MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Unicode version

Theorem 2503prm 14624
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 14611 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 10728 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 10616 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 10908 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 10729 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10732 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 10909 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 10727 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 10909 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 10576 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2382 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 10918 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2414 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 6206 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10735 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 10909 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 10730 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 10909 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10736 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2382 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10733 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 10909 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2382 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2382 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10734 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2382 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6cn 10534 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
29 ax-1cn 9461 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
30 6p1e7 10581 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3128, 29, 30addcomli 9683 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3226dec0h 10911 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3331, 32eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3429mulid1i 9509 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3529addid2i 9679 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3634, 35oveq12i 6208 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
37 1p1e2 10566 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3836, 37eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
39 8cn 10538 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4039mulid1i 9509 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4140oveq1i 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
42 8p7e15 10955 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4341, 42eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 10934 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4522dec0h 10911 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
46 3cn 10527 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4746mulid2i 9510 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4846addid2i 9679 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
4947, 48oveq12i 6208 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
50 3p3e6 10586 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5149, 50eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
52 4nn0 10731 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
53 8t3e24 10984 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
54 4cn 10530 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
55 6p4e10 10596 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5628, 54, 55addcomli 9683 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 10941 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 10934 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 10935 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
60 9cn 10540 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6160mulid2i 9510 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6261oveq1i 6206 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
63 9p7e16 10962 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6462, 63eqtri 2411 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
65 9t8e72 10996 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6660, 39, 65mulcomli 9514 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 10942 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 10943 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
6910, 6deccl 10909 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7069nn0cni 10724 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
7170, 29pncan3oi 9749 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7268, 71eqtr4i 2414 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7315, 72eqtr4i 2414 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7410, 18deccl 10909 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
755, 74eqeltri 2466 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7675nn0cni 10724 . . . 4  |-  N  e.  CC
77 npcan 9742 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7876, 29, 77mp2an 670 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
7978eqcomi 2395 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
80 1nn 10463 . 2  |-  1  e.  NN
81 2nn 10610 . 2  |-  2  e.  NN
8219, 20deccl 10909 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8382numexp1 14565 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8483oveq2i 6207 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8573, 84eqtr4i 2414 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86 8lt10 10656 . . . 4  |-  8  <  10
87 1lt10 10663 . . . . 5  |-  1  <  10
8880, 18, 2, 87declti 10920 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 10917 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9089, 83breqtrri 4392 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9152503lem2 14622 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9252503lem3 14623 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 14427 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    e. wcel 1826  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    - cmin 9718   2c2 10502   3c3 10503   4c4 10504   5c5 10505   6c6 10506   7c7 10507   8c8 10508   9c9 10509   10c10 10510   NN0cn0 10712  ;cdc 10895   ^cexp 12069   Primecprime 14219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-odz 14297  df-phi 14298  df-pc 14363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator