MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2basgen Structured version   Unicode version

Theorem 2basgen 19365
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
2basgen  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  =  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem 2basgen
StepHypRef Expression
1 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
21ssex 4581 . . . 4  |-  ( C 
C_  ( topGen `  B
)  ->  C  e.  _V )
32adantl 466 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  C  e.  _V )
4 simpl 457 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  C_  C )
5 tgss 19343 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
63, 4, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )
)
7 simpr 461 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  C  C_  ( topGen `  B )
)
8 ssexg 4583 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
92, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  e.  _V )
10 tgss3 19361 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  C
)  C_  ( topGen `  B )  <->  C  C_  ( topGen `
 B ) ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  (
( topGen `  C )  C_  ( topGen `  B )  <->  C 
C_  ( topGen `  B
) ) )
127, 11mpbird 232 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 C )  C_  ( topGen `  B )
)
136, 12eqssd 3506 1  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  =  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   ` cfv 5578   topGenctg 14712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-topgen 14718
This theorem is referenced by:  leordtval2  19586  2ndcsb  19823  txbasval  19980  prdsxmslem2  20905  tgioo  21174  tgqioo  21178
  Copyright terms: Public domain W3C validator