MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2basgen Structured version   Unicode version

Theorem 2basgen 18737
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
2basgen  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  =  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem 2basgen
StepHypRef Expression
1 fvex 5812 . . . . 5  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
21ssex 4547 . . . 4  |-  ( C 
C_  ( topGen `  B
)  ->  C  e.  _V )
32adantl 466 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  C  e.  _V )
4 simpl 457 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  C_  C )
5 tgss 18715 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
63, 4, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )
)
7 simpr 461 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  C  C_  ( topGen `  B )
)
8 ssexg 4549 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
92, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  e.  _V )
10 tgss3 18733 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  C
)  C_  ( topGen `  B )  <->  C  C_  ( topGen `
 B ) ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  (
( topGen `  C )  C_  ( topGen `  B )  <->  C 
C_  ( topGen `  B
) ) )
127, 11mpbird 232 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 C )  C_  ( topGen `  B )
)
136, 12eqssd 3484 1  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  =  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   ` cfv 5529   topGenctg 14499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-topgen 14505
This theorem is referenced by:  leordtval2  18958  2ndcsb  19195  txbasval  19321  prdsxmslem2  20246  tgioo  20515  tgqioo  20519
  Copyright terms: Public domain W3C validator