MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1zzd Structured version   Unicode version

Theorem 1zzd 10680
Description: 1 is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 6-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
1zzd  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )

Proof of Theorem 1zzd
StepHypRef Expression
1 1z 10679 . 2  |-  1  e.  ZZ
21a1i 11 1  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   1c1 9286   ZZcz 10649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-z 10650
This theorem is referenced by:  elfz1b  11530  fzoss2  11580  fzo1fzo0n0  11591  elfznelfzo  11633  modnegd  11757  2submod  11763  sermono  11841  seqf1olem2  11849  bcp1nk  12096  climuni  13033  isercoll  13148  fsumtscopo  13268  fsumparts  13272  binomlem  13295  climcndslem2  13316  climcnds  13317  divcnv  13319  supcvg  13321  arisum  13325  trireciplem  13327  trirecip  13328  expcnv  13329  geo2sum  13336  geo2lim  13338  geoisum1  13342  geoisum1c  13343  mertenslem1  13347  mertenslem2  13348  ege2le3  13378  rpnnen2  13511  bitscmp  13637  hashdvds  13853  phiprmpw  13854  odzdvds  13870  odzphi  13871  modprm1div  13872  iserodd  13905  pcid  13942  pcmptcl  13956  pockthlem  13969  prmreclem4  13983  prmreclem6  13985  vdwapun  14038  mulgpropd  15663  sylow1lem1  16100  sylow3lem6  16134  pgpfac1lem2  16579  zringcyg  17910  zcyg  17915  mulgrhm2  17930  mulgrhm2OLD  17933  znunit  17999  znrrg  18001  lmcnp  18911  lmmo  18987  1stcelcls  19068  1stccnp  19069  1stckgenlem  19129  1stckgen  19130  clmvneg1  20666  clmmulg  20668  lmnn  20777  cmetcaulem  20802  iscmet2  20808  causs  20812  caubl  20821  iscmet3i  20825  ovolsf  20959  ovoliunlem1  20988  ovoliun  20991  ovoliun2  20992  ovolicc2lem2  21004  ovolicc2lem3  21005  ovolicc2lem4  21006  voliunlem2  21035  voliunlem3  21036  ioombl1lem4  21045  uniioombllem2  21066  uniioombllem3  21068  uniioombllem6  21071  vitalilem4  21094  itg1climres  21195  mbfi1fseqlem6  21201  mbfi1flimlem  21203  mbfmullem2  21205  itg2monolem1  21231  itg2i1fseq  21236  itg2i1fseq2  21237  itg2addlem  21239  plyeq0lem  21681  dvply1  21753  dvtaylp  21838  pserdvlem2  21896  pserdv2  21898  advlogexp  22103  logtayl  22108  logtaylsum  22109  logtayl2  22110  atantayl  22335  leibpilem2  22339  leibpi  22340  birthdaylem2  22349  dfef2  22367  divsqrsumlem  22376  emcllem4  22395  emcllem6  22397  emcllem7  22398  wilthlem1  22409  wilthlem2  22410  basellem6  22426  basellem7  22427  basellem8  22428  basellem9  22429  mersenne  22569  perfectlem1  22571  perfectlem2  22572  lgslem1  22638  lgsqrlem1  22683  lgseisenlem1  22691  lgsquad2lem1  22700  lgsquad3  22703  2sqlem11  22717  dchrisumlema  22740  dchrisumlem3  22743  dchrmusum2  22746  dchrvmasumiflem1  22753  dchrvmaeq0  22756  dchrisum0re  22765  dchrisum0lem1b  22767  dchrisum0lem2a  22769  logdivsum  22785  pntrlog2bndlem1  22829  pntpbnd2  22839  redwlk  23508  nvlmle  24090  minvecolem3  24280  minvecolem4b  24282  minvecolem4  24284  h2hcau  24384  h2hlm  24385  hlimadd  24598  hhsscms  24683  occllem  24709  nlelchi  25468  opsqrlem4  25550  hmopidmchi  25558  fiblem  26784  stoweidlem3  29801  stoweidlem7  29805  stoweidlem11  29809  stoweidlem14  29812  stoweidlem20  29818  stoweidlem26  29824  stoweidlem34  29832  stoweidlem51  29849
  Copyright terms: Public domain W3C validator