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Theorem 1stckgenlem 19927
Description: The one-point compactification of NN is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
1stckgen.2 |- ( ph -> F : NN --> X )
1stckgen.3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem |- ( ph -> ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp )
Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables j k n s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 757 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ U. u )
2 ssun2 3653 . . . . . . . . 9 |- { A } C_ ( ran F u. { A } )
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
5 lmcl 19671 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F ( ~~> t ` J ) A ) -> A e. X )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. X )
7 snssg 4148 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ran F u. { A } ) <-> { A } C_ ( ran F u. { A } ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A e. ( ran F u. { A } ) <-> { A } C_ ( ran F u. { A } ) ) )
92, 8mpbiri 233 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ran F u. { A } ) )
109adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> A e. ( ran F u. { A } ) )
111, 10sseldd 3490 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> A e. U. u )
12 eluni2 4238 . . . . . 6 |- ( A e. U. u <-> E. w e. u A e. w )
1311, 12sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. w e. u A e. w )
14 nnuz 11125 . . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15 simprr 757 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> A e. w )
16 1zzd 10901 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> 1 e. ZZ )
174ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> F ( ~~> t ` J ) A )
18 simplrl 761 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> u e. ~P J )
1918elpwid 4007 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> u C_ J )
20 simprl 756 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> w e. u )
2119, 20sseldd 3490 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> w e. J )
2214, 15, 16, 17, 21lmcvg 19636 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
23 imassrn 5338 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F " ( 1 ... j ) ) C_ ran F
24 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . . 13 |- ran F C_ ( ran F u. { A } )
2523, 24sstri 3498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( 1 ... j ) ) C_ ( ran F u. { A } )
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> ( ran F u. { A } ) C_ U. u )
2725, 26syl5ss 3500 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u )
28 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : NN --> X )
29 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : NN --> X -> ran F C_ X )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ran F C_ X )
3123, 30syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ X )
32 resttopon 19535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ X ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
333, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
34 topontop 19300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. (TopOn ` ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Top )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Top )
36 fzfid 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... j ) e. Fin )
37 ffun 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : NN --> X -> Fun F )
3828, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Fun F )
39 elfznn 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( 1 ... j ) -> n e. NN )
4039ssriv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... j ) C_ NN
41 fdm 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : NN --> X -> dom F = NN )
4228, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = NN )
4340, 42syl5sseqr 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 ... j ) C_ dom F )
44 fores 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun F /\ ( 1 ... j ) C_ dom F ) -> ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) )
4538, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) )
46 fofi 7808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 ... j ) e. Fin /\ ( F |` ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
4736, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
48 pwfi 7817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin <-> ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
4947, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin )
50 restsspw 14706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) C_ ~P ( F " ( 1 ... j ) )
51 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ~P ( F " ( 1 ... j ) ) e. Fin /\ ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) C_ ~P ( F " ( 1 ... j ) ) ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Fin )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Fin )
5335, 52elind 3673 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. ( Top i^i Fin ) )
54 fincmp 19766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp )
56 topontop 19300 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
573, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
58 toponuni 19301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
593, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X = U. J )
6031, 59sseqtrd 3525 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. J )
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. J = U. J
6261cmpsub 19773 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. J ) -> ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) )
6357, 60, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( F " ( 1 ... j ) ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) )
6455, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. u e. ~P J ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6564r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6627, 65syl5 32 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) )
6766impr 619 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
6867adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> E. s e. ( ~P u i^i Fin ) ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
69 inss1 3703 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ ~P u
70 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. ( ~P u i^i Fin ) )
7169, 70sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. ~P u )
7271elpwid 4007 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s C_ u )
73 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> w e. u )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> w e. u )
7574snssd 4160 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> { w } C_ u )
7672, 75unssd 3665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) C_ u )
77 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
7877elpw2 4601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s u. { w } ) e. ~P u <-> ( s u. { w } ) C_ u )
7976, 78sylibr 212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. ~P u )
80 inss2 3704 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ Fin
