Theorem 2503prm 14497

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	|- N = ;;; 2 5 0 3

Assertion

Ref	Expression
2503prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 14484	. 2 |- ;; 1 3 9 e. Prime
2		1nn0 10823	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 10711	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 11001	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5		2503prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 2 5 0 3
6		2nn0 10824	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7		5nn0 10827	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
8	6, 7	deccl 11002	. . . . . . 7 |- ; 2 5 e. NN0
9		0nn0 10822	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	deccl 11002	. . . . . 6 |- ;; 2 5 0 e. NN0
11		2p1e3 10671	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
12		eqid 2467	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 = ;;; 2 5 0 2
13	10, 6, 11, 12	decsuc 11011	. . . . 5 |- (;;; 2 5 0 2 + 1 ) = ;;; 2 5 0 3
14	5, 13	eqtr4i 2499	. . . 4 |- N = (;;; 2 5 0 2 + 1 )
15	14	oveq1i 6305	. . 3 |- ( N - 1 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
16		8nn0 10830	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
17	2, 16	deccl 11002	. . . . 5 |- ; 1 8 e. NN0
18		3nn0 10825	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
19	2, 18	deccl 11002	. . . . 5 |- ; 1 3 e. NN0
20		9nn0 10831	. . . . 5 |- 9 e. NN0
21		eqid 2467	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 = ;; 1 3 9
22		6nn0 10828	. . . . . 6 |- 6 e. NN0
23	2, 22	deccl 11002	. . . . 5 |- ; 1 6 e. NN0
24		eqid 2467	. . . . . 6 |- ; 1 3 = ; 1 3
25		eqid 2467	. . . . . 6 |- ; 1 6 = ; 1 6
26		7nn0 10829	. . . . . . 7 |- 7 e. NN0
27		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ; 1 8 = ; 1 8
28		6cn 10629	. . . . . . . . 9 |- 6 e. CC
29		ax-1cn 9562	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
30		6p1e7 10676	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 1 ) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 9783	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 6 ) = 7
32	26	dec0h 11004	. . . . . . . 8 |- 7 = ; 0 7
33	31, 32	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- ( 1 + 6 ) = ; 0 7
34	29	mulid1i 9610	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
35	29	addid2i 9779	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
36	34, 35	oveq12i 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 )
37		1p1e2 10661	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
38	36, 37	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 2
39		8cn 10633	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. CC
40	39	mulid1i 9610	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 1 ) = 8
41	40	oveq1i 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ( 8 + 7 )
42		8p7e15 11048	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 7 ) = ; 1 5
43	41, 42	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ; 1 5
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 11027	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 1 ) + ( 1 + 6 ) ) = ; 2 5
45	22	dec0h 11004	. . . . . . 7 |- 6 = ; 0 6
46		3cn 10622	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
47	46	mulid2i 9611	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 3 ) = 3
48	46	addid2i 9779	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 3 ) = 3
49	47, 48	oveq12i 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = ( 3 + 3 )
50		3p3e6 10681	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 3 ) = 6
51	49, 50	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = 6
52		4nn0 10826	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
53		8t3e24 11077	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 3 ) = ; 2 4
54		4cn 10625	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
55		6p4e10 10691	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 4 ) = 10
56	28, 54, 55	addcomli 9783	. . . . . . . 8 |- ( 4 + 6 ) = 10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 11034	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 3 0
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 11027	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 6 0
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 11028	. . . . 5 |- ( (; 1 8 x. ; 1 3 ) + ; 1 6 ) = ;; 2 5 0
60		9cn 10635	. . . . . . . . 9 |- 9 e. CC
61	60	mulid2i 9611	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 9 ) = 9
62	61	oveq1i 6305	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ( 9 + 7 )
63		9p7e16 11055	. . . . . . 7 |- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
64	62, 63	eqtri 2496	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ; 1 6
65		9t8e72 11089	. . . . . . 7 |- ( 9 x. 8 ) = ; 7 2
66	60, 39, 65	mulcomli 9615	. . . . . 6 |- ( 8 x. 9 ) = ; 7 2
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 11035	. . . . 5 |- (; 1 8 x. 9 ) = ;; 1 6 2
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 11036	. . . 4 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ;;; 2 5 0 2
69	10, 6	deccl 11002	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 e. NN0
70	69	nn0cni 10819	. . . . 5 |- ;;; 2 5 0 2 e. CC
71		pncan 9838	. . . . 5 |- ( (;;; 2 5 0 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2 )
72	70, 29, 71	mp2an 672	. . . 4 |- ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2
73	68, 72	eqtr4i 2499	. . 3 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
74	15, 73	eqtr4i 2499	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
75	10, 18	deccl 11002	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 3 e. NN0
76	5, 75	eqeltri 2551	. . . . 5 |- N e. NN0
77	76	nn0cni 10819	. . . 4 |- N e. CC
78		npcan 9841	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
79	77, 29, 78	mp2an 672	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
80	79	eqcomi 2480	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
81		1nn 10559	. 2 |- 1 e. NN
82		2nn 10705	. 2 |- 2 e. NN
83	19, 20	deccl 11002	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 e. NN0
84	83	numexp1 14439	. . . 4 |- (;; 1 3 9 ^ 1 ) = ;; 1 3 9
85	84	oveq2i 6306	. . 3 |- (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
86	74, 85	eqtr4i 2499	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
87		8lt10 10751	. . . 4 |- 8 < 10
88		1lt10 10758	. . . . 5 |- 1 < 10
89	81, 18, 2, 88	declti 11013	. . . 4 |- 1 < ; 1 3
90	2, 19, 16, 20, 87, 89	decltc 11010	. . 3 |- ; 1 8 < ;; 1 3 9
91	90, 84	breqtrri 4478	. 2 |- ; 1 8 < (;; 1 3 9 ^ 1 )
92	5	2503lem2 14495	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
93	5	2503lem3 14496	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 1 8 ) - 1 ) gcd N ) = 1
94	1, 4, 74, 80, 4, 81, 82, 86, 91, 92, 93	pockthi 14301	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   x. cmul 9509   < clt 9640   - cmin 9817   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   5c5 10600   6c6 10601   7c7 10602   8c8 10603   9c9 10604   10c10 10605   NN0cn0 10807  ;cdc 10988   ^cexp 12146   Primecprime 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-prm 14094  df-odz 14171  df-phi 14172  df-pc 14237

This theorem is referenced by: (None)