MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Structured version   Unicode version

Theorem 2503prm 14164
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 14151 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 10595 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 10485 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 10768 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 10596 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10599 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 10769 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 10594 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 10769 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 10445 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2443 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 10778 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2466 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 6101 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10602 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 10769 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 10597 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 10769 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10603 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2443 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10600 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 10769 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2443 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2443 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10601 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2443 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6cn 10403 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
29 ax-1cn 9340 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
30 6p1e7 10450 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3128, 29, 30addcomli 9561 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3226dec0h 10771 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3331, 32eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3429mulid1i 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3529addid2i 9557 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3634, 35oveq12i 6103 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
37 1p1e2 10435 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3836, 37eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
39 8cn 10407 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4039mulid1i 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4140oveq1i 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
42 8p7e15 10815 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4341, 42eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
442, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43decmac 10794 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4522dec0h 10771 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
46 3cn 10396 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4746mulid2i 9389 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4846addid2i 9557 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
4947, 48oveq12i 6103 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
50 3p3e6 10455 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5149, 50eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
52 4nn0 10598 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
53 8t3e24 10844 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
54 4cn 10399 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
55 6p4e10 10465 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5628, 54, 55addcomli 9561 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
576, 52, 22, 53, 11, 56decaddci2 10801 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
582, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57decmac 10794 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
592, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58decma2c 10795 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
60 9cn 10409 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6160mulid2i 9389 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6261oveq1i 6101 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
63 9p7e16 10822 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6462, 63eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
65 9t8e72 10856 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6660, 39, 65mulcomli 9393 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6720, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66decmul1c 10802 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
6817, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67decmul2c 10803 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
6910, 6deccl 10769 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7069nn0cni 10591 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
71 pncan 9616 . . . . 5  |-  ( (;;; 2 5 0 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 2 5 0 2 )
7270, 29, 71mp2an 672 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7368, 72eqtr4i 2466 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7415, 73eqtr4i 2466 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7510, 18deccl 10769 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
765, 75eqeltri 2513 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7776nn0cni 10591 . . . 4  |-  N  e.  CC
78 npcan 9619 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7977, 29, 78mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
8079eqcomi 2447 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
81 1nn 10333 . 2  |-  1  e.  NN
82 2nn 10479 . 2  |-  2  e.  NN
8319, 20deccl 10769 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8483numexp1 14106 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8584oveq2i 6102 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8674, 85eqtr4i 2466 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
87 8lt10 10525 . . . 4  |-  8  <  10
88 1lt10 10532 . . . . 5  |-  1  <  10
8981, 18, 2, 88declti 10780 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
902, 19, 16, 20, 87, 89decltc 10777 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9190, 84breqtrri 4317 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9252503lem2 14162 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9352503lem3 14163 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
941, 4, 74, 80, 4, 81, 82, 86, 91, 92, 93pockthi 13968 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    - cmin 9595   2c2 10371   3c3 10372   4c4 10373   5c5 10374   6c6 10375   7c7 10376   8c8 10377   9c9 10378   10c10 10379   NN0cn0 10579  ;cdc 10755   ^cexp 11865   Primecprime 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-prm 13764  df-odz 13840  df-phi 13841  df-pc 13904
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator