Theorem 2503prm 14624

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	|- N = ;;; 2 5 0 3

Assertion

Ref	Expression
2503prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 14611	. 2 |- ;; 1 3 9 e. Prime
2		1nn0 10728	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 10616	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 10908	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5		2503prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 2 5 0 3
6		2nn0 10729	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7		5nn0 10732	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
8	6, 7	deccl 10909	. . . . . . 7 |- ; 2 5 e. NN0
9		0nn0 10727	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	deccl 10909	. . . . . 6 |- ;; 2 5 0 e. NN0
11		2p1e3 10576	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
12		eqid 2382	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 = ;;; 2 5 0 2
13	10, 6, 11, 12	decsuc 10918	. . . . 5 |- (;;; 2 5 0 2 + 1 ) = ;;; 2 5 0 3
14	5, 13	eqtr4i 2414	. . . 4 |- N = (;;; 2 5 0 2 + 1 )
15	14	oveq1i 6206	. . 3 |- ( N - 1 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
16		8nn0 10735	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
17	2, 16	deccl 10909	. . . . 5 |- ; 1 8 e. NN0
18		3nn0 10730	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
19	2, 18	deccl 10909	. . . . 5 |- ; 1 3 e. NN0
20		9nn0 10736	. . . . 5 |- 9 e. NN0
21		eqid 2382	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 = ;; 1 3 9
22		6nn0 10733	. . . . . 6 |- 6 e. NN0
23	2, 22	deccl 10909	. . . . 5 |- ; 1 6 e. NN0
24		eqid 2382	. . . . . 6 |- ; 1 3 = ; 1 3
25		eqid 2382	. . . . . 6 |- ; 1 6 = ; 1 6
26		7nn0 10734	. . . . . . 7 |- 7 e. NN0
27		eqid 2382	. . . . . . 7 |- ; 1 8 = ; 1 8
28		6cn 10534	. . . . . . . . 9 |- 6 e. CC
29		ax-1cn 9461	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
30		6p1e7 10581	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 1 ) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 9683	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 6 ) = 7
32	26	dec0h 10911	. . . . . . . 8 |- 7 = ; 0 7
33	31, 32	eqtri 2411	. . . . . . 7 |- ( 1 + 6 ) = ; 0 7
34	29	mulid1i 9509	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
35	29	addid2i 9679	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
36	34, 35	oveq12i 6208	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 )
37		1p1e2 10566	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
38	36, 37	eqtri 2411	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 2
39		8cn 10538	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. CC
40	39	mulid1i 9509	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 1 ) = 8
41	40	oveq1i 6206	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ( 8 + 7 )
42		8p7e15 10955	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 7 ) = ; 1 5
43	41, 42	eqtri 2411	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ; 1 5
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 10934	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 1 ) + ( 1 + 6 ) ) = ; 2 5
45	22	dec0h 10911	. . . . . . 7 |- 6 = ; 0 6
46		3cn 10527	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
47	46	mulid2i 9510	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 3 ) = 3
48	46	addid2i 9679	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 3 ) = 3
49	47, 48	oveq12i 6208	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = ( 3 + 3 )
50		3p3e6 10586	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 3 ) = 6
51	49, 50	eqtri 2411	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = 6
52		4nn0 10731	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
53		8t3e24 10984	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 3 ) = ; 2 4
54		4cn 10530	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
55		6p4e10 10596	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 4 ) = 10
56	28, 54, 55	addcomli 9683	. . . . . . . 8 |- ( 4 + 6 ) = 10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 10941	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 3 0
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 10934	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 6 0
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 10935	. . . . 5 |- ( (; 1 8 x. ; 1 3 ) + ; 1 6 ) = ;; 2 5 0
60		9cn 10540	. . . . . . . . 9 |- 9 e. CC
61	60	mulid2i 9510	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 9 ) = 9
62	61	oveq1i 6206	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ( 9 + 7 )
63		9p7e16 10962	. . . . . . 7 |- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
64	62, 63	eqtri 2411	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ; 1 6
65		9t8e72 10996	. . . . . . 7 |- ( 9 x. 8 ) = ; 7 2
66	60, 39, 65	mulcomli 9514	. . . . . 6 |- ( 8 x. 9 ) = ; 7 2
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 10942	. . . . 5 |- (; 1 8 x. 9 ) = ;; 1 6 2
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 10943	. . . 4 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ;;; 2 5 0 2
69	10, 6	deccl 10909	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 e. NN0
70	69	nn0cni 10724	. . . . 5 |- ;;; 2 5 0 2 e. CC
71	70, 29	pncan3oi 9749	. . . 4 |- ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2
72	68, 71	eqtr4i 2414	. . 3 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
73	15, 72	eqtr4i 2414	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
74	10, 18	deccl 10909	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 3 e. NN0
75	5, 74	eqeltri 2466	. . . . 5 |- N e. NN0
76	75	nn0cni 10724	. . . 4 |- N e. CC
77		npcan 9742	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
78	76, 29, 77	mp2an 670	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
79	78	eqcomi 2395	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
80		1nn 10463	. 2 |- 1 e. NN
81		2nn 10610	. 2 |- 2 e. NN
82	19, 20	deccl 10909	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 e. NN0
83	82	numexp1 14565	. . . 4 |- (;; 1 3 9 ^ 1 ) = ;; 1 3 9
84	83	oveq2i 6207	. . 3 |- (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
85	73, 84	eqtr4i 2414	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86		8lt10 10656	. . . 4 |- 8 < 10
87		1lt10 10663	. . . . 5 |- 1 < 10
88	80, 18, 2, 87	declti 10920	. . . 4 |- 1 < ; 1 3
89	2, 19, 16, 20, 86, 88	decltc 10917	. . 3 |- ; 1 8 < ;; 1 3 9
90	89, 83	breqtrri 4392	. 2 |- ; 1 8 < (;; 1 3 9 ^ 1 )
91	5	2503lem2 14622	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
92	5	2503lem3 14623	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 1 8 ) - 1 ) gcd N ) = 1
93	1, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92	pockthi 14427	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   = wceq 1399   e. wcel 1826  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404   + caddc 9406   x. cmul 9408   < clt 9539   - cmin 9718   2c2 10502   3c3 10503   4c4 10504   5c5 10505   6c6 10506   7c7 10507   8c8 10508   9c9 10509   10c10 10510   NN0cn0 10712  ;cdc 10895   ^cexp 12069   Primecprime 14219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-odz 14297  df-phi 14298  df-pc 14363

This theorem is referenced by: (None)