Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stfval Structured version   Unicode version

Theorem 1stfval 14993
 Description: Value of the first projection functor. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stfval.t c
1stfval.b
1stfval.h
1stfval.c
1stfval.d
1stfval.p F
Assertion
Ref Expression
1stfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem 1stfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stfval.p . 2 F
2 1stfval.c . . 3
3 1stfval.d . . 3
4 fvex 5696 . . . . . . 7
5 fvex 5696 . . . . . . 7
64, 5xpex 6503 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
8 simpl 457 . . . . . . . 8
98fveq2d 5690 . . . . . . 7
10 simpr 461 . . . . . . . 8
1110fveq2d 5690 . . . . . . 7
129, 11xpeq12d 4860 . . . . . 6
13 1stfval.t . . . . . . . 8 c
14 eqid 2438 . . . . . . . 8
15 eqid 2438 . . . . . . . 8
1613, 14, 15xpcbas 14980 . . . . . . 7
17 1stfval.b . . . . . . 7
1816, 17eqtr4i 2461 . . . . . 6
1912, 18syl6eq 2486 . . . . 5
20 simpr 461 . . . . . . 7
2120reseq2d 5105 . . . . . 6
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13
23 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . 12 c c
2524, 13syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11 c
2625fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10 c
27 1stfval.h . . . . . . . . . 10
2826, 27syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9 c
2928oveqd 6103 . . . . . . . 8 c
3029reseq2d 5105 . . . . . . 7 c
3120, 20, 30mpt2eq123dv 6143 . . . . . 6 c
3221, 31opeq12d 4062 . . . . 5 c
337, 19, 32csbied2 3310 . . . 4 c
34 df-1stf 14975 . . . 4 F c
35 opex 4551 . . . 4
3633, 34, 35ovmpt2a 6216 . . 3 F
372, 3, 36syl2anc 661 . 2 F
381, 37syl5eq 2482 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1369   wcel 1756  cvv 2967  csb 3283  cop 3878   cxp 4833   cres 4837  cfv 5413  (class class class)co 6086   cmpt2 6088  c1st 6570  cbs 14166   chom 14241  ccat 14594   c cxpc 14970   F c1stf 14971 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-hom 14254  df-cco 14255  df-xpc 14974  df-1stf 14975 This theorem is referenced by:  1stf1  14994  1stf2  14995  1stfcl  14999
 Copyright terms: Public domain W3C validator