Theorem 1stmbfm 29077

Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stmbfm.1	|- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2	|- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )

Assertion

Ref	Expression
1stmbfm	|- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm

Dummy variables z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1stres 6825	. . . 4 |- ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S
2		1stmbfm.1	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		1stmbfm.2	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. U. ran sigAlgebra )
4		sxuni 29010	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
6	5	feq2d 5729	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
7	1, 6	mpbii 214	. . 3 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S )
8		unielsiga 28945	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> U. S e. S )
9	2, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. S e. S )
10		sxsiga 29008	. . . . . 6 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
11	2, 3, 10	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
12		unielsiga 28945	. . . . 5 |- ( ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. ( S ×s T ) e. ( S ×s T ) )
14	9, 13	elmapd 7490	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) <-> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : U. ( S ×s T ) --> U. S ) )
15	7, 14	mpbird 235	. 2 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) )
16		sgon 28941	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> S e. (sigAlgebra ` U. S ) )
17		sigasspw 28933	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. S ) -> S C_ ~P U. S )
18		pwssb 4386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ~P U. S <-> A. a e. S a C_ U. S )
19	18	biimpi 197	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ ~P U. S -> A. a e. S a C_ U. S )
20	2, 16, 17, 19	4syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. S a C_ U. S )
21	20	r19.21bi 2794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ U. S )
22		xpss1 4958	. . . . . . . . 9 |- ( a C_ U. S -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) C_ ( U. S X. U. T ) )
24	23	sseld 3463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) -> z e. ( U. S X. U. T ) ) )
25	24	pm4.71rd 639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) ) )
26		ffn 5742	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) : ( U. S X. U. T ) --> U. S -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) )
27		elpreima 6013	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) Fn ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) ) )
28	1, 26, 27	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) )
29		fvres 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) = ( 1st ` z ) )
30	29	eleq1d 2491	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
31		1st2nd2 6840	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
32		xp2nd 6834	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( 2nd ` z ) e. U. T )
33		elxp6 6835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
34		anass 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( ( 1st ` z ) e. a /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) ) )
35		an32 805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 1st ` z ) e. a ) /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
36	33, 34, 35	3bitr2i 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) /\ ( 1st ` z ) e. a ) )
37	36	baib 911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. /\ ( 2nd ` z ) e. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
38	31, 32, 37	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( z e. ( a X. U. T ) <-> ( 1st ` z ) e. a ) )
39	30, 38	bitr4d 259	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U. S X. U. T ) -> ( ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
40	39	pm5.32i 641	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) ` z ) e. a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
41	28, 40	bitri 252	. . . . . 6 |- ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> ( z e. ( U. S X. U. T ) /\ z e. ( a X. U. T ) ) )
42	25, 41	syl6rbbr 267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) <-> z e. ( a X. U. T ) ) )
43	42	eqrdv 2419	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) = ( a X. U. T ) )
44	2	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
45	3	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> T e. U. ran sigAlgebra )
46		simpr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
47		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- U. T = U. T
48		issgon 28940	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) <-> ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) )
49	48	biimpri 209	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. U. ran sigAlgebra /\ U. T = U. T ) -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
50	3, 47, 49	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. (sigAlgebra ` U. T ) )
51		baselsiga 28932	. . . . . . 7 |- ( T e. (sigAlgebra ` U. T ) -> U. T e. T )
52	50, 51	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U. T e. T )
53	52	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> U. T e. T )
54		elsx 29011	. . . . 5 |- ( ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) /\ ( a e. S /\ U. T e. T ) ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
55	44, 45, 46, 53, 54	syl22anc 1265	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a X. U. T ) e. ( S ×s T ) )
56	43, 55	eqeltrd 2510	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
57	56	ralrimiva 2839	. 2 |- ( ph -> A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) )
58	11, 2	ismbfm 29069	. 2 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) <-> ( ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( U. S ^m U. ( S ×s T ) ) /\ A. a e. S ( `' ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) " a ) e. ( S ×s T ) ) ) )
59	15, 57, 58	mpbir2and 930	1 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. S X. U. T ) ) e. ( ( S ×s T )MblFnM S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   <.cop 4002   U.cuni 4216   X. cxp 4847   `'ccnv 4848   ran crn 4850   |` cres 4851   "cima 4852   Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   1stc1st 6801   2ndc2nd 6802   ^m cmap 7476  sigAlgebracsiga 28924   ×_s csx 29005  MblFnMcmbfm 29067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-map 7478  df-siga 28925  df-sigagen 28956  df-sx 29006  df-mbfm 29068

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