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Theorem 1stmbfm 29155
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
1stmbfm  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6834 . . . 4  |-  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S
2 1stmbfm.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 29089 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5725 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
71, 6mpbii 216 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
)
8 unielsiga 29024 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
92, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
10 sxsiga 29087 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 29024 . . . . 5  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
149, 13elmapd 7504 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S ) )
157, 14mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
16 sgon 29020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
17 sigasspw 29012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  S  C_  ~P U. S )
18 pwssb 4361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ~P U. S  <->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
1918biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  ~P U. S  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
202, 16, 17, 194syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2120r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  C_ 
U. S )
22 xpss1 4948 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  U. S  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2423sseld 3417 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  ->  z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2524pm4.71rd 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) ) )
26 ffn 5739 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
27 elpreima 6017 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
281, 26, 27mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
29 fvres 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 1st `  z ) )
3029eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
31 1st2nd2 6849 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
32 xp2nd 6843 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  U. T
)
33 elxp6 6844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
34 anass 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
35 an32 815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3633, 34, 353bitr2i 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3736baib 919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
3831, 32, 37syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( a  X.  U. T
)  <->  ( 1st `  z
)  e.  a ) )
3930, 38bitr4d 264 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4039pm5.32i 649 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4128, 40bitri 257 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4225, 41syl6rbbr 272 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( a  X.  U. T
) ) )
4342eqrdv 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( a  X.  U. T ) )
442adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
453adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
46 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
47 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  U. T  =  U. T
48 issgon 29019 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <-> 
( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T ) )
4948biimpri 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T
)  ->  T  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
503, 47, 49sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
51 baselsiga 29011 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  U. T  e.  T
)
5250, 51syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
5352adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  U. T  e.  T )
54 elsx 29090 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( a  e.  S  /\  U. T  e.  T ) )  -> 
( a  X.  U. T )  e.  ( S ×s  T ) )
5544, 45, 46, 53, 54syl22anc 1293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  e.  ( S ×s  T ) )
5643, 55eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5756ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5811, 2ismbfm 29147 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S )  <-> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
5915, 57, 58mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   <.cop 3965   U.cuni 4190    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490  sigAlgebracsiga 29003   ×s csx 29084  MblFnMcmbfm 29145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-siga 29004  df-sigagen 29035  df-sx 29085  df-mbfm 29146
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