Theorem 2503prm 14499

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	|- N = ;;; 2 5 0 3

Assertion

Ref	Expression
2503prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 14486	. 2 |- ;; 1 3 9 e. Prime
2		1nn0 10817	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 10705	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 10997	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5		2503prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 2 5 0 3
6		2nn0 10818	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7		5nn0 10821	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
8	6, 7	deccl 10998	. . . . . . 7 |- ; 2 5 e. NN0
9		0nn0 10816	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	deccl 10998	. . . . . 6 |- ;; 2 5 0 e. NN0
11		2p1e3 10665	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
12		eqid 2443	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 = ;;; 2 5 0 2
13	10, 6, 11, 12	decsuc 11007	. . . . 5 |- (;;; 2 5 0 2 + 1 ) = ;;; 2 5 0 3
14	5, 13	eqtr4i 2475	. . . 4 |- N = (;;; 2 5 0 2 + 1 )
15	14	oveq1i 6291	. . 3 |- ( N - 1 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
16		8nn0 10824	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
17	2, 16	deccl 10998	. . . . 5 |- ; 1 8 e. NN0
18		3nn0 10819	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
19	2, 18	deccl 10998	. . . . 5 |- ; 1 3 e. NN0
20		9nn0 10825	. . . . 5 |- 9 e. NN0
21		eqid 2443	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 = ;; 1 3 9
22		6nn0 10822	. . . . . 6 |- 6 e. NN0
23	2, 22	deccl 10998	. . . . 5 |- ; 1 6 e. NN0
24		eqid 2443	. . . . . 6 |- ; 1 3 = ; 1 3
25		eqid 2443	. . . . . 6 |- ; 1 6 = ; 1 6
26		7nn0 10823	. . . . . . 7 |- 7 e. NN0
27		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ; 1 8 = ; 1 8
28		6cn 10623	. . . . . . . . 9 |- 6 e. CC
29		ax-1cn 9553	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
30		6p1e7 10670	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 1 ) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 9775	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 6 ) = 7
32	26	dec0h 11000	. . . . . . . 8 |- 7 = ; 0 7
33	31, 32	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- ( 1 + 6 ) = ; 0 7
34	29	mulid1i 9601	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
35	29	addid2i 9771	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
36	34, 35	oveq12i 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 )
37		1p1e2 10655	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
38	36, 37	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 2
39		8cn 10627	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. CC
40	39	mulid1i 9601	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 1 ) = 8
41	40	oveq1i 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ( 8 + 7 )
42		8p7e15 11044	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 7 ) = ; 1 5
43	41, 42	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ; 1 5
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 11023	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 1 ) + ( 1 + 6 ) ) = ; 2 5
45	22	dec0h 11000	. . . . . . 7 |- 6 = ; 0 6
46		3cn 10616	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
47	46	mulid2i 9602	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 3 ) = 3
48	46	addid2i 9771	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 3 ) = 3
49	47, 48	oveq12i 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = ( 3 + 3 )
50		3p3e6 10675	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 3 ) = 6
51	49, 50	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = 6
52		4nn0 10820	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
53		8t3e24 11073	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 3 ) = ; 2 4
54		4cn 10619	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
55		6p4e10 10685	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 4 ) = 10
56	28, 54, 55	addcomli 9775	. . . . . . . 8 |- ( 4 + 6 ) = 10
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 11030	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 3 0
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 11023	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 6 0
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 11024	. . . . 5 |- ( (; 1 8 x. ; 1 3 ) + ; 1 6 ) = ;; 2 5 0
60		9cn 10629	. . . . . . . . 9 |- 9 e. CC
61	60	mulid2i 9602	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 9 ) = 9
62	61	oveq1i 6291	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ( 9 + 7 )
63		9p7e16 11051	. . . . . . 7 |- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
64	62, 63	eqtri 2472	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ; 1 6
65		9t8e72 11085	. . . . . . 7 |- ( 9 x. 8 ) = ; 7 2
66	60, 39, 65	mulcomli 9606	. . . . . 6 |- ( 8 x. 9 ) = ; 7 2
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 11031	. . . . 5 |- (; 1 8 x. 9 ) = ;; 1 6 2
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 11032	. . . 4 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ;;; 2 5 0 2
69	10, 6	deccl 10998	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 e. NN0
70	69	nn0cni 10813	. . . . 5 |- ;;; 2 5 0 2 e. CC
71	70, 29	pncan3oi 9841	. . . 4 |- ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2
72	68, 71	eqtr4i 2475	. . 3 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
73	15, 72	eqtr4i 2475	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
74	10, 18	deccl 10998	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 3 e. NN0
75	5, 74	eqeltri 2527	. . . . 5 |- N e. NN0
76	75	nn0cni 10813	. . . 4 |- N e. CC
77		npcan 9834	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
78	76, 29, 77	mp2an 672	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
79	78	eqcomi 2456	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
80		1nn 10553	. 2 |- 1 e. NN
81		2nn 10699	. 2 |- 2 e. NN
82	19, 20	deccl 10998	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 e. NN0
83	82	numexp1 14440	. . . 4 |- (;; 1 3 9 ^ 1 ) = ;; 1 3 9
84	83	oveq2i 6292	. . 3 |- (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
85	73, 84	eqtr4i 2475	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86		8lt10 10745	. . . 4 |- 8 < 10
87		1lt10 10752	. . . . 5 |- 1 < 10
88	80, 18, 2, 87	declti 11009	. . . 4 |- 1 < ; 1 3
89	2, 19, 16, 20, 86, 88	decltc 11006	. . 3 |- ; 1 8 < ;; 1 3 9
90	89, 83	breqtrri 4462	. 2 |- ; 1 8 < (;; 1 3 9 ^ 1 )
91	5	2503lem2 14497	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
92	5	2503lem3 14498	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 1 8 ) - 1 ) gcd N ) = 1
93	1, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92	pockthi 14302	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   = wceq 1383   e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   < clt 9631   - cmin 9810   2c2 10591   3c3 10592   4c4 10593   5c5 10594   6c6 10595   7c7 10596   8c8 10597   9c9 10598   10c10 10599   NN0cn0 10801  ;cdc 10984   ^cexp 12145   Primecprime 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095  df-odz 14172  df-phi 14173  df-pc 14238

This theorem is referenced by: (None)