8180, 70sseldi 3487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> s e. Fin )
82 snfi 7598 . . . . . . . . . . 11 |- { w } e. Fin
83 unfi 7789 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. Fin /\ { w } e. Fin ) -> ( s u. { w } ) e. Fin )
8481, 82, 83sylancl 662 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. Fin )
8579, 84elind 3673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( s u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
86 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : NN --> X -> F Fn NN )
8728, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn NN )
8887ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> F Fn NN )
89 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w )
91 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
9291eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. w <-> ( F ` n ) e. w ) )
9392rspccva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. w )
9490, 93sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. w )
95 elun2 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. w -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
9796adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
98 elnnuz 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9998anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
100 elfzuzb 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... j ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
10199, 100bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) <-> n e. ( 1 ... j ) )
102 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s )
103 funimass4 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun F /\ ( 1 ... j ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
10438, 43, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
105104ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s <-> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s ) )
106102, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. n e. ( 1 ... j ) ( F ` n ) e. U. s )
107106r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` n ) e. U. s )
108 elun1 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. U. s -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. ( 1 ... j ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
110101, 109sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ ( n e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
111110anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
112 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> j e. NN )
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> j e. NN )
114 nnz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
115 nnz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. ZZ )
116 uztric 11111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
117114, 115, 116syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN /\ n e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
118113, 117sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) \/ j e. ( ZZ>= ` n ) ) )
11997, 111, 118mpjaodan 786 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
120119ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) )
121 fnfvrnss 6044 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn NN /\ A. n e. NN ( F ` n ) e. ( U. s u. w ) ) -> ran F C_ ( U. s u. w ) )
12288, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ran F C_ ( U. s u. w ) )
123 elun2 3657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. w -> A e. ( U. s u. w ) )
124123ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> A e. ( U. s u. w ) )
125124ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> A e. ( U. s u. w ) )
126125snssd 4160 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> { A } C_ ( U. s u. w ) )
127122, 126unssd 3665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ ( U. s u. w ) )
128 uniun 4253 . . . . . . . . . . 11 |- U. ( s u. { w } ) = ( U. s u. U. { w } )
129 vex 3098 . . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
130129unisn 4249 . . . . . . . . . . . 12 |- U. { w } = w
131130uneq2i 3640 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. s u. U. { w } ) = ( U. s u. w )
132128, 131eqtri 2472 . . . . . . . . . 10 |- U. ( s u. { w } ) = ( U. s u. w )
133127, 132syl6sseqr 3536 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) )
134 unieq 4242 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( s u. { w } ) -> U. v = U. ( s u. { w } ) )
135134sseq2d 3517 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( s u. { w } ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. v <-> ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) ) )
136135rspcev 3196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( s u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. ( s u. { w } ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
13785, 133, 136syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) /\ ( s e. ( ~P u i^i Fin ) /\ ( F " ( 1 ... j ) ) C_ U. s ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
13868, 137rexlimddv 2939 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( ( w e. u /\ A e. w ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
139138anassrs 648 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) /\ ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. w ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
14022, 139rexlimddv 2939 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) /\ ( w e. u /\ A e. w ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
14113, 140rexlimddv 2939 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ~P J /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. u ) ) -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v )
142141expr 615 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. ~P J ) -> ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) )
143142ralrimiva 2857 . 2 |- ( ph -> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) )
1446snssd 4160 . . . . 5 |- ( ph -> { A } C_ X )
14530, 144unssd 3665 . . . 4 |- ( ph -> ( ran F u. { A } ) C_ X )
146145, 59sseqtrd 3525 . . 3 |- ( ph -> ( ran F u. { A } ) C_ U. J )
14761cmpsub 19773 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( ran F u. { A } ) C_ U. J ) -> ( ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) ) )
14857, 146, 147syl2anc 661 . 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp <-> A. u e. ~P J ( ( ran F u. { A } ) C_ U. u -> E. v e. ( ~P u i^i Fin ) ( ran F u. { A } ) C_ U. v ) ) )
149143, 148mpbird 232 1 |- ( ph -> ( J ↾t ( ran F u. { A } ) ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   |` cres 4991   "cima 4992   Fun wfun 5572   Fn wfn 5573   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   1c1 9496   NNcn 10542   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681   ↾t crest 14695   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   ~~> tclm 19600   Compccmp 19759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-lm 19603  df-cmp 19760
This theorem is referenced by:  1stckgen  19928
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