MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2503prm 15123
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 15107 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 10892 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 10780 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 11071 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 10893 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10896 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 11072 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 10891 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 11072 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 10740 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2453 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 11081 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2478 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 6305 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10899 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 11072 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 10894 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 11072 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10900 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2453 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10897 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 11072 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2453 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2453 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10898 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2453 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6cn 10698 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
29 ax-1cn 9602 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
30 6p1e7 10745 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3128, 29, 30addcomli 9830 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3226dec0h 11074 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3331, 32eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3429mulid1i 9650 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3529addid2i 9826 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3634, 35oveq12i 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
37 1p1e2 10730 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3836, 37eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
39 8cn 10702 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4039mulid1i 9650 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4140oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
42 8p7e15 11118 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4341, 42eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 11097 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4522dec0h 11074 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
46 3cn 10691 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4746mulid2i 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4846addid2i 9826 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
4947, 48oveq12i 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
50 3p3e6 10750 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5149, 50eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
52 4nn0 10895 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
53 8t3e24 11147 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
54 4cn 10694 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
55 6p4e10 10760 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5628, 54, 55addcomli 9830 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 11104 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 11097 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 11098 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
60 9cn 10704 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6160mulid2i 9651 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6261oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
63 9p7e16 11125 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6462, 63eqtri 2475 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
65 9t8e72 11159 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6660, 39, 65mulcomli 9655 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 11105 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 11106 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
6910, 6deccl 11072 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7069nn0cni 10888 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
7170, 29pncan3oi 9896 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7268, 71eqtr4i 2478 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7315, 72eqtr4i 2478 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7410, 18deccl 11072 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
755, 74eqeltri 2527 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7675nn0cni 10888 . . . 4  |-  N  e.  CC
77 npcan 9889 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7876, 29, 77mp2an 679 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
7978eqcomi 2462 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
80 1nn 10627 . 2  |-  1  e.  NN
81 2nn 10774 . 2  |-  2  e.  NN
8219, 20deccl 11072 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8382numexp1 15061 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8483oveq2i 6306 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8573, 84eqtr4i 2478 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86 8lt10 10820 . . . 4  |-  8  <  10
87 1lt10 10827 . . . . 5  |-  1  <  10
8880, 18, 2, 87declti 11083 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
892, 19, 16, 20, 86, 88decltc 11080 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9089, 83breqtrri 4431 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9152503lem2 15121 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9252503lem3 15122 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
931, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92pockthi 14863 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1446    e. wcel 1889  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549    < clt 9680    - cmin 9865   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   5c5 10669   6c6 10670   7c7 10671   8c8 10672   9c9 10673   10c10 10674   NN0cn0 10876  ;cdc 11058   ^cexp 12279   Primecprime 14634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-dvds 14318  df-gcd 14481  df-prm 14635  df-odz 14724  df-phi 14726  df-pc 14799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator