ( W cyclShift  M )  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )
8 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  W  e. Word  V )
9 zaddcl 10977 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
1093adant1 1023 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
118, 10jca 534 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
12 cshwlen 12886 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )  =  ( # `  W
) )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) )  =  ( # `  W ) )
142, 7, 133eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) ) )
157, 2eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  W
) )
1615oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
1716eleq2d 2499 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
1833ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W cyclShift  M )  e. Word  V
)
1918adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W cyclShift  M )  e. Word  V )
20 simp3 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
2120adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  N  e.  ZZ )
222eqcomd 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )
2322oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( # `  W
) )  =  ( 0..^ ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) )
2423eleq2d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) ) )
2524biimpa 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) )
26 cshwidxmod 12890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W cyclShift  M )  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( W cyclShift  M )
) ) )  -> 
( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  M ) `  ( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) ) ) )
2719, 21, 25, 26syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  M ) `  ( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) ) ) )
288adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
29 simpl2 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  M  e.  ZZ )
30 elfzo0 11954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( i  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  i  <  ( # `  W
) ) )
31 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  ZZ )
3231ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  i  e.  ZZ )
3320adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
3432, 33zaddcld 11044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( i  +  N )  e.  ZZ )
35 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
3734, 36jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
i  +  N )  e.  ZZ  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
3837ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( i  +  N )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
39383adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  i  <  ( # `  W
) )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( i  +  N )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
4030, 39sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( i  +  N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
4140impcom 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( i  +  N )  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )
42 zmodfzo 12116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  +  N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 W ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 W ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
442oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( i  +  N
)  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  =  ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) ) )
4544eleq1d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  <->  ( (
i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
4645adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
4743, 46mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
48 cshwidxmod 12890 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  (
( i  +  N
)  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )  ->  (
( W cyclShift  M ) `  ( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) ) )  =  ( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) ) ) )
4928, 29, 47, 48syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  M ) `
 ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) )  =  ( W `
 ( ( ( ( i  +  N
)  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) ) ) )
50 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
5150ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
i  e.  RR )
52 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5352ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR )
5451, 53readdcld 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( i  +  N
)  e.  RR )
55 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5655ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
57 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR+ )
5857adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  RR+ )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( # `  W )  e.  RR+ )
60 modaddmod 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  +  N
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `
 W ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( i  +  N )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) )
6154, 56, 59, 60syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( i  +  N )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) )
62 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
6362ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
i  e.  CC )
64 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6564ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  CC )
66 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
6766ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
68 add32r 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
i  +  ( M  +  N ) )  =  ( ( i  +  N )  +  M ) )
6963, 65, 67, 68syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( i  +  ( M  +  N ) )  =  ( ( i  +  N )  +  M ) )
7069eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( i  +  N )  +  M
)  =  ( i  +  ( M  +  N ) ) )
7170oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( i  +  N )  +  M )  mod  ( # `
 W ) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W
) ) )
7261, 71eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) )
7372ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
74733adant3 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  i  <  ( # `  W
) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( i  +  N
)  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
7530, 74sylbi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
7675com12 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
77763adant1 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
7877imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) )
7978fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
802adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W cyclShift  M ) )  =  ( # `  W
) )
8180oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) )  =  ( ( i  +  N
)  mod  ( # `  W
) ) )
8281oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  =  ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
) )
8382oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) )
8483fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) ) )
8510adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
86 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
87 cshwidxmod 12890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `
 i )  =  ( W `  (
( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
8828, 85, 86, 87syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `
 i )  =  ( W `  (
( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
8979, 84, 883eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `
 i ) )
9027, 49, 893eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `  i ) )
9190ex 435 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i
)  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) `  i
) ) )
9217, 91sylbid 218 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) )  -> 
( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `  i ) ) )
9392ralrimiv 2844 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) ) ) ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `  i ) )
9414, 93jca 534 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( # `  ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )
)  =  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) ) ) ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `  i ) ) )
95 cshwcl 12885 . . . . . 6  |-  ( ( W cyclShift  M )  e. Word  V  ->  ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  e. Word  V
)
963, 95syl 17 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
)  e. Word  V )
97 cshwcl 12885 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W cyclShift  ( M  +  N
) )  e. Word  V
)
9896, 97jca 534 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  e. Word  V  /\  ( W cyclShift  ( M  +  N ) )  e. Word  V ) )
99983ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  e. Word  V  /\  ( W cyclShift  ( M  +  N ) )  e. Word  V ) )
100 eqwrd 12695 . . 3  |-  ( ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  e. Word  V  /\  ( W cyclShift  ( M  +  N ) )  e. Word  V )  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  =  ( W cyclShift  ( M  +  N
) )  <->  ( ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) ) ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i
)  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) `  i
) ) ) )
10199, 100syl 17 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  =  ( W cyclShift  ( M  +  N
) )  <->  ( ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) ) ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i
)  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) `  i
) ) ) )
10294, 101mpbird 235 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
)  =  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    + caddc 9541    < clt 9674   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302  ..^cfzo 11913    mod cmo 12093   #chash 12512  Word cword 12643   cyclShift ccsh 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653  df-substr 12655  df-csh 12876
This theorem is referenced by:  2cshwid  12898  2cshwcom  12900  cshweqdif2  12903  2cshwcshw  12909  cshwcshid  12911  cshwcsh2id  12912  cshwshashlem2  15030
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