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Theorem 1stckgen 19928
Description: A first-countable space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stckgen  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem 1stckgen
Dummy variables  k 
f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 19817 . 2  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
2 difss 3616 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  \  x )  C_  U. J
3 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
431stcelcls 19835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f
( ~~> t `  J
) y ) ) )
52, 4mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  1stc  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  <->  E. f
( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) ) )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f
( ~~> t `  J
) y ) ) )
71adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  J  e.  Top )
87adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  J  e.  Top )
93toptopon 19307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f ( ~~> t `  J )
y )
12 lmcl 19671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  f
( ~~> t `  J
) y )  -> 
y  e.  U. J
)
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  U. J )
14 nnuz 11125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
1615rnex 6719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  e.  _V
17 snex 4678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y }  e.  _V
1816, 17unex 6583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  f  u.  { y } )  e.  _V
19 resttop 19534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  u.  {
y } )  e. 
_V )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  e.  Top )
208, 18, 19sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Top )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )
2221toptopon 19307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt  ( ran  f  u. 
{ y } ) )  e.  Top  <->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
2320, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
24 1zzd 10901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  1  e.  ZZ )
25 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) )  =  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )
2618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  e.  _V )
27 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y }  C_  ( ran  f  u.  { y } )
28 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
2928snss 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ran  f  u.  { y } )  <->  { y }  C_  ( ran  f  u.  {
y } ) )
3027, 29mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e.  ( ran  f  u. 
{ y } )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( ran  f  u.  {
y } ) )
32 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : NN --> ( U. J  \  x )  -> 
f  Fn  NN )
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f  Fn  NN )
34 dffn3 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  NN  <->  f : NN
--> ran  f )
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ran  f )
36 ssun1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  f  C_  ( ran  f  u. 
{ y } )
37 fss 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN --> ran  f  /\  ran  f  C_  ( ran  f  u.  { y } ) )  -> 
f : NN --> ( ran  f  u.  { y } ) )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ( ran  f  u. 
{ y } ) )
3925, 14, 26, 8, 31, 24, 38lmss 19672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( f
( ~~> t `  J
) y  <->  f ( ~~> t `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) y ) )
4011, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f ( ~~> t `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) y )
4138ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( ran  f  u.  { y } ) )
42 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> ( U. J  \  x ) )
4342ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( U. J  \  x ) )
4443eldifbd 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( f `  k )  e.  x
)
4541, 44eldifd 3472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( ( ran  f  u.  {
y } )  \  x ) )
46 difin 3720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  f  u.  {
y } )  \ 
( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x ) )  =  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)
47 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : NN --> ( U. J  \  x )  ->  ran  f  C_  ( U. J  \  x ) )
4847ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ran  f  C_  ( U. J  \  x
) )
4948difss2d 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ran  f  C_  U. J )
5013snssd 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  { y }  C_  U. J )
5149, 50unssd 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  C_  U. J
)
523restuni 19536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  u.  {
y } )  C_  U. J )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
538, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ran  f  u.  { y } )  =  U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
5453difeq1d 3606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  (
( ran  f  u.  { y } )  i^i  x ) )  =  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) 
\  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x
) ) )
5546, 54syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)  =  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) ) )
56 incom 3676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x )  =  ( x  i^i  ( ran  f  u.  { y } ) )
57 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
58 fss 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  f : NN --> U. J )
5942, 2, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  f : NN
--> U. J )
6010, 59, 111stckgenlem 19927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Comp )
61 kgeni 19911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e. 
Comp )  ->  (
x  i^i  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )
6257, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( x  i^i  ( ran  f  u. 
{ y } ) )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) )
6356, 62syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x
)  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) )
6421opncld 19407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  e.  Top  /\  ( ( ran  f  u.  { y } )  i^i  x )  e.  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) )  ->  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
6520, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( U. ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) )  \  ( ( ran  f  u.  {
y } )  i^i  x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  {
y } ) ) ) )
6655, 65eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  ( ( ran  f  u.  { y } )  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( Jt  ( ran  f  u.  { y } ) ) ) )
6714, 23, 24, 40, 45, 66lmcld 19677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( ( ran  f  u.  { y } ) 
\  x ) )
6867eldifbd 3474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  -.  y  e.  x )
6913, 68eldifd 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y ) )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) )
7069ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( f : NN --> ( U. J  \  x )  /\  f ( ~~> t `  J ) y )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) ) )
7170exlimdv 1711 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( U. J  \  x
)  /\  f ( ~~> t `  J )
y )  ->  y  e.  ( U. J  \  x ) ) )
726, 71sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( U. J  \  x ) )  ->  y  e.  ( U. J  \  x
) ) )
7372ssrdv 3495 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) )
743iscld4 19439 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) ) )
757, 2, 74sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( ( U. J  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  ( U. J  \  x
) )  C_  ( U. J  \  x
) ) )
7673, 75mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
77 elssuni 4264 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
7877adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
793kgenuni 19913 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
807, 79syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen
`  J ) )
8178, 80sseqtr4d 3526 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  C_  U. J
)
823isopn2 19406 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( x  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
837, 81, 82syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( x  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
8476, 83mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  x  e.  J
)
8584ex 434 . . 3  |-  ( J  e.  1stc  ->  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  e.  J )
)
8685ssrdv 3495 . 2  |-  ( J  e.  1stc  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
87 iskgen2 19922 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
881, 86, 87sylanbrc 664 1  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496   NNcn 10542   ↾t crest 14695   Topctop 19267  TopOnctopon 19268   Clsdccld 19390   clsccl 19392   ~~> tclm 19600   Compccmp 19759   1stcc1stc 19811  𝑘Genckgen 19907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-lm 19603  df-cmp 19760  df-1stc 19813  df-kgen 19908
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