Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelpln Structured version   Unicode version

Theorem 2atnelpln 35454
Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atnelpln.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2atnelpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2atnelpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
2atnelpln  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  -.  ( Q  .\/  R )  e.  P )

Proof of Theorem 2atnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 35274 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
213ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
3 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 2atnelpln.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 2atnelpln.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
63, 4, 5hlatjcl 35277 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2457 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
83, 7latref 15901 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  R ) ( le `  K ) ( Q  .\/  R
) )
92, 6, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
) ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) )
10 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  K  e.  HL )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  P )
12 simpl2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  Q  e.  A
)
13 simpl3 1001 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  R  e.  A
)
14 2atnelpln.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
157, 4, 5, 14lplnnle2at 35451 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( Q  .\/  R )  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  ->  -.  ( Q  .\/  R ) ( le `  K ) ( Q  .\/  R
) )
1610, 11, 12, 13, 15syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  -.  ( Q  .\/  R ) ( le
`  K ) ( Q  .\/  R ) )
1716ex 434 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( ( Q  .\/  R )  e.  P  ->  -.  ( Q  .\/  R
) ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
189, 17mt2d 117 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  -.  ( Q  .\/  R )  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14735   lecple 14810   joincjn 15791   Latclat 15893   Atomscatm 35174   HLchlt 35261   LPlanesclpl 35402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 15775  df-poset 15793  df-plt 15806  df-lub 15822  df-glb 15823  df-join 15824  df-meet 15825  df-p0 15887  df-lat 15894  df-clat 15956  df-oposet 35087  df-ol 35089  df-oml 35090  df-covers 35177  df-ats 35178  df-atl 35209  df-cvlat 35233  df-hlat 35262  df-llines 35408  df-lplanes 35409
This theorem is referenced by:  islpln2a  35458
  Copyright terms: Public domain W3C validator