MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Unicode version

Theorem 2503prm 14497
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 14484 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 10823 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 10711 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 11001 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 10824 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10827 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 11002 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 10822 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 11002 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 10671 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2467 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 11011 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2499 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 6305 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10830 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 11002 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 10825 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 11002 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10831 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2467 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10828 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 11002 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2467 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2467 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10829 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2467 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6cn 10629 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
29 ax-1cn 9562 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
30 6p1e7 10676 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3128, 29, 30addcomli 9783 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3226dec0h 11004 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3331, 32eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3429mulid1i 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3529addid2i 9779 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3634, 35oveq12i 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
37 1p1e2 10661 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3836, 37eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
39 8cn 10633 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4039mulid1i 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4140oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
42 8p7e15 11048 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4341, 42eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 11027 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4522dec0h 11004 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
46 3cn 10622 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4746mulid2i 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4846addid2i 9779 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
4947, 48oveq12i 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
50 3p3e6 10681 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5149, 50eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
52 4nn0 10826 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
53 8t3e24 11077 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
54 4cn 10625 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
55 6p4e10 10691 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5628, 54, 55addcomli 9783 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 11034 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 11027 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 11028 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
60 9cn 10635 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6160mulid2i 9611 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6261oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
63 9p7e16 11055 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6462, 63eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
65 9t8e72 11089 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6660, 39, 65mulcomli 9615 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 11035 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 11036 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
6910, 6deccl 11002 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7069nn0cni 10819 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
71 pncan 9838 . . . . 5  |-  ( (;;; 2 5 0 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 2 5 0 2 )
7270, 29, 71mp2an 672 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7368, 72eqtr4i 2499 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7415, 73eqtr4i 2499 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7510, 18deccl 11002 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
765, 75eqeltri 2551 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7776nn0cni 10819 . . . 4  |-  N  e.  CC
78 npcan 9841 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7977, 29, 78mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
8079eqcomi 2480 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
81 1nn 10559 . 2  |-  1  e.  NN
82 2nn 10705 . 2  |-  2  e.  NN
8319, 20deccl 11002 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8483numexp1 14439 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8584oveq2i 6306 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8674, 85eqtr4i 2499 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
87 8lt10 10751 . . . 4  |-  8  <  10
88 1lt10 10758 . . . . 5  |-  1  <  10
8981, 18, 2, 88declti 11013 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
902, 19, 16, 20, 87, 89decltc 11010 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9190, 84breqtrri 4478 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9252503lem2 14495 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9352503lem3 14496 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
941, 4, 74, 80, 4, 81, 82, 86, 91, 92, 93pockthi 14301 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    - cmin 9817   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   5c5 10600   6c6 10601   7c7 10602   8c8 10603   9c9 10604   10c10 10605   NN0cn0 10807  ;cdc 10988   ^cexp 12146   Primecprime 14093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-prm 14094  df-odz 14171  df-phi 14172  df-pc 14237
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator