Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1to2vfriswmgra Structured version   Unicode version

Theorem 1to2vfriswmgra 30595
Description: Every friendship graph with one or two vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
1to2vfriswmgra  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( V  =  { A }  \/  V  =  { A ,  B } ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Distinct variable groups:    A, h, v, w    B, h, v, w    h, E, v, w    h, V, v, w    v, X, w
Allowed substitution hint:    X( h)

Proof of Theorem 1to2vfriswmgra
StepHypRef Expression
1 1vwmgra 30592 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  V  =  { A } )  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
21a1d 25 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  V  =  { A } )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
32expcom 435 . . 3  |-  ( V  =  { A }  ->  ( A  e.  X  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
4 breq1 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { A ,  B }  ->  ( V FriendGrph  E 
<->  { A ,  B } FriendGrph  E ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  =  { A ,  B }  /\  (
( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { A ,  B } FriendGrph  E ) )
6 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A  e.  X  /\  ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B ) ) )
7 anass 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  _V )  /\  A  =/=  B
)  <->  ( A  e.  X  /\  ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B ) ) )
86, 7sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  _V )  /\  A  =/=  B
) )
9 frgra2v 30588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  _V )  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  /\  A  e.  X
)  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
1110adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  =  { A ,  B }  /\  (
( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  /\  A  e.  X
) )  ->  -.  { A ,  B } FriendGrph  E )
1211pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  =  { A ,  B }  /\  (
( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( { A ,  B } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
135, 12sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( V  =  { A ,  B }  /\  (
( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
1413expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  /\  A  e.  X
)  ->  ( V  =  { A ,  B }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1514ex 434 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  -> 
( A  e.  X  ->  ( V  =  { A ,  B }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) ) )
1615com23 78 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  -> 
( V  =  { A ,  B }  ->  ( A  e.  X  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) ) )
17 ianor 488 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  <-> 
( -.  B  e. 
_V  \/  -.  A  =/=  B ) )
18 prprc2 3984 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  { A ,  B }  =  { A } )
19 nne 2610 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  =/=  B  <->  A  =  B )
20 preq2 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  A  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
2120eqcoms 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
22 dfsn2 3888 . . . . . . . . . 10  |-  { A }  =  { A ,  A }
2321, 22syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { A } )
2419, 23sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =/=  B  ->  { A ,  B }  =  { A } )
2518, 24jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  B  e.  _V  \/  -.  A  =/=  B
)  ->  { A ,  B }  =  { A } )
2617, 25sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  =  { A } )
2726eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  ->  ( V  =  { A ,  B } 
<->  V  =  { A } ) )
2827, 3syl6bi 228 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  =/=  B )  ->  ( V  =  { A ,  B }  ->  ( A  e.  X  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) ) )
2916, 28pm2.61i 164 . . 3  |-  ( V  =  { A ,  B }  ->  ( A  e.  X  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
303, 29jaoi 379 . 2  |-  ( ( V  =  { A }  \/  V  =  { A ,  B }
)  ->  ( A  e.  X  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
3130impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( V  =  { A }  \/  V  =  { A ,  B } ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715   _Vcvv 2970    \ cdif 3323   {csn 3875   {cpr 3877   class class class wbr 4290   ran crn 4839   FriendGrph cfrgra 30577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102  df-usgra 23264  df-frgra 30578
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgra  30596
  Copyright terms: Public domain W3C validator