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Theorem 1stckgenlem 19026
Description: The one-point compactification of NN is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
1stckgen.2 |- ( ph -> F : NN --> X )
1stckgen.3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem |- ( ph -> ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp )
Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables j k n s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ U. u )
2 ssun2 3517 . . . . . . . . 9 |- { A } C_ ( ran F u. { A } )
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
5 lmcl 18801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) A ) -> A e. X )
63, 4, 5syl2anc 656 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. X )
7 snssg 4004 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ran F u. { A } ) <-> { A } C_ ( ran F u. { A } ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. ( ran F u. { A } ) <-> { A } C_ ( ran F u. { A } ) ) )
92, 8mpbiri 233 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ran F u. { A } ) )
109adantr 462 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> A e. ( ran F u. { A } ) )
111, 10sseldd 3354 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> A e. U. u )
12 eluni2 4092 . . . . . 6 |- ( A e. U. u <-> E. w e. u A e. w )
1311, 12sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. w e. u A e. w )
14 nnuz 10892 . . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15 simprr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> A e. w )
16 1zzd 10673 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> 1 e. ZZ )
174ad2antrr 720 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> F ( ~~> t ` J ) A )
18 simplrl 754 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> u e. ~P J )
1918elpwid 3867 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> u C_ J )
20 simprl 750 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> w e. u )
2119, 20sseldd 3354 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> w e. J )
2214, 15, 16, 17, 21lmcvg 18766 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
23 imassrn 5177 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F " ( 1 ... j ) ) C_ ran F
24 ssun1 3516 . . . . . . . . . . . . 13 |- ran F C_ ( ran F u. { A } )
2523, 24sstri 3362 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( 1 ... j ) ) C_ ( ran F u. { A } )
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> ( ran F u. { A } ) C_ U. u )
2725, 26syl5ss 3364 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u )
28 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : NN --> X )
29 frn 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : NN --> X -> ran F C_ X )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ran F C_ X )
3123, 30syl5ss 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ X )
32 resttopon 18665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ X ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
333, 31, 32syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
34 topontop 18431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Top )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Top )
36 fzfid 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... j ) e. Fin )
37 ffun 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : NN --> X -> Fun F )
3828, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun F )
39 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> n e. NN )
4039ssriv 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... j ) C_ NN
41 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : NN --> X -> dom F = NN )
4228, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = NN )
4340, 42syl5sseqr 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 ... j ) C_ dom F )
44 fores 5626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun F /\ ( 1 ... j ) C_ dom F ) -> ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) )
4538, 43, 44syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) )
46 fofi 7593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 ... j ) e. Fin /\ ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
4736, 45, 46syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
48 pwfi 7602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin <-> ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
4947, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
50 restsspw 14366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) C_ ~P ( F " ( 1 ... j ) )
51 ssfi 7529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin /\ ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) C_ ~P ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Fin )
5249, 50, 51sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Fin )
5335, 52elind 3537 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. ( Top i^i Fin ) )
54 fincmp 18896 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp )
56 topontop 18431 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
573, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
58 toponuni 18432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
593, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X = U. J )
6031, 59sseqtrd 3389 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. J )
61 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. J = U. J
6261cmpsub 18903 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. J ) -> ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) )
6357, 60, 62syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) )
6455, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6564r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6627, 65syl5 32 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6766impr 616 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
6867adantr 462 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
69 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ ~P u
70 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. ( ~P u i^i Fin ) )
7169, 70sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. ~P u )
7271elpwid 3867 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s C_ u )
73 simprll 756 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> w e. u )
7473adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> w e. u )
7574snssd 4015 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> { w } C_ u )
7672, 75unssd 3529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) C_ u )
77 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
7877elpw2 4453 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s u. { w } ) e. ~P u <-> ( s u. { w } ) C_ u )
7976, 78sylibr 212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. ~P u )
80 inss2 3568 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ Fin
8180, 70sseldi 3351 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. Fin )
82 snfi 7386 . . . . . . . . . . 11 |- { w } e. Fin
83 unfi 7575 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. Fin /\ { w } e. Fin ) -> ( s u. { w } ) e. Fin )
8481, 82, 83sylancl 657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. Fin )
8579, 84elind 3537 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
86 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> X -> F Fn NN )
8728, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn NN )
8887ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> F Fn NN )
89 simprrr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
9089adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
91 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
9291eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. w <-> ( F ` n ) e. w ) )
9392rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. w )
9490, 93sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. w )
95 elun2 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. w -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
9796adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
98 elnnuz 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9998anbi1i 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
100 elfzuzb 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... j ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
10199, 100bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) <-> n e. ( 1 ... j ) )
102 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
103 funimass4 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun F /\ ( 1 ... j ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
10438, 43, 103syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
105104ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
106102, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s )
107106r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` n ) e. U. s )
108 elun1 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. U. s -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
110101, 109sylan2b 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
111110anassrs 643 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
112 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> j e. NN )
113112ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> j e. NN )
114 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
115 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
116 uztric 10878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
117114, 115, 116syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN /\ n e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
118113, 117sylan 468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
11997, 111, 118mpjaodan 779 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
120119ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
121 fnfvrnss 5868 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn NN /\ A. n e. NN ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) ) -> ran F C_ ( U. s u. w ) )
12288, 120, 121syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ran F C_ ( U. s u. w ) )
123 elun2 3521 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. w -> A e. ( U. s u. w ) )
124123ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> A e. ( U. s u. w ) )
125124ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A e. ( U. s u. w ) )
126125snssd 4015 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> { A } C_ ( U. s u. w ) )
127122, 126unssd 3529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ ( U. s u. w ) )
128 uniun 4107 . . . . . . . . . . 11 |- U. ( s u. { w } ) = ( U. s u. U. { w } )
129 vex 2973 . . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
130129unisn 4103 . . . . . . . . . . . 12 |- U. { w } = w
131130uneq2i 3504 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. s u. U. { w } ) = ( U. s u. w )
132128, 131eqtri 2461 . . . . . . . . . 10 |- U. ( s u. { w } ) = ( U. s u. w )
133127, 132syl6sseqr 3400 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) )
134 unieq 4096 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( s u. { w } ) -> U. v = U. ( s u. { w } ) )
135134sseq2d 3381 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( s u. { w } ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. v <-> ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) ) )
136135rspcev 3070 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( s u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
13785, 133, 136syl2anc 656 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
13868, 137rexlimddv 2843 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
139138anassrs 643 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
14022, 139rexlimddv 2843 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
14113, 140rexlimddv 2843 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
142141expr 612 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) )
143142ralrimiva 2797 . 2 |- ( ph -> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) )
1446snssd 4015 . . . . 5 |- ( ph -> { A } C_ X )
14530, 144unssd 3529 . . . 4 |- ( ph -> ( ran F u. { A } ) C_ X )
146145, 59sseqtrd 3389 . . 3 |- ( ph -> ( ran F u. { A } ) C_ U. J )
14761cmpsub 18903 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. J ) -> ( ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) ) )
14857, 146, 147syl2anc 656 . 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) ) )
149143, 148mpbird 232 1 |- ( ph -> ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   u. cun 3323   i^i cin 3324   C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ran crn 4837   |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409   Fn wfn 5410   -->wf 5411   -onto->wfo 5413   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   1c1 9279   NNcn 10318   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ↾t crest 14355   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   ~~> tclm 18730   Compccmp 18889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-lm 18733  df-cmp 18890
This theorem is referenced by:  1stckgen  19027
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