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Theorem 1stckgenlem 19927
Description: The one-point compactification of  NN is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stckgen.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
1stckgen.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e.  Comp )

Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables  j 
k  n  s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
)
2 ssun2 3653 . . . . . . . . 9  |-  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } )
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
5 lmcl 19671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F
( ~~> t `  J
) A )  ->  A  e.  X )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
7 snssg 4148 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ran  F  u.  { A }
)  <->  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ran  F  u.  { A } )  <->  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } ) ) )
92, 8mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ran 
F  u.  { A } ) )
109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  ( ran  F  u.  { A } ) )
111, 10sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  U. u )
12 eluni2 4238 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U. u  <->  E. w  e.  u  A  e.  w )
1311, 12sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. w  e.  u  A  e.  w )
14 nnuz 11125 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  A  e.  w )
16 1zzd 10901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  1  e.  ZZ )
174ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  F
( ~~> t `  J
) A )
18 simplrl 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  u  e.  ~P J )
1918elpwid 4007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  u  C_  J )
20 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  w  e.  u )
2119, 20sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  w  e.  J )
2214, 15, 16, 17, 21lmcvg 19636 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w )
23 imassrn 5338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  ran  F
24 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  F  C_  ( ran  F  u.  { A } )
2523, 24sstri 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  ( ran  F  u.  { A } )
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u )
2725, 26syl5ss 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. u )
28 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
29 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : NN --> X  ->  ran  F  C_  X )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  X
)
3123, 30syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  X )
32 resttopon 19535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  X )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
333, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j
) ) ) )
34 topontop 19300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j ) ) )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Top )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Top )
36 fzfid 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... j
)  e.  Fin )
37 ffun 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : NN --> X  ->  Fun  F )
3828, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Fun  F )
39 elfznn 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
4039ssriv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... j )  C_  NN
41 fdm 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : NN --> X  ->  dom  F  =  NN )
4228, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  F  =  NN )
4340, 42syl5sseqr 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1 ... j
)  C_  dom  F )
44 fores 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  (
1 ... j )  C_  dom  F )  ->  ( F  |`  ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j
) -onto-> ( F "
( 1 ... j
) ) )
4538, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F
" ( 1 ... j ) ) )
46 fofi 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... j
)  e.  Fin  /\  ( F  |`  ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F
" ( 1 ... j ) ) )  ->  ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin )
4736, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) )  e.  Fin )
48 pwfi 7817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( 1 ... j ) )  e.  Fin  <->  ~P ( F " ( 1 ... j ) )  e. 
Fin )
4947, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin )
50 restsspw 14706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  C_  ~P ( F " ( 1 ... j ) )
51 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ~P ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin  /\  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  C_  ~P ( F " (
1 ... j ) ) )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Fin )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Fin )
5335, 52elind 3673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e.  ( Top  i^i  Fin ) )
54 fincmp 19766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Comp )
56 topontop 19300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
573, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
58 toponuni 19301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
593, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
6031, 59sseqtrd 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. J )
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
6261cmpsub 19773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " ( 1 ... j ) ) 
C_  U. J )  -> 
( ( Jt  ( F
" ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) ) )
6357, 60, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( F
" ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) ) )
6455, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6564r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6627, 65syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6766impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s )
6867adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s
)
69 inss1 3703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
~P u
70 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
)
7169, 70sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  ~P u
)
7271elpwid 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  C_  u )
73 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  w  e.  u
)
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  w  e.  u )
7574snssd 4160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  { w }  C_  u )
7672, 75unssd 3665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  C_  u )
77 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
7877elpw2 4601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ~P u 
<->  ( s  u.  {
w } )  C_  u )
7976, 78sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e. 
~P u )
80 inss2 3704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
Fin
8180, 70sseldi 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  Fin )
82 snfi 7598 . . . . . . . . . . 11  |-  { w }  e.  Fin
83 unfi 7789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  { w }  e.  Fin )  ->  ( s  u. 
{ w } )  e.  Fin )
8481, 82, 83sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e. 
Fin )
8579, 84elind 3673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) )
86 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : NN --> X  ->  F  Fn  NN )
8728, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
8887ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  F  Fn  NN )
89 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  w )
91 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
9291eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  w  <->  ( F `  n )  e.  w
) )
9392rspccva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  n )  e.  w
)
9490, 93sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  w )
95 elun2 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  e.  w  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
9796adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) ) )  /\  (
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
98 elnnuz 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9998anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )
100 elfzuzb 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )
10199, 100bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  <->  n  e.  ( 1 ... j
) )
102 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s )
103 funimass4 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  F  /\  (
1 ... j )  C_  dom  F )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  e.  U. s ) )
10438, 43, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s ) )
105104ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s ) )
106102, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. n  e.  (
1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s )
107106r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( F `  n )  e.  U. s )
108 elun1 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  U. s  -> 
( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
110101, 109sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
111110anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) ) )  /\  (
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
112 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) )  ->  j  e.  NN )
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
j  e.  NN )
114 nnz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
115 nnz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
116 uztric 11111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
117114, 115, 116syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
118113, 117sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
11997, 111, 118mpjaodan 786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
120119ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )
121 fnfvrnss 6044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )  ->  ran  F  C_  ( U. s  u.  w )
)
12288, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  ran  F  C_  ( U. s  u.  w )
)
123 elun2 3657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  w  ->  A  e.  ( U. s  u.  w ) )
124123ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) )  ->  A  e.  ( U. s  u.  w
) )
125124ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A  e.  ( U. s  u.  w )
)
126125snssd 4160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  { A }  C_  ( U. s  u.  w
) )
127122, 126unssd 3665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ran  F  u.  { A } )  C_  ( U. s  u.  w
) )
128 uniun 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
s  u.  { w } )  =  ( U. s  u.  U. { w } )
129 vex 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
130129unisn 4249 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
w }  =  w
131130uneq2i 3640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. s  u.  U. { w } )  =  ( U. s  u.  w
)
132128, 131eqtri 2472 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
s  u.  { w } )  =  ( U. s  u.  w
)
133127, 132syl6sseqr 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. ( s  u.  {
w } ) )
134 unieq 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  U. v  =  U. ( s  u.  {
w } ) )
135134sseq2d 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v  <->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. (
s  u.  { w } ) ) )
136135rspcev 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. (
s  u.  { w } ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v )
13785, 133, 136syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v )
13868, 137rexlimddv 2939 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v )
139138anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w ) )  /\  ( j  e.  NN  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v )
14022, 139rexlimddv 2939 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
)
14113, 140rexlimddv 2939 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
)
142141expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
143142ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) )
1446snssd 4160 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { A }  C_  X )
14530, 144unssd 3665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  X )
146145, 59sseqtrd 3525 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. J )
14761cmpsub 19773 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. J
)  ->  ( ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) ) )
14857, 146, 147syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( ran 
F  u.  { A } ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) ) )
149143, 148mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   1c1 9496   NNcn 10542   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681   ↾t crest 14695   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   ~~> tclm 19600   Compccmp 19759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-lm 19603  df-cmp 19760
This theorem is referenced by:  1stckgen  19928
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