Theorem 1stmbfm 27899

Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stmbfm.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )

Assertion

Ref	Expression
1stmbfm	|- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm

Dummy variables z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1stres 6806	. . . 4 |- ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S
2		1stmbfm.1	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		1stmbfm.2	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
4		sxuni 27832	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
6	5	feq2d 5718	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
7	1, 6	mpbii 211	. . 3 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S )
8		unielsiga 27796	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> U. S e. S )
9	2, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. S e. S )
10		sxsiga 27830	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
11	2, 3, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
12		unielsiga 27796	. . . . 5 |- ( ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
14		elmapg 7433	. . . 4 |- ( ( U. S e. S /\ U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) ) -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
16	7, 15	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) )
17		sgon 27792	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
18		sigasspw 27784	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) -> S C_ ~P U. S )
19		pwssb 4412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ~P U. S <-> A. a e. S a C_ U. S )
20	19	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ ~P U. S -> A. a e. S a C_ U. S )
21	2, 17, 18, 20	4syl 21	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. S a C_ U. S )
22	21	r19.21bi 2833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ U. S )
23		xpss1 5111	. . . . . . . . 9 |- ( a C_ U. S -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
25	24	sseld 3503	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) -> z e. ( U. S X. U. T ) ) )
26	25	pm4.71rd 635	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) ) )
27		ffn 5731	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) )
28		elpreima 6001	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) ) )
29	1, 27, 28	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) )
30		fvres 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) = ( 1st ` z ) )
31	30	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
32		1st2nd2 6821	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
33		xp2nd 6815	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( 2nd ` z ) e. U. T )
34		elxp6 6816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
35		anass 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
36		an32 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
37	34, 35, 36	3bitr2i 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
38	37	baib 901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
39	32, 33, 38	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
40	31, 39	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
41	40	pm5.32i 637	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
42	29, 41	bitri 249	. . . . . 6 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
43	26, 42	syl6rbbr 264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
44	43	eqrdv 2464	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) = ( a X. U. T ) )
45	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
46	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
47		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
48		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- U. T = U. T
49		issgon 27791	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) )
50	49	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
51	3, 48, 50	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
52		baselsiga 27783	. . . . . . 7 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) -> U. T e. T )
53	51, 52	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> U. T e. T )
54	53	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> U. T e. T )
55		elsx 27833	. . . . 5 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) /\ ( a e. S /\ U. T e. T ) ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
56	45, 46, 47, 54, 55	syl22anc 1229	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
57	44, 56	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
58	57	ralrimiva 2878	. 2 |- ( ph -> A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
59	11, 2	ismbfm 27891	. 2 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) <-> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) /\ A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) ) ) )
60	16, 58, 59	mpbir2and 920	1 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   U.cuni 4245   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000   |` cres 5001   "cima 5002   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   ^m cmap 7420  sigAlgebracsiga 27775   ×_s csx 27827  MblFnMcmbfm 27889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-siga 27776  df-sigagen 27807  df-sx 27828  df-mbfm 27890

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