Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atlt Structured version   Unicode version

Theorem 2atlt 32742
 Description: Given an atom less than an element, there is another atom less than the element. (Contributed by NM, 6-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atomslt.b
2atomslt.s
2atomslt.a
Assertion
Ref Expression
2atlt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem 2atlt
StepHypRef Expression
1 2atomslt.b . . . 4
2 2atomslt.a . . . 4
31, 2atbase 32593 . . 3
4 eqid 2420 . . . 4
5 2atomslt.s . . . 4
6 eqid 2420 . . . 4
71, 4, 5, 6, 2hlrelat 32705 . . 3
83, 7syl3anl2 1313 . 2
9 simp3l 1033 . . . . . . . 8
10 simp1l1 1098 . . . . . . . . 9
11 simp1l2 1099 . . . . . . . . 9
12 simp2 1006 . . . . . . . . 9
13 eqid 2420 . . . . . . . . . 10
145, 6, 2, 13atltcvr 32738 . . . . . . . . 9
1510, 11, 11, 12, 14syl13anc 1266 . . . . . . . 8
169, 15mpbid 213 . . . . . . 7
176, 13, 2atcvr1 32720 . . . . . . . 8
1810, 11, 12, 17syl3anc 1264 . . . . . . 7
1916, 18mpbird 235 . . . . . 6
2019necomd 2693 . . . . 5
215, 6, 2atlt 32740 . . . . . . . . 9
2210, 12, 11, 21syl3anc 1264 . . . . . . . 8
2320, 22mpbird 235 . . . . . . 7
24 hllat 32667 . . . . . . . . 9
2510, 24syl 17 . . . . . . . 8
2611, 3syl 17 . . . . . . . 8
271, 2atbase 32593 . . . . . . . . 9
28273ad2ant2 1027 . . . . . . . 8
291, 6latjcom 16249 . . . . . . . 8
3025, 26, 28, 29syl3anc 1264 . . . . . . 7
3123, 30breqtrrd 4443 . . . . . 6
32 simp3r 1034 . . . . . 6
33 hlpos 32669 . . . . . . . 8
3410, 33syl 17 . . . . . . 7
351, 6latjcl 16241 . . . . . . . 8
3625, 26, 28, 35syl3anc 1264 . . . . . . 7
37 simp1l3 1100 . . . . . . 7
381, 4, 5pltletr 16161 . . . . . . 7
3934, 28, 36, 37, 38syl13anc 1266 . . . . . 6
4031, 32, 39mp2and 683 . . . . 5
4120, 40jca 534 . . . 4
42413exp 1204 . . 3
4342reximdvai 2895 . 2
448, 43mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616  wrex 2774   class class class wbr 4417  cfv 5592  (class class class)co 6296  cbs 15073  cple 15149  cpo 16129  cplt 16130  cjn 16133  clat 16235   ccvr 32566  catm 32567  chlt 32654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 16117  df-poset 16135  df-plt 16148  df-lub 16164  df-glb 16165  df-join 16166  df-meet 16167  df-p0 16229  df-lat 16236  df-clat 16298  df-oposet 32480  df-ol 32482  df-oml 32483  df-covers 32570  df-ats 32571  df-atl 32602  df-cvlat 32626  df-hlat 32655 This theorem is referenced by:  cdlemb  33097  lhpexle1  33311
 Copyright terms: Public domain W3C validator