MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1zzd Structured version   Unicode version

Theorem 1zzd 10884
Description: 1 is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 6-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
1zzd  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )

Proof of Theorem 1zzd
StepHypRef Expression
1 1z 10883 . 2  |-  1  e.  ZZ
21a1i 11 1  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   1c1 9482   ZZcz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-z 10854
This theorem is referenced by:  elfz1b  11737  fzoss2  11810  fzo1fzo0n0  11821  elfznelfzo  11872  modnegd  11998  2submod  12004  sermono  12095  seqf1olem2  12103  bcp1nk  12350  climuni  13324  isercoll  13439  telfsumo  13565  fsumparts  13569  binomlem  13593  climcndslem2  13614  climcnds  13615  divcnv  13617  supcvg  13619  arisum  13623  trireciplem  13625  trirecip  13626  expcnv  13627  geo2sum  13634  geo2lim  13636  geoisum1  13640  geoisum1c  13641  mertenslem1  13645  mertenslem2  13646  ege2le3  13676  rpnnen2  13809  bitscmp  13936  hashdvds  14153  phiprmpw  14154  odzdvds  14170  odzphi  14171  modprm1div  14172  iserodd  14207  pcid  14244  pcmptcl  14258  pockthlem  14271  prmreclem4  14285  prmreclem6  14287  vdwapun  14340  mulgpropd  15968  sylow1lem1  16407  sylow3lem6  16441  pgpfac1lem2  16909  zringcyg  18273  zcyg  18278  mulgrhm2  18293  mulgrhm2OLD  18296  znunit  18362  znrrg  18364  cpmadugsumlemF  19137  lmcnp  19564  lmmo  19640  1stcelcls  19721  1stccnp  19722  1stckgenlem  19782  1stckgen  19783  clmvneg1  21319  clmmulg  21321  lmnn  21430  cmetcaulem  21455  iscmet2  21461  causs  21465  caubl  21474  iscmet3i  21478  ovolsf  21612  ovoliunlem1  21641  ovoliun  21644  ovoliun2  21645  ovolicc2lem2  21657  ovolicc2lem3  21658  ovolicc2lem4  21659  voliunlem2  21689  voliunlem3  21690  ioombl1lem4  21699  uniioombllem2  21720  uniioombllem3  21722  uniioombllem6  21725  vitalilem4  21748  itg1climres  21849  mbfi1fseqlem6  21855  mbfi1flimlem  21857  mbfmullem2  21859  itg2monolem1  21885  itg2i1fseq  21890  itg2i1fseq2  21891  itg2addlem  21893  plyeq0lem  22335  dvply1  22407  dvtaylp  22492  pserdvlem2  22550  pserdv2  22552  advlogexp  22757  logtayl  22762  logtaylsum  22763  logtayl2  22764  atantayl  22989  leibpilem2  22993  leibpi  22994  birthdaylem2  23003  dfef2  23021  divsqrsumlem  23030  emcllem4  23049  emcllem6  23051  emcllem7  23052  wilthlem1  23063  wilthlem2  23064  basellem6  23080  basellem7  23081  basellem8  23082  basellem9  23083  mersenne  23223  perfectlem1  23225  perfectlem2  23226  lgslem1  23292  lgsqrlem1  23337  lgseisenlem1  23345  lgsquad2lem1  23354  lgsquad3  23357  2sqlem11  23371  dchrisumlema  23394  dchrisumlem3  23397  dchrmusum2  23400  dchrvmasumiflem1  23407  dchrvmaeq0  23410  dchrisum0re  23419  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem2a  23423  logdivsum  23439  pntrlog2bndlem1  23483  pntpbnd2  23493  redwlk  24270  nvlmle  25264  minvecolem3  25454  minvecolem4b  25456  minvecolem4  25458  h2hcau  25558  h2hlm  25559  hlimadd  25772  hhsscms  25857  occllem  25883  nlelchi  26642  opsqrlem4  26724  hmopidmchi  26732  fiblem  27963  sumnnodd  31127  stoweidlem3  31258  stoweidlem7  31262  stoweidlem11  31266  stoweidlem14  31269  stoweidlem20  31275  stoweidlem26  31281  stoweidlem34  31289  stoweidlem51  31306  fourierdlem41  31403  fourierdlem48  31410  sqwvfoura  31484  sqwvfourb  31485  fouriersw  31487
  Copyright terms: Public domain W3C validator