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Theorem 1stckgenlem 19126
Description: The one-point compactification of NN is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
1stckgen.2 |- ( ph -> F : NN --> X )
1stckgen.3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem |- ( ph -> ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp )
Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables j k n s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ U. u )
2 ssun2 3520 . . . . . . . . 9 |- { A } C_ ( ran F u. { A } )
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
5 lmcl 18901 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) A ) -> A e. X )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. X )
7 snssg 4007 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ran F u. { A } ) <-> { A } C_ ( ran F u. { A } ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. ( ran F u. { A } ) <-> { A } C_ ( ran F u. { A } ) ) )
92, 8mpbiri 233 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ran F u. { A } ) )
109adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> A e. ( ran F u. { A } ) )
111, 10sseldd 3357 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> A e. U. u )
12 eluni2 4095 . . . . . 6 |- ( A e. U. u <-> E. w e. u A e. w )
1311, 12sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. w e. u A e. w )
14 nnuz 10896 . . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15 simprr 756 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> A e. w )
16 1zzd 10677 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> 1 e. ZZ )
174ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> F ( ~~> t ` J ) A )
18 simplrl 759 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> u e. ~P J )
1918elpwid 3870 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> u C_ J )
20 simprl 755 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> w e. u )
2119, 20sseldd 3357 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> w e. J )
2214, 15, 16, 17, 21lmcvg 18866 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
23 imassrn 5180 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F " ( 1 ... j ) ) C_ ran F
24 ssun1 3519 . . . . . . . . . . . . 13 |- ran F C_ ( ran F u. { A } )
2523, 24sstri 3365 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( 1 ... j ) ) C_ ( ran F u. { A } )
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> ( ran F u. { A } ) C_ U. u )
2725, 26syl5ss 3367 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u )
28 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : NN --> X )
29 frn 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : NN --> X -> ran F C_ X )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ran F C_ X )
3123, 30syl5ss 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ X )
32 resttopon 18765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ X ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
333, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
34 topontop 18531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Top )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Top )
36 fzfid 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... j ) e. Fin )
37 ffun 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : NN --> X -> Fun F )
3828, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun F )
39 elfznn 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> n e. NN )
4039ssriv 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... j ) C_ NN
41 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : NN --> X -> dom F = NN )
4228, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = NN )
4340, 42syl5sseqr 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 ... j ) C_ dom F )
44 fores 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun F /\ ( 1 ... j ) C_ dom F ) -> ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) )
4538, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) )
46 fofi 7597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 ... j ) e. Fin /\ ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
4736, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
48 pwfi 7606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin <-> ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
4947, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
50 restsspw 14370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) C_ ~P ( F " ( 1 ... j ) )
51 ssfi 7533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin /\ ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) C_ ~P ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Fin )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Fin )
5335, 52elind 3540 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. ( Top i^i Fin ) )
54 fincmp 18996 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp )
56 topontop 18531 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
573, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
58 toponuni 18532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
593, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X = U. J )
6031, 59sseqtrd 3392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. J )
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. J = U. J
6261cmpsub 19003 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. J ) -> ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) )
6357, 60, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) )
6455, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6564r19.21bi 2814 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6627, 65syl5 32 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6766impr 619 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
6867adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
69 inss1 3570 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ ~P u
70 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. ( ~P u i^i Fin ) )
7169, 70sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. ~P u )
7271elpwid 3870 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s C_ u )
73 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> w e. u )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> w e. u )
7574snssd 4018 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> { w } C_ u )
7672, 75unssd 3532 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) C_ u )
77 vex 2975 . . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
7877elpw2 4456 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s u. { w } ) e. ~P u <-> ( s u. { w } ) C_ u )
7976, 78sylibr 212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. ~P u )
80 inss2 3571 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ Fin
8180, 70sseldi 3354 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. Fin )
82 snfi 7390 . . . . . . . . . . 11 |- { w } e. Fin
83 unfi 7579 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. Fin /\ { w } e. Fin ) -> ( s u. { w } ) e. Fin )
8481, 82, 83sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. Fin )
8579, 84elind 3540 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
86 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> X -> F Fn NN )
8728, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn NN )
8887ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> F Fn NN )
89 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
91 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
9291eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. w <-> ( F ` n ) e. w ) )
9392rspccva 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. w )
9490, 93sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. w )
95 elun2 3524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. w -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
9796adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
98 elnnuz 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9998anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
100 elfzuzb 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... j ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
10199, 100bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) <-> n e. ( 1 ... j ) )
102 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
103 funimass4 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun F /\ ( 1 ... j ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
10438, 43, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
105104ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
106102, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s )
107106r19.21bi 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` n ) e. U. s )
108 elun1 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. U. s -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
110101, 109sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
111110anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
112 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> j e. NN )
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> j e. NN )
114 nnz 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
115 nnz 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
116 uztric 10882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
117114, 115, 116syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN /\ n e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
118113, 117sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
11997, 111, 118mpjaodan 784 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
120119ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
121 fnfvrnss 5871 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn NN /\ A. n e. NN ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) ) -> ran F C_ ( U. s u. w ) )
12288, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ran F C_ ( U. s u. w ) )
123 elun2 3524 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. w -> A e. ( U. s u. w ) )
124123ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> A e. ( U. s u. w ) )
125124ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A e. ( U. s u. w ) )
126125snssd 4018 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> { A } C_ ( U. s u. w ) )
127122, 126unssd 3532 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ ( U. s u. w ) )
128 uniun 4110 . . . . . . . . . . 11 |- U. ( s u. { w } ) = ( U. s u. U. { w } )
129 vex 2975 . . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
130129unisn 4106 . . . . . . . . . . . 12 |- U. { w } = w
131130uneq2i 3507 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. s u. U. { w } ) = ( U. s u. w )
132128, 131eqtri 2463 . . . . . . . . . 10 |- U. ( s u. { w } ) = ( U. s u. w )
133127, 132syl6sseqr 3403 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) )
134 unieq 4099 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( s u. { w } ) -> U. v = U. ( s u. { w } ) )
135134sseq2d 3384 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( s u. { w } ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. v <-> ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) ) )
136135rspcev 3073 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( s u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
13785, 133, 136syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
13868, 137rexlimddv 2845 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
139138anassrs 648 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
14022, 139rexlimddv 2845 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
14113, 140rexlimddv 2845 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
142141expr 615 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) )
143142ralrimiva 2799 . 2 |- ( ph -> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) )
1446snssd 4018 . . . . 5 |- ( ph -> { A } C_ X )
14530, 144unssd 3532 . . . 4 |- ( ph -> ( ran F u. { A } ) C_ X )
146145, 59sseqtrd 3392 . . 3 |- ( ph -> ( ran F u. { A } ) C_ U. J )
14761cmpsub 19003 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. J ) -> ( ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) ) )
14857, 146, 147syl2anc 661 . 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) ) )
149143, 148mpbird 232 1 |- ( ph -> ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   u. cun 3326   i^i cin 3327   C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   |` cres 4842   "cima 4843   Fun wfun 5412   Fn wfn 5413   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   1c1 9283   NNcn 10322   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   ↾t crest 14359   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   ~~> tclm 18830   Compccmp 18989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-lm 18833  df-cmp 18990
This theorem is referenced by:  1stckgen  19127
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