Theorem 2basgen 8911

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies.

Assertion

Ref	Expression
2basgen	|- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B C_ C /\ C C_ (topGen` B))) -> (topGen` B) = (topGen` C))

Proof of Theorem 2basgen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgss 8906	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B C_ C) -> (topGen` B) C_ (topGen` C))
2	1	3expa 1067	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ B C_ C) -> (topGen` B) C_ (topGen` C))
3	2	adantrr 431	. 2 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B C_ C /\ C C_ (topGen` B))) -> (topGen` B) C_ (topGen` C))
4		tgss 8906	. . . . . . 7 |- ((C e. Bases /\ (topGen` B) e. Bases /\ C C_ (topGen` B)) -> (topGen` C) C_ (topGen` (topGen` B)))
5		tgcl 8894	. . . . . . . 8 |- (B e. Bases -> (topGen` B) e. Top)
6		topbas 8897	. . . . . . . 8 |- ((topGen` B) e. Top -> (topGen` B) e. Bases)
7	5, 6	syl 12	. . . . . . 7 |- (B e. Bases -> (topGen` B) e. Bases)
8	4, 7	syl3an2 1131	. . . . . 6 |- ((C e. Bases /\ B e. Bases /\ C C_ (topGen` B)) -> (topGen` C) C_ (topGen` (topGen` B)))
9	8	3com12 1071	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ C C_ (topGen` B)) -> (topGen` C) C_ (topGen` (topGen` B)))
10	9	3expa 1067	. . . 4 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ C C_ (topGen` B)) -> (topGen` C) C_ (topGen` (topGen` B)))
11	10	adantrl 430	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B C_ C /\ C C_ (topGen` B))) -> (topGen` C) C_ (topGen` (topGen` B)))
12		tgidm 8902	. . . 4 |- (B e. Bases -> (topGen` (topGen` B)) = (topGen` B))
13	12	ad2antrr 440	. . 3 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B C_ C /\ C C_ (topGen` B))) -> (topGen` (topGen` B)) = (topGen` B))
14	11, 13	sseqtrd 2653	. 2 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B C_ C /\ C C_ (topGen` B))) -> (topGen` C) C_ (topGen` B))
15	3, 14	eqssd 2633	1 |- (((B e. Bases /\ C e. Bases) /\ (B C_ C /\ C C_ (topGen` B))) -> (topGen` B) = (topGen` C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  ` cfv 3998  Topctop 8857  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem is referenced by:  tgioo 9193  2ndcsb 15476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain