Theorem 2503prm 15108

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	|- N = ;;; 2 5 0 3

Assertion

Ref	Expression
2503prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 15092	. 2 |- ;; 1 3 9 e. Prime
2		1nn0 10891	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 10779	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 11070	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5		2503prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 2 5 0 3
6		2nn0 10892	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7		5nn0 10895	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
8	6, 7	deccl 11071	. . . . . . 7 |- ; 2 5 e. NN0
9		0nn0 10890	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	deccl 11071	. . . . . 6 |- ;; 2 5 0 e. NN0
11		2p1e3 10739	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
12		eqid 2423	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 = ;;; 2 5 0 2
13	10, 6, 11, 12	decsuc 11080	. . . . 5 |- (;;; 2 5 0 2 + 1 ) = ;;; 2 5 0 3
14	5, 13	eqtr4i 2455	. . . 4 |- N = (;;; 2 5 0 2 + 1 )
15	14	oveq1i 6314	. . 3 |- ( N - 1 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
16		8nn0 10898	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
17	2, 16	deccl 11071	. . . . 5 |- ; 1 8 e. NN0
18		3nn0 10893	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
19	2, 18	deccl 11071	. . . . 5 |- ; 1 3 e. NN0
20		9nn0 10899	. . . . 5 |- 9 e. NN0
21		eqid 2423	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 = ;; 1 3 9
22		6nn0 10896	. . . . . 6 |- 6 e. NN0
23	2, 22	deccl 11071	. . . . 5 |- ; 1 6 e. NN0
24		eqid 2423	. . . . . 6 |- ; 1 3 = ; 1 3
25		eqid 2423	. . . . . 6 |- ; 1 6 = ; 1 6
26		7nn0 10897	. . . . . . 7 |- 7 e. NN0
27		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ; 1 8 = ; 1 8
28		6cn 10697	. . . . . . . . 9 |- 6 e. CC
29		ax-1cn 9603	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
30		6p1e7 10744	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 1 ) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 9831	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 6 ) = 7
32	26	dec0h 11073	. . . . . . . 8 |- 7 = ; 0 7
33	31, 32	eqtri 2452	. . . . . . 7 |- ( 1 + 6 ) = ; 0 7
34	29	mulid1i 9651	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
35	29	addid2i 9827	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
36	34, 35	oveq12i 6316	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 )
37		1p1e2 10729	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
38	36, 37	eqtri 2452	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 2
39		8cn 10701	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. CC
40	39	mulid1i 9651	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 1 ) = 8
41	40	oveq1i 6314	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ( 8 + 7 )
42		8p7e15 11117	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 7 ) = ; 1 5
43	41, 42	eqtri 2452	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ; 1 5
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 11096	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 1 ) + ( 1 + 6 ) ) = ; 2 5
45	22	dec0h 11073	. . . . . . 7 |- 6 = ; 0 6
46		3cn 10690	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
47	46	mulid2i 9652	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 3 ) = 3
48	46	addid2i 9827	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 3 ) = 3
49	47, 48	oveq12i 6316	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = ( 3 + 3 )
50		3p3e6 10749	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 3 ) = 6
51	49, 50	eqtri 2452	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = 6
52		4nn0 10894	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
53		8t3e24 11146	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 3 ) = ; 2 4
54		4cn 10693	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
55		6p4e10 10759	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 4 ) = 10
56	28, 54, 55	addcomli 9831	. . . . . . . 8 |- ( 4 + 6 ) = 10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 11103	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 3 0
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 11096	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 6 0
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 11097	. . . . 5 |- ( (; 1 8 x. ; 1 3 ) + ; 1 6 ) = ;; 2 5 0
60		9cn 10703	. . . . . . . . 9 |- 9 e. CC
61	60	mulid2i 9652	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 9 ) = 9
62	61	oveq1i 6314	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ( 9 + 7 )
63		9p7e16 11124	. . . . . . 7 |- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
64	62, 63	eqtri 2452	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ; 1 6
65		9t8e72 11158	. . . . . . 7 |- ( 9 x. 8 ) = ; 7 2
66	60, 39, 65	mulcomli 9656	. . . . . 6 |- ( 8 x. 9 ) = ; 7 2
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 11104	. . . . 5 |- (; 1 8 x. 9 ) = ;; 1 6 2
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 11105	. . . 4 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ;;; 2 5 0 2
69	10, 6	deccl 11071	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 e. NN0
70	69	nn0cni 10887	. . . . 5 |- ;;; 2 5 0 2 e. CC
71	70, 29	pncan3oi 9897	. . . 4 |- ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2
72	68, 71	eqtr4i 2455	. . 3 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
73	15, 72	eqtr4i 2455	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
74	10, 18	deccl 11071	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 3 e. NN0
75	5, 74	eqeltri 2507	. . . . 5 |- N e. NN0
76	75	nn0cni 10887	. . . 4 |- N e. CC
77		npcan 9890	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
78	76, 29, 77	mp2an 677	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
79	78	eqcomi 2436	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
80		1nn 10626	. 2 |- 1 e. NN
81		2nn 10773	. 2 |- 2 e. NN
82	19, 20	deccl 11071	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 e. NN0
83	82	numexp1 15046	. . . 4 |- (;; 1 3 9 ^ 1 ) = ;; 1 3 9
84	83	oveq2i 6315	. . 3 |- (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
85	73, 84	eqtr4i 2455	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86		8lt10 10819	. . . 4 |- 8 < 10
87		1lt10 10826	. . . . 5 |- 1 < 10
88	80, 18, 2, 87	declti 11082	. . . 4 |- 1 < ; 1 3
89	2, 19, 16, 20, 86, 88	decltc 11079	. . 3 |- ; 1 8 < ;; 1 3 9
90	89, 83	breqtrri 4448	. 2 |- ; 1 8 < (;; 1 3 9 ^ 1 )
91	5	2503lem2 15106	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
92	5	2503lem3 15107	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 1 8 ) - 1 ) gcd N ) = 1
93	1, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92	pockthi 14848	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   = wceq 1438   e. wcel 1869  (class class class)co 6304   CCcc 9543   0cc0 9545   1c1 9546   + caddc 9548   x. cmul 9550   < clt 9681   - cmin 9866   2c2 10665   3c3 10666   4c4 10667   5c5 10668   6c6 10669   7c7 10670   8c8 10671   9c9 10672   10c10 10673   NN0cn0 10875  ;cdc 11057   ^cexp 12277   Primecprime 14619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-2o 7193  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-sup 7964  df-inf 7965  df-card 8380  df-cda 8604  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-fz 11791  df-fzo 11922  df-fl 12033  df-mod 12102  df-seq 12219  df-exp 12278  df-hash 12521  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-sqrt 13296  df-abs 13297  df-dvds 14303  df-gcd 14466  df-prm 14620  df-odz 14709  df-phi 14711  df-pc 14784

This theorem is referenced by: (None)