Theorem 2503prm 15123

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	|- N = ;;; 2 5 0 3

Assertion

Ref	Expression
2503prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 15107	. 2 |- ;; 1 3 9 e. Prime
2		1nn0 10892	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 10780	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 11071	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5		2503prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 2 5 0 3
6		2nn0 10893	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7		5nn0 10896	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
8	6, 7	deccl 11072	. . . . . . 7 |- ; 2 5 e. NN0
9		0nn0 10891	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	deccl 11072	. . . . . 6 |- ;; 2 5 0 e. NN0
11		2p1e3 10740	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
12		eqid 2453	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 = ;;; 2 5 0 2
13	10, 6, 11, 12	decsuc 11081	. . . . 5 |- (;;; 2 5 0 2 + 1 ) = ;;; 2 5 0 3
14	5, 13	eqtr4i 2478	. . . 4 |- N = (;;; 2 5 0 2 + 1 )
15	14	oveq1i 6305	. . 3 |- ( N - 1 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
16		8nn0 10899	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
17	2, 16	deccl 11072	. . . . 5 |- ; 1 8 e. NN0
18		3nn0 10894	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
19	2, 18	deccl 11072	. . . . 5 |- ; 1 3 e. NN0
20		9nn0 10900	. . . . 5 |- 9 e. NN0
21		eqid 2453	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 = ;; 1 3 9
22		6nn0 10897	. . . . . 6 |- 6 e. NN0
23	2, 22	deccl 11072	. . . . 5 |- ; 1 6 e. NN0
24		eqid 2453	. . . . . 6 |- ; 1 3 = ; 1 3
25		eqid 2453	. . . . . 6 |- ; 1 6 = ; 1 6
26		7nn0 10898	. . . . . . 7 |- 7 e. NN0
27		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ; 1 8 = ; 1 8
28		6cn 10698	. . . . . . . . 9 |- 6 e. CC
29		ax-1cn 9602	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
30		6p1e7 10745	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 1 ) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 9830	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 6 ) = 7
32	26	dec0h 11074	. . . . . . . 8 |- 7 = ; 0 7
33	31, 32	eqtri 2475	. . . . . . 7 |- ( 1 + 6 ) = ; 0 7
34	29	mulid1i 9650	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
35	29	addid2i 9826	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
36	34, 35	oveq12i 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 )
37		1p1e2 10730	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
38	36, 37	eqtri 2475	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 2
39		8cn 10702	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. CC
40	39	mulid1i 9650	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 1 ) = 8
41	40	oveq1i 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ( 8 + 7 )
42		8p7e15 11118	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 7 ) = ; 1 5
43	41, 42	eqtri 2475	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ; 1 5
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 11097	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 1 ) + ( 1 + 6 ) ) = ; 2 5
45	22	dec0h 11074	. . . . . . 7 |- 6 = ; 0 6
46		3cn 10691	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
47	46	mulid2i 9651	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 3 ) = 3
48	46	addid2i 9826	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 3 ) = 3
49	47, 48	oveq12i 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = ( 3 + 3 )
50		3p3e6 10750	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 3 ) = 6
51	49, 50	eqtri 2475	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = 6
52		4nn0 10895	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
53		8t3e24 11147	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 3 ) = ; 2 4
54		4cn 10694	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
55		6p4e10 10760	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 4 ) = 10
56	28, 54, 55	addcomli 9830	. . . . . . . 8 |- ( 4 + 6 ) = 10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 11104	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 3 0
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 11097	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 6 0
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 11098	. . . . 5 |- ( (; 1 8 x. ; 1 3 ) + ; 1 6 ) = ;; 2 5 0
60		9cn 10704	. . . . . . . . 9 |- 9 e. CC
61	60	mulid2i 9651	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 9 ) = 9
62	61	oveq1i 6305	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ( 9 + 7 )
63		9p7e16 11125	. . . . . . 7 |- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
64	62, 63	eqtri 2475	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ; 1 6
65		9t8e72 11159	. . . . . . 7 |- ( 9 x. 8 ) = ; 7 2
66	60, 39, 65	mulcomli 9655	. . . . . 6 |- ( 8 x. 9 ) = ; 7 2
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 11105	. . . . 5 |- (; 1 8 x. 9 ) = ;; 1 6 2
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 11106	. . . 4 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ;;; 2 5 0 2
69	10, 6	deccl 11072	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 e. NN0
70	69	nn0cni 10888	. . . . 5 |- ;;; 2 5 0 2 e. CC
71	70, 29	pncan3oi 9896	. . . 4 |- ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2
72	68, 71	eqtr4i 2478	. . 3 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
73	15, 72	eqtr4i 2478	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
74	10, 18	deccl 11072	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 3 e. NN0
75	5, 74	eqeltri 2527	. . . . 5 |- N e. NN0
76	75	nn0cni 10888	. . . 4 |- N e. CC
77		npcan 9889	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
78	76, 29, 77	mp2an 679	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
79	78	eqcomi 2462	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
80		1nn 10627	. 2 |- 1 e. NN
81		2nn 10774	. 2 |- 2 e. NN
82	19, 20	deccl 11072	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 e. NN0
83	82	numexp1 15061	. . . 4 |- (;; 1 3 9 ^ 1 ) = ;; 1 3 9
84	83	oveq2i 6306	. . 3 |- (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
85	73, 84	eqtr4i 2478	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86		8lt10 10820	. . . 4 |- 8 < 10
87		1lt10 10827	. . . . 5 |- 1 < 10
88	80, 18, 2, 87	declti 11083	. . . 4 |- 1 < ; 1 3
89	2, 19, 16, 20, 86, 88	decltc 11080	. . 3 |- ; 1 8 < ;; 1 3 9
90	89, 83	breqtrri 4431	. 2 |- ; 1 8 < (;; 1 3 9 ^ 1 )
91	5	2503lem2 15121	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
92	5	2503lem3 15122	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 1 8 ) - 1 ) gcd N ) = 1
93	1, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92	pockthi 14863	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   = wceq 1446   e. wcel 1889  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   < clt 9680   - cmin 9865   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   5c5 10669   6c6 10670   7c7 10671   8c8 10672   9c9 10673   10c10 10674   NN0cn0 10876  ;cdc 11058   ^cexp 12279   Primecprime 14634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-dvds 14318  df-gcd 14481  df-prm 14635  df-odz 14724  df-phi 14726  df-pc 14799

This theorem is referenced by: (None)