Theorem 2climnn0 8363

Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit.

Hypothesis

Ref	Expression
2climnn.1	|- G e. _V

Assertion

Ref	Expression
2climnn0	|- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) /\ F ~~> A)) -> G ~~> A)

Distinct variable groups:   x,k,j,A   j,F,k,x   x,G,k,j

Proof of Theorem 2climnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcl 7220	. . . . . . 7 |- (y e. RR -> (y / 2) e. RR)
2		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (x = (y / 2) -> (0 < x <-> 0 < (y / 2)))
3		opreq12 4891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x = (y / 2) /\ x = (y / 2)) -> (x + x) = ((y / 2) + (y / 2)))
4	3	anidms 480	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (y / 2) -> (x + x) = ((y / 2) + (y / 2)))
5	4	breq2d 3350	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (y / 2) -> ((abs` ((G` k) - A)) < (x + x) <-> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2))))
6	5	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (x = (y / 2) -> ((j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)) <-> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2)))))
7	6	rexralbidv 2142	. . . . . . . . 9 |- (x = (y / 2) -> (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)) <-> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2)))))
8	2, 7	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (x = (y / 2) -> ((0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))) <-> (0 < (y / 2) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2))))))
9	8	rcla4v 2376	. . . . . . 7 |- ((y / 2) e. RR -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))) -> (0 < (y / 2) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2))))))
10	1, 9	syl 12	. . . . . 6 |- (y e. RR -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))) -> (0 < (y / 2) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2))))))
11		0z 7355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
12		nn0uz 7607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
13	12	eqimss2i 2669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (ZZ>=` 0) C_ NN0
14		nn0ssz 7361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN0 C_ ZZ
15	11, 13, 14	clmi2i 8347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. CC /\ F ~~> A) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
16	15	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
17	16	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ x e. RR) /\ 0 < x) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
18		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((G` k) e. CC /\ (F` k) e. CC) -> ((G` k) - (F` k)) e. CC)
19	18	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> ((G` k) - (F` k)) e. CC)
20		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((G` k) - (F` k)) e. CC -> (abs` ((G` k) - (F` k))) e. RR)
21	19, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> (abs` ((G` k) - (F` k))) e. RR)
22	21	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (abs` ((G` k) - (F` k))) e. RR)
23		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((F` k) e. CC /\ A e. CC) -> ((F` k) - A) e. CC)
24	23	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((A e. CC /\ (F` k) e. CC) -> ((F` k) - A) e. CC)
25		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((F` k) - A) e. CC -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
26	24, 25	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((A e. CC /\ (F` k) e. CC) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
27	26	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
28	22, 27	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) e. RR /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR))
29	28	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) e. RR /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR))
30		pm3.2 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (x e. RR -> (x e. RR -> (x e. RR /\ x e. RR)))
31	30	pm2.43i 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (x e. RR -> (x e. RR /\ x e. RR))
32	31	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (x e. RR /\ x e. RR))
33		lt2add 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((abs` ((G` k) - (F` k))) e. RR /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR) /\ (x e. RR /\ x e. RR)) -> (((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) < (x + x)))
34	29, 32, 33	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) < (x + x)))
35		npncan 6560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((G` k) e. CC /\ (F` k) e. CC /\ A e. CC) -> (((G` k) - (F` k)) + ((F` k) - A)) = ((G` k) - A))
36	35	3com13 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((A e. CC /\ (F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> (((G` k) - (F` k)) + ((F` k) - A)) = ((G` k) - A))
37	36	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (((G` k) - (F` k)) + ((F` k) - A)) = ((G` k) - A))
38	37	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (abs` (((G` k) - (F` k)) + ((F` k) - A))) = (abs` ((G` k) - A)))
39	19	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> ((G` k) - (F` k)) e. CC)
40	24	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> ((F` k) - A) e. CC)
41		abstri 8150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((((G` k) - (F` k)) e. CC /\ ((F` k) - A) e. CC) -> (abs` (((G` k) - (F` k)) + ((F` k) - A))) <_ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))))
42	39, 40, 41	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (abs` (((G` k) - (F` k)) + ((F` k) - A))) <_ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))))
43	38, 42	eqbrtrrd 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (abs` ((G` k) - A)) <_ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))))
44	43	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (abs` ((G` k) - A)) <_ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))))
45		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((G` k) e. CC /\ A e. CC) -> ((G` k) - A) e. CC)
46	45	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((A e. CC /\ (G` k) e. CC) -> ((G` k) - A) e. CC)
47		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((G` k) - A) e. CC -> (abs` ((G` k) - A)) e. RR)
48	46, 47	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A e. CC /\ (G` k) e. CC) -> (abs` ((G` k) - A)) e. RR)
49	48	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (abs` ((G` k) - A)) e. RR)
50		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((abs` ((G` k) - (F` k))) e. RR /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR) -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) e. RR)
51	22, 27, 50	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A e. CC /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) e. RR)
52	51	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) e. RR)
53		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((x e. RR /\ x e. RR) -> (x + x) e. RR)
54	53	anidms 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (x e. RR -> (x + x) e. RR)
55	54	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (x + x) e. RR)
