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Theorem 1stckgen 17539
Description: A first-countable space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stckgen  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem 1stckgen
Dummy variables  k 
f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 17459 . 2  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
2 difss 3434 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  \  x )  C_  U. J
3 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
431stcelcls 17477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f
( ~~> t `  J
) y ) ) )
52, 4mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  1stc  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  <->  E. f
( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) ) )
65adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f
( ~~> t `  J
) y ) ) )
71adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  J  e.  Top )
87adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  J  e.  Top )
93toptopon 16953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
108, 9sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f ( ~~> t `  J )
y )
12 lmcl 17315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  f
( ~~> t `  J
) y )  -> 
y  e.  U. J
)
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  U. J )
14 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
1615rnex 5092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  e.  _V
17 snex 4365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y }  e.  _V
1816, 17unex 4666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { y } )  e.  _V
19 resttop 17178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  u.  {
y } )  e. 
_V )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  e.  Top )
208, 18, 19sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Top )
21 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )
2221toptopon 16953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt  ( ran  f  u. 
{ y } ) )  e.  Top  <->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
2320, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
24 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  1  e.  ZZ )
26 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  =  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  e.  _V )
28 ssun2 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y }  C_  ( ran  f  u.  { y } )
29 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3029snss 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ran  f  u.  { y } )  <->  { y }  C_  ( ran  f  u.  {
y } ) )
3128, 30mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e.  ( ran  f  u. 
{ y } )
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( ran  f  u.  {
y } ) )
33 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : NN --> ( U. J  \  x )  -> 
f  Fn  NN )
3433ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f  Fn  NN )
35 dffn3 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  NN  <->  f : NN
--> ran  f )
3634, 35sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ran  f )
37 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  C_  ( ran  f  u. 
{ y } )
38 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN --> ran  f  /\  ran  f  C_  ( ran  f  u.  { y } ) )  -> 
f : NN --> ( ran  f  u.  { y } ) )
3936, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ( ran  f  u. 
{ y } ) )
4026, 14, 27, 8, 32, 25, 39lmss 17316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( f
( ~~> t `  J
) y  <->  f ( ~~> t `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) y ) )
4111, 40mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f ( ~~> t `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) y )
4239ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( ran  f  u.  { y } ) )
43 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ( U. J  \  x ) )
4443ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( U. J  \  x ) )
4544eldifbd 3293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( f `  k )  e.  x
)
4642, 45eldifd 3291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( ( ran  f  u.  {
y } )  \  x ) )
47 difin 3538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  f  u.  {
y } )  \ 
( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x ) )  =  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)
48 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : NN --> ( U. J  \  x )  ->  ran  f  C_  ( U. J  \  x ) )
4948ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ran  f  C_  ( U. J  \  x
) )
5049difss2d 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ran  f  C_  U. J )
5113snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  { y }  C_  U. J )
5250, 51unssd 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  C_  U. J
)
533restuni 17180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  u.  {
y } )  C_  U. J )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
548, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
5554difeq1d 3424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  (
( ran  f  u.  { y } )  i^i  x ) )  =  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x
) ) )
5647, 55syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)  =  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) ) )
57 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x )  =  ( x  i^i  ( ran  f  u.  { y } ) )
58 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
59 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  f : NN --> U. J )
6043, 2, 59sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> U. J )
6110, 60, 111stckgenlem 17538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Comp )
62 kgeni 17522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Comp )  ->  (
x  i^i  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
6358, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( x  i^i  ( ran  f  u. 
{ y } ) )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) )
6457, 63syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x
)  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) )
6521opncld 17052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  Top  /\  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )  ->  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
6620, 64, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
6756, 66eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) )
6814, 23, 25, 41, 46, 67lmcld 17321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( ( ran  f  u.  { y } ) 
\  x ) )
6968eldifbd 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  -.  y  e.  x )
7013, 69eldifd 3291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) )
7170ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) ) )
7271exlimdv 1643 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y )  ->  y  e.  ( U. J  \  x ) ) )
736, 72sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) ) )
7473ssrdv 3314 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) )
753iscld4 17084 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) ) )
767, 2, 75sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) ) )
7774, 76mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
78 elssuni 4003 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
7978adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
803kgenuni 17524 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
817, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen
`  J ) )
8279, 81sseqtr4d 3345 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  C_  U. J
)
833isopn2 17051 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( x  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
847, 82, 83syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( x  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
8577, 84mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  e.  J
)
8685ex 424 . . 3  |-  ( J  e.  1stc  ->  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  e.  J )
)
8786ssrdv 3314 . 2  |-  ( J  e.  1stc  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
88 iskgen2 17533 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
891, 87, 88sylanbrc 646 1  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947   NNcn 9956   ZZcz 10238   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035   clsccl 17037   ~~> tclm 17244   Compccmp 17403   1stcc1stc 17453  𝑘Genckgen 17518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-lm 17247  df-cmp 17404  df-1stc 17455  df-kgen 17519
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