MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2basgen Structured version   Unicode version

Theorem 2basgen 19337
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
2basgen  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  =  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem 2basgen
StepHypRef Expression
1 fvex 5881 . . . . 5  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
21ssex 4596 . . . 4  |-  ( C 
C_  ( topGen `  B
)  ->  C  e.  _V )
32adantl 466 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  C  e.  _V )
4 simpl 457 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  C_  C )
5 tgss 19315 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
63, 4, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )
)
7 simpr 461 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  C  C_  ( topGen `  B )
)
8 ssexg 4598 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
92, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  e.  _V )
10 tgss3 19333 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  C
)  C_  ( topGen `  B )  <->  C  C_  ( topGen `
 B ) ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  (
( topGen `  C )  C_  ( topGen `  B )  <->  C 
C_  ( topGen `  B
) ) )
127, 11mpbird 232 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 C )  C_  ( topGen `  B )
)
136, 12eqssd 3526 1  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  =  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   ` cfv 5593   topGenctg 14705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-topgen 14711
This theorem is referenced by:  leordtval2  19558  2ndcsb  19795  txbasval  19952  prdsxmslem2  20877  tgioo  21146  tgqioo  21150
  Copyright terms: Public domain W3C validator