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Theorem 1stmbfm 24563
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
1stmbfm  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6327 . . . 4  |-  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S
2 1stmbfm.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 24500 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
71, 6mpbii 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
)
8 unielsiga 24464 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
92, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
10 sxsiga 24498 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 24464 . . . . 5  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
14 elmapg 6990 . . . 4  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
159, 13, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S ) )
167, 15mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
17 sgon 24460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
182, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
19 sigasspw 24452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  S  C_  ~P U. S )
20 pwssb 4137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ~P U. S  <->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2120biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  ~P U. S  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2218, 19, 213syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2322r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  C_ 
U. S )
24 xpss1 4943 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  U. S  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2625sseld 3307 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  ->  z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2726pm4.71rd 617 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) ) )
28 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
29 elpreima 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
301, 28, 29mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
31 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 1st `  z ) )
3231eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
33 1st2nd2 6345 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
34 xp2nd 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  U. T
)
35 elxp6 6337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
36 anass 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
37 an32 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3835, 36, 373bitr2i 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3938baib 872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
4033, 34, 39syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( a  X.  U. T
)  <->  ( 1st `  z
)  e.  a ) )
4132, 40bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4241pm5.32i 619 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4330, 42bitri 241 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4427, 43syl6rbbr 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( a  X.  U. T
) ) )
4544eqrdv 2402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( a  X.  U. T ) )
462adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
473adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
48 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
49 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  U. T  =  U. T
50 issgon 24459 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <-> 
( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T ) )
5150biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T
)  ->  T  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
523, 49, 51sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
53 baselsiga 24451 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  U. T  e.  T
)
5452, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
5554adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  U. T  e.  T )
56 elsx 24501 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( a  e.  S  /\  U. T  e.  T ) )  -> 
( a  X.  U. T )  e.  ( S ×s  T ) )
5746, 47, 48, 55, 56syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  e.  ( S ×s  T ) )
5845, 57eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5958ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
6011, 2ismbfm 24555 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S )  <-> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
6116, 59, 60mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   <.cop 3777   U.cuni 3975    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307    ^m cmap 6977  sigAlgebracsiga 24443   ×s csx 24495  MblFnMcmbfm 24553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-siga 24444  df-sigagen 24475  df-sx 24496  df-mbfm 24554
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