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Theorem 1stckgenlem 17538
Description: The one-point compactification of  NN is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stckgen.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
1stckgen.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e.  Comp )

Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables  j 
k  n  s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
)
2 ssun2 3471 . . . . . . . . 9  |-  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } )
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
5 lmcl 17315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F
( ~~> t `  J
) A )  ->  A  e.  X )
63, 4, 5syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
7 snssg 3892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ran  F  u.  { A }
)  <->  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ran  F  u.  { A } )  <->  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } ) ) )
92, 8mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ran 
F  u.  { A } ) )
109adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  ( ran  F  u.  { A } ) )
111, 10sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  U. u )
12 eluni2 3979 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U. u  <->  E. w  e.  u  A  e.  w )
1311, 12sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. w  e.  u  A  e.  w )
14 nnuz 10477 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  A  e.  w )
16 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  1  e.  ZZ )
184ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  F
( ~~> t `  J
) A )
19 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  u  e.  ~P J )
2019elpwid 3768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  u  C_  J )
21 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  w  e.  u )
2220, 21sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  w  e.  J )
2314, 15, 17, 18, 22lmcvg 17280 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w )
24 imassrn 5175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  ran  F
25 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  F  C_  ( ran  F  u.  { A } )
2624, 25sstri 3317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  ( ran  F  u.  { A } )
27 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u )
2826, 27syl5ss 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. u )
29 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
30 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : NN --> X  ->  ran  F  C_  X )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  X
)
3224, 31syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  X )
33 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  X )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
343, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j
) ) ) )
35 topontop 16946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j ) ) )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Top )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Top )
37 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... j
)  e.  Fin )
38 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : NN --> X  ->  Fun  F )
3929, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Fun  F )
40 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
4140ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... j )  C_  NN
42 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : NN --> X  ->  dom  F  =  NN )
4329, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  F  =  NN )
4441, 43syl5sseqr 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1 ... j
)  C_  dom  F )
45 fores 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  (
1 ... j )  C_  dom  F )  ->  ( F  |`  ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j
) -onto-> ( F "
( 1 ... j
) ) )
4639, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F
" ( 1 ... j ) ) )
47 fofi 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... j
)  e.  Fin  /\  ( F  |`  ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F
" ( 1 ... j ) ) )  ->  ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin )
4837, 46, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) )  e.  Fin )
49 pwfi 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( 1 ... j ) )  e.  Fin  <->  ~P ( F " ( 1 ... j ) )  e. 
Fin )
5048, 49sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ~P ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin )
51 restsspw 13614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  C_  ~P ( F " ( 1 ... j ) )
52 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ~P ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin  /\  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  C_  ~P ( F " (
1 ... j ) ) )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Fin )
5350, 51, 52sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Fin )
54 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  ( Top 
i^i  Fin )  <->  ( ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Top  /\  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Fin ) )
5536, 53, 54sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e.  ( Top  i^i  Fin ) )
56 fincmp 17410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Comp )
58 topontop 16946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
593, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
60 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
613, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
6232, 61sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. J )
63 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. J  =  U. J
6463cmpsub 17417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " ( 1 ... j ) ) 
C_  U. J )  -> 
( ( Jt  ( F
" ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) ) )
6559, 62, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( F
" ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) ) )
6657, 65mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6766r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6828, 67syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6968impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s )
7069adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s
)
71 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
~P u
72 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
)
7371, 72sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  ~P u
)
7473elpwid 3768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  C_  u )
75 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  w  e.  u
)
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  w  e.  u )
7776snssd 3903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  { w }  C_  u )
7874, 77unssd 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  C_  u )
79 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  e. 
_V
8079elpw2 4324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ~P u 
<->  ( s  u.  {
w } )  C_  u )
8178, 80sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e. 
~P u )
82 inss2 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
Fin
8382, 72sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  Fin )
84 snfi 7146 . . . . . . . . . . 11  |-  { w }  e.  Fin
85 unfi 7333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  { w }  e.  Fin )  ->  ( s  u. 
{ w } )  e.  Fin )
8683, 84, 85sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e. 
Fin )
87 elin 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) 
<->  ( ( s  u. 
{ w } )  e.  ~P u  /\  ( s  u.  {
w } )  e. 
Fin ) )
8881, 86, 87sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) )
89 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : NN --> X  ->  F  Fn  NN )
9029, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
9190ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  F  Fn  NN )
92 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  w )
94 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
9594eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  w  <->  ( F `  n )  e.  w
) )
9695rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  n )  e.  w
)
9793, 96sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  w )
98 elun2 3475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  e.  w  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
10099adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) ) )  /\  (
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
101 elnnuz 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
102101anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )
103 elfzuzb 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )
104102, 103bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  <->  n  e.  ( 1 ... j
) )
105 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s )
106 funimass4 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  F  /\  (
1 ... j )  C_  dom  F )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  e.  U. s ) )
10739, 44, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s ) )
108107ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s ) )
109105, 108mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. n  e.  (
1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s )
110109r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( F `  n )  e.  U. s )
111 elun1 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  U. s  -> 
( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
113104, 112sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
114113anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) ) )  /\  (
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
115 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) )  ->  j  e.  NN )
116115ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
j  e.  NN )
117 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
118 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
119 uztric 10463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
120117, 118, 119syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
121116, 120sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
122100, 114, 121mpjaodan 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
123122ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )
124 fnfvrnss 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )  ->  ran  F  C_  ( U. s  u.  w )
)
12591, 123, 124syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  ran  F  C_  ( U. s  u.  w )
)
126 elun2 3475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  w  ->  A  e.  ( U. s  u.  w ) )
127126ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) )  ->  A  e.  ( U. s  u.  w
) )
128127ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A  e.  ( U. s  u.  w )
)
129128snssd 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  { A }  C_  ( U. s  u.  w
) )
130125, 129unssd 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ran  F  u.  { A } )  C_  ( U. s  u.  w
) )
131 uniun 3994 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
s  u.  { w } )  =  ( U. s  u.  U. { w } )
132 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  w  e. 
_V
133132unisn 3991 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
w }  =  w
134133uneq2i 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. s  u.  U. { w } )  =  ( U. s  u.  w
)
135131, 134eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
s  u.  { w } )  =  ( U. s  u.  w
)
136130, 135syl6sseqr 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. ( s  u.  {
w } ) )
137 unieq 3984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  U. v  =  U. ( s  u.  {
w } ) )
138137sseq2d 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v  <->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. (
s  u.  { w } ) ) )
139138rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. (
s  u.  { w } ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v )
14088, 136, 139syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v )
14170, 140rexlimddv 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v )
142141anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w ) )  /\  ( j  e.  NN  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v )
14323, 142rexlimddv 2794 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
)
14413, 143rexlimddv 2794 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
)
145144expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
146145ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) )
1476snssd 3903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { A }  C_  X )
14831, 147unssd 3483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  X )
149148, 61sseqtrd 3344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. J )
15063cmpsub 17417 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. J
)  ->  ( ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) ) )
15159, 149, 150syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( ran 
F  u.  { A } ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) ) )
152146, 151mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   1c1 8947   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   ~~> tclm 17244   Compccmp 17403
This theorem is referenced by:  1stckgen  17539
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-lm 17247  df-cmp 17404
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