Theorem 1stmbfm 28392

Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stmbfm.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )

Assertion

Ref	Expression
1stmbfm	|- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm

Dummy variables z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1stres 6821	. . . 4 |- ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S
2		1stmbfm.1	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		1stmbfm.2	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
4		sxuni 28325	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
6	5	feq2d 5724	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
7	1, 6	mpbii 211	. . 3 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S )
8		unielsiga 28289	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> U. S e. S )
9	2, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. S e. S )
10		sxsiga 28323	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
11	2, 3, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
12		unielsiga 28289	. . . . 5 |- ( ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
13	11, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
14	9, 13	elmapd 7452	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
15	7, 14	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) )
16		sgon 28285	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
17		sigasspw 28277	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) -> S C_ ~P U. S )
18		pwssb 4422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ~P U. S <-> A. a e. S a C_ U. S )
19	18	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ ~P U. S -> A. a e. S a C_ U. S )
20	2, 16, 17, 19	4syl 21	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. S a C_ U. S )
21	20	r19.21bi 2826	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ U. S )
22		xpss1 5120	. . . . . . . . 9 |- ( a C_ U. S -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
24	23	sseld 3498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) -> z e. ( U. S X. U. T ) ) )
25	24	pm4.71rd 635	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) ) )
26		ffn 5737	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) )
27		elpreima 6008	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) ) )
28	1, 26, 27	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) )
29		fvres 5886	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) = ( 1st ` z ) )
30	29	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
31		1st2nd2 6836	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
32		xp2nd 6830	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( 2nd ` z ) e. U. T )
33		elxp6 6831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
34		anass 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
35		an32 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
36	33, 34, 35	3bitr2i 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
37	36	baib 903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
38	31, 32, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
39	30, 38	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
40	39	pm5.32i 637	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
41	28, 40	bitri 249	. . . . . 6 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
42	25, 41	syl6rbbr 264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
43	42	eqrdv 2454	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) = ( a X. U. T ) )
44	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
45	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
46		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
47		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- U. T = U. T
48		issgon 28284	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) )
49	48	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
50	3, 47, 49	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
51		baselsiga 28276	. . . . . . 7 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) -> U. T e. T )
52	50, 51	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> U. T e. T )
53	52	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> U. T e. T )
54		elsx 28326	. . . . 5 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) /\ ( a e. S /\ U. T e. T ) ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
55	44, 45, 46, 53, 54	syl22anc 1229	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
56	43, 55	eqeltrd 2545	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
57	56	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
58	11, 2	ismbfm 28384	. 2 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) <-> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) /\ A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) ) ) )
59	15, 57, 58	mpbir2and 922	1 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   <.cop 4038   U.cuni 4251   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   |` cres 5010   "cima 5011   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   ^m cmap 7438  sigAlgebracsiga 28268   ×_s csx 28320  MblFnMcmbfm 28382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-siga 28269  df-sigagen 28300  df-sx 28321  df-mbfm 28383

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