Theorem 1stmbfm 29155

Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stmbfm.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )

Assertion

Ref	Expression
1stmbfm	|- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm

Dummy variables z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1stres 6834	. . . 4 |- ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S
2		1stmbfm.1	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		1stmbfm.2	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
4		sxuni 29089	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
6	5	feq2d 5725	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
7	1, 6	mpbii 216	. . 3 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S )
8		unielsiga 29024	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> U. S e. S )
9	2, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. S e. S )
10		sxsiga 29087	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
11	2, 3, 10	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
12		unielsiga 29024	. . . . 5 |- ( ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
14	9, 13	elmapd 7504	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
15	7, 14	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) )
16		sgon 29020	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
17		sigasspw 29012	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) -> S C_ ~P U. S )
18		pwssb 4361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ~P U. S <-> A. a e. S a C_ U. S )
19	18	biimpi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ ~P U. S -> A. a e. S a C_ U. S )
20	2, 16, 17, 19	4syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. S a C_ U. S )
21	20	r19.21bi 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ U. S )
22		xpss1 4948	. . . . . . . . 9 |- ( a C_ U. S -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
24	23	sseld 3417	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) -> z e. ( U. S X. U. T ) ) )
25	24	pm4.71rd 647	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) ) )
26		ffn 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) )
27		elpreima 6017	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) ) )
28	1, 26, 27	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) )
29		fvres 5893	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) = ( 1st ` z ) )
30	29	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
31		1st2nd2 6849	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
32		xp2nd 6843	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( 2nd ` z ) e. U. T )
33		elxp6 6844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
34		anass 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
35		an32 815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
36	33, 34, 35	3bitr2i 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
37	36	baib 919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
38	31, 32, 37	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
39	30, 38	bitr4d 264	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
40	39	pm5.32i 649	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
41	28, 40	bitri 257	. . . . . 6 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
42	25, 41	syl6rbbr 272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
43	42	eqrdv 2469	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) = ( a X. U. T ) )
44	2	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
45	3	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
46		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
47		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- U. T = U. T
48		issgon 29019	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) )
49	48	biimpri 211	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
50	3, 47, 49	sylancl 675	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
51		baselsiga 29011	. . . . . . 7 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) -> U. T e. T )
52	50, 51	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U. T e. T )
53	52	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> U. T e. T )
54		elsx 29090	. . . . 5 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) /\ ( a e. S /\ U. T e. T ) ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
55	44, 45, 46, 53, 54	syl22anc 1293	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
56	43, 55	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
57	56	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
58	11, 2	ismbfm 29147	. 2 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) <-> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) /\ A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) ) ) )
59	15, 57, 58	mpbir2and 936	1 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   <.cop 3965   U.cuni 4190   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   ^m cmap 7490  sigAlgebracsiga 29003   ×_s csx 29084  MblFnMcmbfm 29145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-siga 29004  df-sigagen 29035  df-sx 29085  df-mbfm 29146

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