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Theorem 1stckgen 19783
Description: A first-countable space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stckgen  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem 1stckgen
Dummy variables  k 
f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 19703 . 2  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
2 difss 3624 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  \  x )  C_  U. J
3 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
431stcelcls 19721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f
( ~~> t `  J
) y ) ) )
52, 4mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  1stc  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  <->  E. f
( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) ) )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f
( ~~> t `  J
) y ) ) )
71adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  J  e.  Top )
87adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  J  e.  Top )
93toptopon 19194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f ( ~~> t `  J )
y )
12 lmcl 19557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  f
( ~~> t `  J
) y )  -> 
y  e.  U. J
)
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  U. J )
14 nnuz 11106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
1615rnex 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  e.  _V
17 snex 4681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y }  e.  _V
1816, 17unex 6573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { y } )  e.  _V
19 resttop 19420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  u.  {
y } )  e. 
_V )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  e.  Top )
208, 18, 19sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Top )
21 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )
2221toptopon 19194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt  ( ran  f  u. 
{ y } ) )  e.  Top  <->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
2320, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
24 1zzd 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  1  e.  ZZ )
25 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  =  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )
2618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  e.  _V )
27 ssun2 3661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y }  C_  ( ran  f  u.  { y } )
28 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
2928snss 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ran  f  u.  { y } )  <->  { y }  C_  ( ran  f  u.  {
y } ) )
3027, 29mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e.  ( ran  f  u. 
{ y } )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( ran  f  u.  {
y } ) )
32 ffn 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : NN --> ( U. J  \  x )  -> 
f  Fn  NN )
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f  Fn  NN )
34 dffn3 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  NN  <->  f : NN
--> ran  f )
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ran  f )
36 ssun1 3660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  C_  ( ran  f  u. 
{ y } )
37 fss 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN --> ran  f  /\  ran  f  C_  ( ran  f  u.  { y } ) )  -> 
f : NN --> ( ran  f  u.  { y } ) )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ( ran  f  u. 
{ y } ) )
3925, 14, 26, 8, 31, 24, 38lmss 19558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( f
( ~~> t `  J
) y  <->  f ( ~~> t `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) y ) )
4011, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f ( ~~> t `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) y )
4138ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( ran  f  u.  { y } ) )
42 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ( U. J  \  x ) )
4342ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( U. J  \  x ) )
4443eldifbd 3482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( f `  k )  e.  x
)
4541, 44eldifd 3480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( ( ran  f  u.  {
y } )  \  x ) )
46 difin 3728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  f  u.  {
y } )  \ 
( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x ) )  =  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)
47 frn 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : NN --> ( U. J  \  x )  ->  ran  f  C_  ( U. J  \  x ) )
4847ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ran  f  C_  ( U. J  \  x
) )
4948difss2d 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ran  f  C_  U. J )
5013snssd 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  { y }  C_  U. J )
5149, 50unssd 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  C_  U. J
)
523restuni 19422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  u.  {
y } )  C_  U. J )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
538, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
5453difeq1d 3614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  (
( ran  f  u.  { y } )  i^i  x ) )  =  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x
) ) )
5546, 54syl5eqr 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)  =  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) ) )
56 incom 3684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x )  =  ( x  i^i  ( ran  f  u.  { y } ) )
57 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
58 fss 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  f : NN --> U. J )
5942, 2, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> U. J )
6010, 59, 111stckgenlem 19782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Comp )
61 kgeni 19766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Comp )  ->  (
x  i^i  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
6257, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( x  i^i  ( ran  f  u. 
{ y } ) )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) )
6356, 62syl5eqel 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x
)  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) )
6421opncld 19293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  Top  /\  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )  ->  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
6520, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
6655, 65eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) )
6714, 23, 24, 40, 45, 66lmcld 19563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( ( ran  f  u.  { y } ) 
\  x ) )
6867eldifbd 3482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  -.  y  e.  x )
6913, 68eldifd 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) )
7069ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) ) )
7170exlimdv 1695 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y )  ->  y  e.  ( U. J  \  x ) ) )
726, 71sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) ) )
7372ssrdv 3503 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) )
743iscld4 19325 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) ) )
757, 2, 74sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) ) )
7673, 75mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
77 elssuni 4268 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
7877adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
793kgenuni 19768 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
807, 79syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen
`  J ) )
8178, 80sseqtr4d 3534 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  C_  U. J
)
823isopn2 19292 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( x  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
837, 81, 82syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( x  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
8476, 83mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  e.  J
)
8584ex 434 . . 3  |-  ( J  e.  1stc  ->  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  e.  J )
)
8685ssrdv 3503 . 2  |-  ( J  e.  1stc  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
87 iskgen2 19777 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
881, 86, 87sylanbrc 664 1  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   {csn 4020   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   ran crn 4993    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482   NNcn 10525   ↾t crest 14665   Topctop 19154  TopOnctopon 19155   Clsdccld 19276   clsccl 19278   ~~> tclm 19486   Compccmp 19645   1stcc1stc 19697  𝑘Genckgen 19762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-lm 19489  df-cmp 19646  df-1stc 19699  df-kgen 19763
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