MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1unit Structured version   Unicode version

Theorem 1unit 17519
Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unit.1  |-  U  =  (Unit `  R )
unit.2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
1unit  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  U )

Proof of Theorem 1unit
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 unit.2 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
31, 2ringidcl 17431 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ||r `  R
)  =  ( ||r `  R
)
51, 4dvdsrid 17512 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  e.  ( Base `  R
) )  ->  .1.  ( ||r `
 R )  .1.  )
63, 5mpdan 666 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  ( ||r `  R )  .1.  )
7 eqid 2402 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
87opprring 17492 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (oppr `  R
)  e.  Ring )
97, 1opprbas 17490 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (oppr
`  R ) )
10 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ||r `  (oppr `  R
) )  =  (
||r `  (oppr
`  R ) )
119, 10dvdsrid 17512 . . 3  |-  ( ( (oppr
`  R )  e. 
Ring  /\  .1.  e.  (
Base `  R )
)  ->  .1.  ( ||r `  (oppr
`  R ) )  .1.  )
128, 3, 11syl2anc 659 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  ( ||r `  (oppr
`  R ) )  .1.  )
13 unit.1 . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
1413, 2, 4, 7, 10isunit 17518 . 2  |-  (  .1. 
e.  U  <->  (  .1.  ( ||r `
 R )  .1. 
/\  .1.  ( ||r `  (oppr `  R
) )  .1.  )
)
156, 12, 14sylanbrc 662 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5525   Basecbs 14733   1rcur 17365   Ringcrg 17410  opprcoppr 17483   ||rcdsr 17499  Unitcui 17500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-oppr 17484  df-dvdsr 17502  df-unit 17503
This theorem is referenced by:  unitgrp  17528  unitgrpid  17530  unitsubm  17531  1rinv  17540  0unit  17541  dvr1  17550  irredn1  17567  irredneg  17571  isdrng2  17618  drngunz  17623  subrgugrp  17660  deg1invg  22691  mon1puc1p  22735  dchrelbasd  23787  dchrabs  23808  dchrptlem2  23813  dchrisum0re  23971  mon1psubm  35511  nzrneg1ne0  38166
  Copyright terms: Public domain W3C validator