MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Unicode version

Theorem 2503prm 15108
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 15092 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 10891 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 10779 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 11070 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 10892 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10895 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 11071 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 10890 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 11071 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 10739 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2423 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 11080 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2455 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 6314 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10898 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 11071 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 10893 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 11071 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10899 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2423 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10896 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 11071 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2423 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2423 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10897 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2423 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6cn 10697 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
29 ax-1cn 9603 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
30 6p1e7 10744 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3128, 29, 30addcomli 9831 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3226dec0h 11073 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3331, 32eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3429mulid1i 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3529addid2i 9827 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3634, 35oveq12i 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
37 1p1e2 10729 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3836, 37eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
39 8cn 10701 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4039mulid1i 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4140oveq1i 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
42 8p7e15 11117 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4341, 42eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 11096 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4522dec0h 11073 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
46 3cn 10690 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4746mulid2i 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4846addid2i 9827 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
4947, 48oveq12i 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
50 3p3e6 10749 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5149, 50eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
52 4nn0 10894 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
53 8t3e24 11146 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
54 4cn 10693 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
55 6p4e10 10759 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5628, 54, 55addcomli 9831 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 11103 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 11096 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 11097 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
60 9cn 10703 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6160mulid2i 9652 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6261oveq1i 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
63 9p7e16 11124 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6462, 63eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
65 9t8e72 11158 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6660, 39, 65mulcomli 9656 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 11104 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 11105 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
6910, 6deccl 11071 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7069nn0cni 10887 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
7170, 29pncan3oi 9897 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7268, 71eqtr4i 2455 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7315, 72eqtr4i 2455 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7410, 18deccl 11071 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
755, 74eqeltri 2507 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7675nn0cni 10887 . . . 4  |-  N  e.  CC
77 npcan 9890 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7876, 29, 77mp2an 677 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
7978eqcomi 2436 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
80 1nn 10626 . 2  |-  1  e.  NN
81 2nn 10773 . 2  |-  2  e.  NN
8219, 20deccl 11071 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8382numexp1 15046 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8483oveq2i 6315 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8573, 84eqtr4i 2455 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86 8lt10 10819 . . . 4  |-  8  <  10
87 1lt10 10826 . . . . 5  |-  1  <  10
8880, 18, 2, 87declti 11082 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 11079 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9089, 83breqtrri 4448 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9152503lem2 15106 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9252503lem3 15107 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 14848 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    e. wcel 1869  (class class class)co 6304   CCcc 9543   0cc0 9545   1c1 9546    + caddc 9548    x. cmul 9550    < clt 9681    - cmin 9866   2c2 10665   3c3 10666   4c4 10667   5c5 10668   6c6 10669   7c7 10670   8c8 10671   9c9 10672   10c10 10673   NN0cn0 10875  ;cdc 11057   ^cexp 12277   Primecprime 14619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-2o 7193  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-sup 7964  df-inf 7965  df-card 8380  df-cda 8604  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-fz 11791  df-fzo 11922  df-fl 12033  df-mod 12102  df-seq 12219  df-exp 12278  df-hash 12521  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-sqrt 13296  df-abs 13297  df-dvds 14303  df-gcd 14466  df-prm 14620  df-odz 14709  df-phi 14711  df-pc 14784
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator