Theorem 2503prm 14164

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	|- N = ;;; 2 5 0 3

Assertion

Ref	Expression
2503prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 14151	. 2 |- ;; 1 3 9 e. Prime
2		1nn0 10595	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 10485	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 10768	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5		2503prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 2 5 0 3
6		2nn0 10596	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7		5nn0 10599	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
8	6, 7	deccl 10769	. . . . . . 7 |- ; 2 5 e. NN0
9		0nn0 10594	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	deccl 10769	. . . . . 6 |- ;; 2 5 0 e. NN0
11		2p1e3 10445	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
12		eqid 2443	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 = ;;; 2 5 0 2
13	10, 6, 11, 12	decsuc 10778	. . . . 5 |- (;;; 2 5 0 2 + 1 ) = ;;; 2 5 0 3
14	5, 13	eqtr4i 2466	. . . 4 |- N = (;;; 2 5 0 2 + 1 )
15	14	oveq1i 6101	. . 3 |- ( N - 1 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
16		8nn0 10602	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
17	2, 16	deccl 10769	. . . . 5 |- ; 1 8 e. NN0
18		3nn0 10597	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
19	2, 18	deccl 10769	. . . . 5 |- ; 1 3 e. NN0
20		9nn0 10603	. . . . 5 |- 9 e. NN0
21		eqid 2443	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 = ;; 1 3 9
22		6nn0 10600	. . . . . 6 |- 6 e. NN0
23	2, 22	deccl 10769	. . . . 5 |- ; 1 6 e. NN0
24		eqid 2443	. . . . . 6 |- ; 1 3 = ; 1 3
25		eqid 2443	. . . . . 6 |- ; 1 6 = ; 1 6
26		7nn0 10601	. . . . . . 7 |- 7 e. NN0
27		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ; 1 8 = ; 1 8
28		6cn 10403	. . . . . . . . 9 |- 6 e. CC
29		ax-1cn 9340	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
30		6p1e7 10450	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 1 ) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 9561	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 6 ) = 7
32	26	dec0h 10771	. . . . . . . 8 |- 7 = ; 0 7
33	31, 32	eqtri 2463	. . . . . . 7 |- ( 1 + 6 ) = ; 0 7
34	29	mulid1i 9388	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
35	29	addid2i 9557	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
36	34, 35	oveq12i 6103	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 )
37		1p1e2 10435	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
38	36, 37	eqtri 2463	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 2
39		8cn 10407	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. CC
40	39	mulid1i 9388	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 1 ) = 8
41	40	oveq1i 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ( 8 + 7 )
42		8p7e15 10815	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 7 ) = ; 1 5
43	41, 42	eqtri 2463	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ; 1 5
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 10794	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 1 ) + ( 1 + 6 ) ) = ; 2 5
45	22	dec0h 10771	. . . . . . 7 |- 6 = ; 0 6
46		3cn 10396	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
47	46	mulid2i 9389	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 3 ) = 3
48	46	addid2i 9557	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 3 ) = 3
49	47, 48	oveq12i 6103	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = ( 3 + 3 )
50		3p3e6 10455	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 3 ) = 6
51	49, 50	eqtri 2463	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = 6
52		4nn0 10598	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
53		8t3e24 10844	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 3 ) = ; 2 4
54		4cn 10399	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
55		6p4e10 10465	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 4 ) = 10
56	28, 54, 55	addcomli 9561	. . . . . . . 8 |- ( 4 + 6 ) = 10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 10801	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 3 0
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 10794	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 6 0
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 10795	. . . . 5 |- ( (; 1 8 x. ; 1 3 ) + ; 1 6 ) = ;; 2 5 0
60		9cn 10409	. . . . . . . . 9 |- 9 e. CC
61	60	mulid2i 9389	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 9 ) = 9
62	61	oveq1i 6101	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ( 9 + 7 )
63		9p7e16 10822	. . . . . . 7 |- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
64	62, 63	eqtri 2463	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ; 1 6
65		9t8e72 10856	. . . . . . 7 |- ( 9 x. 8 ) = ; 7 2
66	60, 39, 65	mulcomli 9393	. . . . . 6 |- ( 8 x. 9 ) = ; 7 2
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 10802	. . . . 5 |- (; 1 8 x. 9 ) = ;; 1 6 2
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 10803	. . . 4 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ;;; 2 5 0 2
69	10, 6	deccl 10769	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 e. NN0
70	69	nn0cni 10591	. . . . 5 |- ;;; 2 5 0 2 e. CC
71		pncan 9616	. . . . 5 |- ( (;;; 2 5 0 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2 )
72	70, 29, 71	mp2an 672	. . . 4 |- ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2
73	68, 72	eqtr4i 2466	. . 3 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
74	15, 73	eqtr4i 2466	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
75	10, 18	deccl 10769	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 3 e. NN0
76	5, 75	eqeltri 2513	. . . . 5 |- N e. NN0
77	76	nn0cni 10591	. . . 4 |- N e. CC
78		npcan 9619	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
79	77, 29, 78	mp2an 672	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
80	79	eqcomi 2447	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
81		1nn 10333	. 2 |- 1 e. NN
82		2nn 10479	. 2 |- 2 e. NN
83	19, 20	deccl 10769	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 e. NN0
84	83	numexp1 14106	. . . 4 |- (;; 1 3 9 ^ 1 ) = ;; 1 3 9
85	84	oveq2i 6102	. . 3 |- (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
86	74, 85	eqtr4i 2466	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
87		8lt10 10525	. . . 4 |- 8 < 10
88		1lt10 10532	. . . . 5 |- 1 < 10
89	81, 18, 2, 88	declti 10780	. . . 4 |- 1 < ; 1 3
90	2, 19, 16, 20, 87, 89	decltc 10777	. . 3 |- ; 1 8 < ;; 1 3 9
91	90, 84	breqtrri 4317	. 2 |- ; 1 8 < (;; 1 3 9 ^ 1 )
92	5	2503lem2 14162	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
93	5	2503lem3 14163	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 1 8 ) - 1 ) gcd N ) = 1
94	1, 4, 74, 80, 4, 81, 82, 86, 91, 92, 93	pockthi 13968	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   = wceq 1369   e. wcel 1756  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   < clt 9418   - cmin 9595   2c2 10371   3c3 10372   4c4 10373   5c5 10374   6c6 10375   7c7 10376   8c8 10377   9c9 10378   10c10 10379   NN0cn0 10579  ;cdc 10755   ^cexp 11865   Primecprime 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-prm 13764  df-odz 13840  df-phi 13841  df-pc 13904

This theorem is referenced by: (None)