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Theorem 2cshw 12756
Description: Cyclically shifting a word two times. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
2cshw  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
)  =  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )

Proof of Theorem 2cshw
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cshwlen 12745 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( # `  ( W cyclShift  M ) )  =  ( # `  W
) )
213adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( W cyclShift  M ) )  =  ( # `  W ) )
3 cshwcl 12744 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W cyclShift  M )  e. Word  V
)
43anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( W cyclShift  M )  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ ) )
543adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  M )  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ ) )
6 cshwlen 12745 . . . . 5  |-  ( ( ( W cyclShift  M )  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )
8 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  W  e. Word  V )
9 zaddcl 10913 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
1093adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
118, 10jca 532 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
12 cshwlen 12745 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )  =  ( # `  W
) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) )  =  ( # `  W ) )
142, 7, 133eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) ) )
157, 2eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  W
) )
1615oveq2d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) )  =  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
1716eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
1833ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W cyclShift  M )  e. Word  V
)
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W cyclShift  M )  e. Word  V )
20 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
2120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  N  e.  ZZ )
222eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )
2322oveq2d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( # `  W
) )  =  ( 0..^ ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) )
2423eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) ) )
2524biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) )
26 cshwidxmod 12749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W cyclShift  M )  e. Word  V  /\  N  e.  ZZ  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  ( W cyclShift  M )
) ) )  -> 
( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  M ) `  ( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) ) ) )
2719, 21, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  M ) `  ( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) ) ) )
288adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
29 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  M  e.  ZZ )
30 elfzo0 11841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( i  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  i  <  ( # `  W
) ) )
31 nn0z 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  ZZ )
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  i  e.  ZZ )
3320adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
3432, 33zaddcld 10980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( i  +  N )  e.  ZZ )
35 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
3734, 36jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
i  +  N )  e.  ZZ  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
3837ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( i  +  N )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
39383adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  i  <  ( # `  W
) )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( i  +  N )  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
4030, 39sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( i  +  N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN ) ) )
4140impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( i  +  N )  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )
42 zmodfzo 11996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  +  N
)  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 W ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 W ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
442oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( i  +  N
)  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  =  ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) ) )
4544eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  <->  ( (
i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
4743, 46mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
48 cshwidxmod 12749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  (
( i  +  N
)  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )  ->  (
( W cyclShift  M ) `  ( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) ) )  =  ( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) ) ) )
4928, 29, 47, 48syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  M ) `
 ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) )  =  ( W `
 ( ( ( ( i  +  N
)  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) ) ) )
50 nn0re 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
i  e.  RR )
52 zre 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5352ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR )
5451, 53readdcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( i  +  N
)  e.  RR )
55 zre 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
57 nnrp 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR+ )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  RR+ )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( # `  W )  e.  RR+ )
60 modaddmod 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  +  N
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `
 W ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( i  +  N )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) )
6154, 56, 59, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( i  +  N )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) )
62 nn0cn 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
i  e.  CC )
64 zcn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
6564ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  CC )
66 zcn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
6766ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
68 add32r 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
i  +  ( M  +  N ) )  =  ( ( i  +  N )  +  M ) )
6963, 65, 67, 68syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( i  +  ( M  +  N ) )  =  ( ( i  +  N )  +  M ) )
7069eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( i  +  N )  +  M
)  =  ( i  +  ( M  +  N ) ) )
7170oveq1d 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( i  +  N )  +  M )  mod  ( # `
 W ) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W
) ) )
7261, 71eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
74733adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  i  <  ( # `  W
) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( i  +  N
)  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
7530, 74sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
7675com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
77763adant1 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) )
7978fveq2d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
802adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W cyclShift  M ) )  =  ( # `  W
) )
8180oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( i  +  N )  mod  ( # `
 ( W cyclShift  M ) ) )  =  ( ( i  +  N
)  mod  ( # `  W
) ) )
8281oveq1d 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  =  ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
) )
8382oveq1d 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) )  =  ( ( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) )
8483fveq2d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  W
) )  +  M
)  mod  ( # `  W
) ) ) )
8510adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
86 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
87 cshwidxmod 12749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `
 i )  =  ( W `  (
( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
8828, 85, 86, 87syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `
 i )  =  ( W `  (
( i  +  ( M  +  N ) )  mod  ( # `  W ) ) ) )
8979, 84, 883eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) )  +  M )  mod  ( # `  W
) ) )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `
 i ) )
9049, 89eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  M ) `
 ( ( i  +  N )  mod  ( # `  ( W cyclShift  M ) ) ) )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) `  i
) )
9127, 90eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `  i ) )
9291ex 434 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i
)  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) `  i
) ) )
9317, 92sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) )  -> 
( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `  i ) ) )
9493ralrimiv 2879 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) ) ) ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `  i ) )
9514, 94jca 532 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( # `  ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )
)  =  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) ) ) ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i )  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N ) ) `  i ) ) )
96 cshwcl 12744 . . . . . 6  |-  ( ( W cyclShift  M )  e. Word  V  ->  ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  e. Word  V
)
973, 96syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
)  e. Word  V )
98 cshwcl 12744 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W cyclShift  ( M  +  N
) )  e. Word  V
)
9997, 98jca 532 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  e. Word  V  /\  ( W cyclShift  ( M  +  N ) )  e. Word  V ) )
100993ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  e. Word  V  /\  ( W cyclShift  ( M  +  N ) )  e. Word  V ) )
101 eqwrd 12557 . . 3  |-  ( ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  e. Word  V  /\  ( W cyclShift  ( M  +  N ) )  e. Word  V )  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  =  ( W cyclShift  ( M  +  N
) )  <->  ( ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) ) ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i
)  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) `  i
) ) ) )
102100, 101syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N )  =  ( W cyclShift  ( M  +  N
) )  <->  ( ( # `
 ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) )  =  ( # `  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
) ) ) ( ( ( W cyclShift  M ) cyclShift  N ) `  i
)  =  ( ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) `  i
) ) ) )
10395, 102mpbird 232 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  M ) cyclShift  N
)  =  ( W cyclShift  ( M  +  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4452   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501   0cc0 9502    + caddc 9505    < clt 9638   NNcn 10546   NN0cn0 10805   ZZcz 10874   RR+crp 11230  ..^cfzo 11802    mod cmo 11974   #chash 12383  Word cword 12510   cyclShift ccsh 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-hash 12384  df-word 12518  df-concat 12520  df-substr 12522  df-csh 12735
This theorem is referenced by:  2cshwid  12757  2cshwcom  12759  cshweqdif2  12762  2cshwcshw  12768  cshwcshid  12770  cshwcsh2id  12771  cshwshashlem2  14451
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