MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  23prm Structured version   Unicode version

Theorem 23prm 15078
Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
23prm  |- ; 2 3  e.  Prime

Proof of Theorem 23prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 10887 . . 3  |-  2  e.  NN0
2 3nn 10769 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 11065 . 2  |- ; 2 3  e.  NN
4 2nn 10768 . . 3  |-  2  e.  NN
5 3nn0 10888 . . 3  |-  3  e.  NN0
6 1nn0 10886 . . 3  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10821 . . 3  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 11077 . 2  |-  1  < ; 2
3
94nncni 10620 . . . 4  |-  2  e.  CC
109mulid2i 9647 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
11 df-3 10670 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
121, 6, 10, 11dec2dvds 15023 . 2  |-  -.  2  || ; 2 3
13 7nn0 10892 . . 3  |-  7  e.  NN0
14 7cn 10694 . . . . 5  |-  7  e.  CC
152nncni 10620 . . . . 5  |-  3  e.  CC
16 7t3e21 11135 . . . . 5  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
1714, 15, 16mulcomli 9651 . . . 4  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
18 1p2e3 10735 . . . 4  |-  ( 1  +  2 )  =  3
191, 6, 1, 17, 18decaddi 11096 . . 3  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
20 2lt3 10778 . . 3  |-  2  <  3
212, 13, 4, 19, 20ndvdsi 14379 . 2  |-  -.  3  || ; 2 3
22 5nn 10771 . . 3  |-  5  e.  NN
23 3lt5 10784 . . 3  |-  3  <  5
241, 5, 22, 23declt 11073 . 2  |- ; 2 3  < ; 2 5
253, 8, 12, 21, 24prmlem1 15067 1  |- ; 2 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1868  (class class class)co 6302   1c1 9541    x. cmul 9545   2c2 10660   3c3 10661   5c5 10663   7c7 10665  ;cdc 11052   Primecprime 14610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-dvds 14294  df-prm 14611
This theorem is referenced by:  bpos1  24198
  Copyright terms: Public domain W3C validator