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Theorem 1stcrest 19016
Description: A subspace of a first-countable space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stcrest  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  1stc )

Proof of Theorem 1stcrest
Dummy variables  t 
a  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 19006 . . 3  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
2 resttop 18723 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 468 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
4 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
54restuni2 18730 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
61, 5sylan 468 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
76eleq2d 2508 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  ( A  i^i  U. J )  <-> 
x  e.  U. ( Jt  A ) ) )
87biimpar 482 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )
9 simpl 454 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  1stc )
10 inss2 3568 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. J ) 
C_  U. J
1110sseli 3349 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  U. J )  ->  x  e.  U. J )
1241stcclb 19007 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  U. J )  ->  E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om 
/\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) )
139, 11, 12syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) ) ) )
14 simplll 752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  J  e.  1stc )
15 elpwi 3866 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ~P J  -> 
t  C_  J )
1615ad2antrl 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  t  C_  J )
17 ssrest 18739 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  t  C_  J )  ->  (
tt 
A )  C_  ( Jt  A ) )
1814, 16, 17syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  C_  ( Jt  A
) )
19 ovex 6115 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2019elpw2 4453 . . . . . . 7  |-  ( ( tt  A )  e.  ~P ( Jt  A )  <->  ( tt  A
)  C_  ( Jt  A
) )
2118, 20sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  e.  ~P ( Jt  A ) )
22 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  t  e. 
_V
23 simpllr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  A  e.  V )
24 restval 14361 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( tt  A )  =  ran  ( v  e.  t 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
2522, 23, 24sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  =  ran  (
v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) ) )
26 simprrl 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  t  ~<_  om )
27 1stcrestlem 19015 . . . . . . . 8  |-  ( t  ~<_  om  ->  ran  ( v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) )  ~<_  om )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ran  ( v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) )  ~<_  om )
2925, 28eqbrtrd 4309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  ~<_  om )
301ad3antrrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
31 elrest 14362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
) ) )
3230, 23, 31syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
) ) )
33 r19.29 2855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) )  /\  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A ) )  ->  E. a  e.  J  ( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) ) )
34 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  x  e.  A
) )
3635ancld 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) ) )
37 elin 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
3836, 37syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  i^i  A ) ) )
39 ssrin 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y 
C_  a  ->  (
y  i^i  A )  C_  ( a  i^i  A
) )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( y  C_  a  ->  ( y  i^i  A
)  C_  ( a  i^i  A ) ) )
4138, 40anim12d 560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( y  i^i  A
)  C_  ( a  i^i  A ) ) ) )
4241reximdv 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
43 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  y  e. 
_V
4443inex1 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  /\  y  e.  t )  ->  ( y  i^i  A
)  e.  _V )
46 simp-4r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  ->  A  e.  V )
47 elrest 14362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( w  e.  ( tt  A )  <->  E. y  e.  t  w  =  ( y  i^i  A
) ) )
4822, 46, 47sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( w  e.  ( tt  A )  <->  E. y  e.  t  w  =  ( y  i^i  A
) ) )
49 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( y  i^i  A
) ) )
50 sseq1 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
w  C_  ( a  i^i  A )  <->  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) )
5149, 50anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A ) )  <-> 
( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( y  i^i 
A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5251adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  /\  w  =  ( y  i^i  A ) )  -> 
( ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) )  <->  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5345, 48, 52rexxfr2d 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) )  <->  E. y  e.  t  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5442, 53sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
5554expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
x  e.  A  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
5655com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  ( E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
)  ->  ( x  e.  A  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
5756imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) )  ->  (
x  e.  a  -> 
( x  e.  A  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) ) )
5857imp4b 587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  /\  (
x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  -> 
( ( x  e.  a  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
59 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a  i^i  A
) ) )
60 elin 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( a  i^i 
A )  <->  ( x  e.  a  /\  x  e.  A ) )
6159, 60syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  <->  ( x  e.  a  /\  x  e.  A ) ) )
62 sseq2 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  (
a  i^i  A )
) )
6362anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A ) ) ) )
6463rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  ( E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
6561, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( (
x  e.  a  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
6658, 65syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  /\  (
x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  -> 
( z  =  ( a  i^i  A )  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6766expimpd 600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6867rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( E. a  e.  J  ( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6933, 68syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( ( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7069exp3a 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  -> 
( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A )  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
7170impr 616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) )  ->  ( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
)  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7271adantrrl 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7332, 72sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7473ralrimiv 2796 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
75 breq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ( tt  A )  ~<_  om )
)
76 rexeq 2916 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
7776imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7877ralbidv 2733 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7975, 78anbi12d 705 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ( tt  A )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8079rspcev 3070 . . . . . 6  |-  ( ( ( tt  A )  e.  ~P ( Jt  A )  /\  (
( tt  A )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8121, 29, 74, 80syl12anc 1211 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8213, 81rexlimddv 2843 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
838, 82syldan 467 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8483ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  U. ( Jt  A ) E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
85 eqid 2441 . . 3  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
8685is1stc2 19005 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  1stc  <->  (
( Jt  A )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. ( Jt  A ) E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
873, 84, 86sylanbrc 659 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837  (class class class)co 6090   omcom 6475    ~<_ cdom 7304   ↾t crest 14355   Topctop 18457   1stcc1stc 19000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-fin 7310  df-fi 7657  df-card 8105  df-acn 8108  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-1stc 19002
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