56		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((abs` ((G` k) - A)) e. RR /\ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) e. RR /\ (x + x) e. RR) -> (((abs` ((G` k) - A)) <_ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) /\ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) < (x + x)) -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))
57	49, 52, 55, 56	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (((abs` ((G` k) - A)) <_ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) /\ ((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) < (x + x)) -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))
58	44, 57	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (((abs` ((G` k) - (F` k))) + (abs` ((F` k) - A))) < (x + x) -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))
59	34, 58	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))
60	59	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> ((j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
61	60	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. CC /\ x e. RR) -> (((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> ((j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))))
62	61	ralimdv 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. CC /\ x e. RR) -> (A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> A.k e. NN0 ((j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))))
63	62	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. CC /\ x e. RR) /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> A.k e. NN0 ((j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
64	63	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ x e. RR) -> A.k e. NN0 ((j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
65		ralim 2164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.k e. NN0 ((j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))) -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
66	64, 65	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ x e. RR) -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
67	66	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ x e. RR) -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
68	67	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ x e. RR) /\ 0 < x) -> (A.k e. NN0 (j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
69	68	reximdv 2202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ x e. RR) /\ 0 < x) -> (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
70	11, 12	cvganuzi 8177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) <-> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> ((abs` ((G` k) - (F` k))) < x /\ (abs` ((F` k) - A)) < x)))
71	69, 70	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ x e. RR) /\ 0 < x) -> ((E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x) /\ E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
72	17, 71	mpan2d 766	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ x e. RR) /\ 0 < x) -> (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
73	72	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ x e. RR) -> (0 < x -> (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))))
74	73	a2d 16	. . . . . . . . . 10 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) /\ x e. RR) -> ((0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) -> (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))))
75	74	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ F ~~> A) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x)))))
76	75	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (F ~~> A -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))))
77	76	com23 36	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) -> (F ~~> A -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))))
78	77	imp32 390	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) /\ F ~~> A)) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < (x + x))))
79	10, 78	syl5 20	. . . . 5 |- (y e. RR -> (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) /\ F ~~> A)) -> (0 < (y / 2) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2))))))
80		halfpos2 7223	. . . . . . 7 |- (y e. RR -> (0 < y <-> 0 < (y / 2)))
81	80	bicomd 580	. . . . . 6 |- (y e. RR -> (0 < (y / 2) <-> 0 < y))
82		recn 6466	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> y e. CC)
83		2halves 7225	. . . . . . . . . 10 |- (y e. CC -> ((y / 2) + (y / 2)) = y)
84	82, 83	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. RR -> ((y / 2) + (y / 2)) = y)
85	84	breq2d 3350	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> ((abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2)) <-> (abs` ((G` k) - A)) < y))
86	85	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (y e. RR -> ((j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2))) <-> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y)))
87	86	rexralbidv 2142	. . . . . 6 |- (y e. RR -> (E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2))) <-> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y)))
88	81, 87	imbi12d 688	. . . . 5 |- (y e. RR -> ((0 < (y / 2) -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < ((y / 2) + (y / 2)))) <-> (0 < y -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y))))
89	79, 88	sylibd 219	. . . 4 |- (y e. RR -> (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) /\ F ~~> A)) -> (0 < y -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y))))
90	89	com12 14	. . 3 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) /\ F ~~> A)) -> (y e. RR -> (0 < y -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y))))
91	90	r19.21aiv 2175	. 2 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) /\ F ~~> A)) -> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y)))
92		2climnn.1	. . . . . 6 |- G e. _V
93	11, 13, 14, 11, 13, 14, 92	clm4i 8340	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ A.k e. (NN0 i^i NN0)(G` k) e. CC) -> (G ~~> A <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y))))
94		inss2 2813	. . . . . 6 |- (NN0 i^i NN0) C_ NN0
95		ssralv 2672	. . . . . 6 |- ((NN0 i^i NN0) C_ NN0 -> (A.k e. NN0 (G` k) e. CC -> A.k e. (NN0 i^i NN0)(G` k) e. CC))
96	94, 95	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A.k e. NN0 (G` k) e. CC -> A.k e. (NN0 i^i NN0)(G` k) e. CC)
97	93, 96	sylan2 500	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN0 (G` k) e. CC) -> (G ~~> A <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y))))
98		simpr 350	. . . . 5 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> (G` k) e. CC)
99	98	ralimi 2168	. . . 4 |- (A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> A.k e. NN0 (G` k) e. CC)
100	97, 99	sylan2 500	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) -> (G ~~> A <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y))))
101	100	adantr 425	. 2 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) /\ F ~~> A)) -> (G ~~> A <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < y))))
102	91, 101	mpbird 213	1 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN0 ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC)) /\ (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN0 A.k e. NN0 (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (F` k))) < x)) /\ F ~~> A)) -> G ~~> A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NN0cn0 6450   < clt 6653  2c2 7145  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain