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Theorem 2clim 13042
Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2clim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2clim.3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
2clim.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2clim.6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x
)
2clim.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
Assertion
Ref Expression
2clim  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Distinct variable groups:    j, k, A    x, j, F, k   
j, G, x    j, M    ph, j, k    j, Z, k, x    k, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    M( x, k)    V( x, j, k)

Proof of Theorem 2clim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x
)
2 rphalfcl 11007 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
3 breq2 4291 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
43rexralbidv 2754 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
54rspccva 3067 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )
61, 2, 5syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) )
7 2clim.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8 2clim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
102adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
11 eqidd 2439 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
12 2clim.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  ~~>  A )
147, 9, 10, 11, 13climi 12980 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
157rexanuz2 12829 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  <-> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
166, 14, 15sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
177uztrn2 10870 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
18 an12 795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  <->  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
19 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
20 2clim.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2120ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2219, 21abssubd 12931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) ) )
2322breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  (
y  /  2 )  <-> 
( abs `  (
( G `  k
)  -  ( F `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
2423anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  ( F `  k ) ) )  <  (
y  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
25 climcl 12969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
2612, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  A  e.  CC )
28 rpre 10989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
30 abs3lem 12818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  k )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )  <  (
y  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3121, 27, 19, 29, 30syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3224, 31sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3332anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  ( F `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3433expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3518, 34syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
3617, 35sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3736anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3837ralimdva 2789 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3938reximdva 2823 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y ) )
4016, 39mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
4140ralrimiva 2794 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
)
42 2clim.3 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
43 eqidd 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
447, 8, 42, 43, 26, 20clim2c 12975 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  A  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
4541, 44mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273    < clt 9410    - cmin 9587    / cdiv 9985   2c2 10363   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   abscabs 12715    ~~> cli 12954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958
This theorem is referenced by:  mertens  13338
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