Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1to3vfriendship Structured version   Unicode version

Theorem 1to3vfriendship 30747
Description: The friendship theorem for small graphs: In every friendship graph with one, two or three vertices, there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
1to3vfriendship  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( V  =  { A }  \/  V  =  { A ,  B }  \/  V  =  { A ,  B ,  C } ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    v, A, w    v, B, w    v, C, w    v, E, w   
v, V, w    w, X
Allowed substitution hint:    X( v)

Proof of Theorem 1to3vfriendship
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1to3vfriswmgra 30746 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( V  =  { A }  \/  V  =  { A ,  B }  \/  V  =  { A ,  B ,  C } ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) ( { w ,  v }  e.  ran  E  /\  E! x  e.  ( V  \  { v } ) { w ,  x }  e.  ran  E ) ) )
2 prcom 4060 . . . . . . 7  |-  { w ,  v }  =  { v ,  w }
32eleq1i 2531 . . . . . 6  |-  ( { w ,  v }  e.  ran  E  <->  { v ,  w }  e.  ran  E )
43biimpi 194 . . . . 5  |-  ( { w ,  v }  e.  ran  E  ->  { v ,  w }  e.  ran  E )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( { w ,  v }  e.  ran  E  /\  E! x  e.  ( V  \  { v } ) { w ,  x }  e.  ran  E )  ->  { v ,  w }  e.  ran  E )
65ralimi 2818 . . 3  |-  ( A. w  e.  ( V  \  { v } ) ( { w ,  v }  e.  ran  E  /\  E! x  e.  ( V  \  {
v } ) { w ,  x }  e.  ran  E )  ->  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
76reximi 2927 . 2  |-  ( E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) ( { w ,  v }  e.  ran  E  /\  E! x  e.  ( V  \  {
v } ) { w ,  x }  e.  ran  E )  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  { v } ) { v ,  w }  e.  ran  E )
81, 7syl6 33 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( V  =  { A }  \/  V  =  { A ,  B }  \/  V  =  { A ,  B ,  C } ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. v  e.  V  A. w  e.  ( V  \  {
v } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   E!wreu 2800    \ cdif 3432   {csn 3984   {cpr 3986   {ctp 3988   class class class wbr 4399   ran crn 4948   FriendGrph cfrgra 30727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-hash 12220  df-usgra 23417  df-frgra 30728
This theorem is referenced by:  friendship  30862
  Copyright terms: Public domain W3C validator