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Theorem 2clim 13579
Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2clim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2clim.3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
2clim.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2clim.6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x
)
2clim.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
Assertion
Ref Expression
2clim  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Distinct variable groups:    j, k, A    x, j, F, k   
j, G, x    j, M    ph, j, k    j, Z, k, x    k, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    M( x, k)    V( x, j, k)

Proof of Theorem 2clim
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x
)
2 rphalfcl 11278 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
3 breq2 4370 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  (
y  /  2 ) ) )
43rexralbidv 2886 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  / 
2 )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
54rspccva 3124 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  x  /\  ( y  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )
61, 2, 5syl2an 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) )
7 2clim.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8 2clim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
102adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
11 eqidd 2429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
12 2clim.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
1312adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  F  ~~>  A )
147, 9, 10, 11, 13climi 13517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
157rexanuz2 13356 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  <-> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
166, 14, 15sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
177uztrn2 11127 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
18 an12 804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  <->  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) ) ) )
19 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
20 2clim.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2120ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
2219, 21abssubd 13458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) ) )
2322breq1d 4376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )  <  (
y  /  2 )  <-> 
( abs `  (
( G `  k
)  -  ( F `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
2423anbi1d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  ( F `  k ) ) )  <  (
y  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
25 climcl 13506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2726ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  A  e.  CC )
28 rpre 11259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
2928ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  y  e.  RR )
30 abs3lem 13345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  k )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k )
) )  <  (
y  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3121, 27, 19, 29, 30syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  ( F `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3224, 31sylbid 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  ( F `  k )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3332anassrs 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  ( F `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( y  /  2
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y ) )
3433expimpd 606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3518, 34syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
3617, 35sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3736anassrs 652 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3837ralimdva 2773 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
3938reximdva 2839 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  <  ( y  / 
2 )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( y  / 
2 ) ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y ) )
4016, 39mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
4140ralrimiva 2779 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
)
42 2clim.3 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
43 eqidd 2429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
447, 8, 42, 43, 26, 20clim2c 13512 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  A  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y ) )
4541, 44mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489    < clt 9626    - cmin 9811    / cdiv 10220   2c2 10610   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   RR+crp 11253   abscabs 13241    ~~> cli 13491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495
This theorem is referenced by:  mertens  13885
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