MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Unicode version

Theorem 2503prm 14499
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 14486 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 10817 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 10705 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 10997 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 10818 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10821 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 10998 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 10816 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 10998 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 10665 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2443 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 11007 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2475 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 6291 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10824 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 10998 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 10819 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 10998 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10825 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2443 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10822 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 10998 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2443 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2443 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10823 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2443 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6cn 10623 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
29 ax-1cn 9553 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
30 6p1e7 10670 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3128, 29, 30addcomli 9775 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3226dec0h 11000 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3331, 32eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3429mulid1i 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3529addid2i 9771 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3634, 35oveq12i 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
37 1p1e2 10655 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3836, 37eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
39 8cn 10627 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4039mulid1i 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4140oveq1i 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
42 8p7e15 11044 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4341, 42eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 11023 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4522dec0h 11000 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
46 3cn 10616 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4746mulid2i 9602 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4846addid2i 9771 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
4947, 48oveq12i 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
50 3p3e6 10675 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5149, 50eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
52 4nn0 10820 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
53 8t3e24 11073 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
54 4cn 10619 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
55 6p4e10 10685 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5628, 54, 55addcomli 9775 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 11030 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 11023 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 11024 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
60 9cn 10629 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6160mulid2i 9602 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6261oveq1i 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
63 9p7e16 11051 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6462, 63eqtri 2472 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
65 9t8e72 11085 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6660, 39, 65mulcomli 9606 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 11031 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 11032 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
6910, 6deccl 10998 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7069nn0cni 10813 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
7170, 29pncan3oi 9841 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7268, 71eqtr4i 2475 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7315, 72eqtr4i 2475 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7410, 18deccl 10998 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
755, 74eqeltri 2527 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7675nn0cni 10813 . . . 4  |-  N  e.  CC
77 npcan 9834 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7876, 29, 77mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
7978eqcomi 2456 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
80 1nn 10553 . 2  |-  1  e.  NN
81 2nn 10699 . 2  |-  2  e.  NN
8219, 20deccl 10998 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8382numexp1 14440 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8483oveq2i 6292 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8573, 84eqtr4i 2475 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86 8lt10 10745 . . . 4  |-  8  <  10
87 1lt10 10752 . . . . 5  |-  1  <  10
8880, 18, 2, 87declti 11009 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 11006 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9089, 83breqtrri 4462 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9152503lem2 14497 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9252503lem3 14498 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 14302 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    - cmin 9810   2c2 10591   3c3 10592   4c4 10593   5c5 10594   6c6 10595   7c7 10596   8c8 10597   9c9 10598   10c10 10599   NN0cn0 10801  ;cdc 10984   ^cexp 12145   Primecprime 14094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095  df-odz 14172  df-phi 14173  df-pc 14238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator