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Theorem 1stcfb 20537
Description: For any point  A in a first-countable topology, there is a function  f : NN --> J enumerating neighborhoods of  A which is decreasing and forms a local base. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcclb.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
1stcfb  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
Distinct variable groups:    f, k,
y, A    f, J, k, y    k, X, y
Allowed substitution hint:    X( f)

Proof of Theorem 1stcfb
Dummy variables  a 
g  n  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stcclb.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
211stcclb 20536 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. x  e.  ~P  J ( x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
3 1stctop 20535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
43ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
51topopn 20013 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  X  e.  J )
7 simprrr 783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  A  e.  X )
9 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  X ) )
10 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  X
) )
1110anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) )
1211rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) )
139, 12imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  X  ->  (
( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( A  e.  X  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) ) )
1413rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  J  ->  ( A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( A  e.  X  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) ) )
156, 7, 8, 14syl3c 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) )
16 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  w  /\  w  C_  X )  ->  A  e.  w )
1716reximi 2852 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X )  ->  E. w  e.  x  A  e.  w )
1815, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  x  A  e.  w )
19 eleq2 2538 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  a  ->  ( A  e.  w  <->  A  e.  a ) )
2019cbvrexv 3006 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  x  A  e.  w  <->  E. a  e.  x  A  e.  a )
2118, 20sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. a  e.  x  A  e.  a )
22 rabn0 3755 . . . . . 6  |-  ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  x  A  e.  a )
2321, 22sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/) )
24 vex 3034 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
2524rabex 4550 . . . . . 6  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  e.  _V
26250sdom 7721 . . . . 5  |-  ( (/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a } 
<->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/) )
2723, 26sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  (/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
28 ssrab2 3500 . . . . . 6  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  x
29 ssdomg 7633 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  x  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x ) )
3024, 28, 29mp2 9 . . . . 5  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x
31 simprrl 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  x  ~<_  om )
32 nnenom 12231 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
3332ensymi 7637 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
34 domentr 7646 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
3531, 33, 34sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  x  ~<_  NN )
36 domtr 7640 . . . . 5  |-  ( ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x  /\  x  ~<_  NN )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )
3730, 35, 36sylancr 676 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )
38 fodomr 7741 . . . 4  |-  ( (
(/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a }  /\  {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
3927, 37, 38syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. g 
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
403ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
41 imassrn 5185 . . . . . . . . . 10  |-  ( g
" ( 1 ... n ) )  C_  ran  g
42 forn 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  ran  g  =  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
4342ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  ran  g  =  {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
44 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  x  e.  ~P J
)
4544elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  x  C_  J )
4628, 45syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  J )
4743, 46eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  ran  g  C_  J )
4847adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  g  C_  J
)
4941, 48syl5ss 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) ) 
C_  J )
50 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
5150ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
52 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a } )
5352ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a } )
54 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  dom  g  =  NN )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  dom  g  =  NN )
5651, 55syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( 1 ... n
)  C_  dom  g )
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  C_  dom  g )
58 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  dom  g  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n ) )  =  ( 1 ... n
) )
5957, 58sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =  ( 1 ... n ) )
60 elfz1end 11855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( 1 ... n
) )
61 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1 ... n )  =/=  (/) )
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  =/=  (/) )
6360, 62sylan2b 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  =/=  (/) )
6459, 63eqnetrd 2710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =/=  (/) )
65 imadisj 5193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g " ( 1 ... n ) )  =  (/)  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =  (/) )
6665necon3bii 2695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g " ( 1 ... n ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =/=  (/) )
6764, 66sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/) )
68 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  e.  Fin )
69 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  Fun  g )
7053, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  Fun  g )
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  Fun  g )
72 fores 5815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  g  /\  (
1 ... n )  C_  dom  g )  ->  (
g  |`  ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n
) -onto-> ( g "
( 1 ... n
) ) )
7371, 57, 72syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -onto-> ( g
" ( 1 ... n ) ) )
74 fofi 7878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  ( g  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -onto-> ( g
" ( 1 ... n ) ) )  ->  ( g "
( 1 ... n
) )  e.  Fin )
7568, 73, 74syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) )  e.  Fin )
76 fiinopn 20008 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( g "
( 1 ... n
) )  C_  J  /\  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/)  /\  ( g
" ( 1 ... n ) )  e. 
Fin )  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  e.  J ) )
7776imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( g "
( 1 ... n
) )  C_  J  /\  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/)  /\  ( g
" ( 1 ... n ) )  e. 
Fin ) )  ->  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J )
7840, 49, 67, 75, 77syl13anc 1294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... n
) )  e.  J
)
79 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )
8078, 79fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J )
81 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g
" ( 1 ... k ) )  C_  ran  g
8243adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ran  g  =  {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
8381, 82syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  n  ->  A  e.  n )
8584rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  x  ( A  e.  n  ->  A  e.  n )
86 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  n  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  n ) )
8786ralrab 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n  <->  A. n  e.  x  ( A  e.  n  ->  A  e.  n ) )
8885, 87mpbir 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n
89 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g " ( 1 ... k ) ) 
C_  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  ( A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n  ->  A. n  e.  ( g " (
1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9083, 88, 89mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) A  e.  n )
91 elintg 4234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  <->  A. n  e.  ( g " (
1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9291ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  |^| ( g " (
1 ... k ) )  <->  A. n  e.  (
g " ( 1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9390, 92mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) )
94 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
9578ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J )
96 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... k
) )
9796imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
g " ( 1 ... n ) )  =  ( g "
( 1 ... k
) ) )
9897inteqd 4231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  =  |^| ( g
" ( 1 ... k ) ) )
9998eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  <->  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  e.  J ) )
10099rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  /\  k  e.  NN )  ->  |^| (
g " ( 1 ... k ) )  e.  J )
10195, 100sylan 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  e.  J
)
10298, 79fvmptg 5961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  |^| ( g " (
1 ... k ) )  e.  J )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  |^| ( g " (
1 ... k ) ) )
10394, 101, 102syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  |^| ( g " (
1 ... k ) ) )
10493, 103eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
105 fzssp1 11867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... k )  C_  ( 1 ... (
k  +  1 ) )
106 imass2 5210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... k ) 
C_  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  (
g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
108 intss 4247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  |^| (
g " ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ) 
C_  |^| ( g "
( 1 ... k
) ) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  C_  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) )
110 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
111110adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
112 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
113112imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
g " ( 1 ... n ) )  =  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
114113inteqd 4231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  =  |^| ( g
" ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
115114eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  <->  |^| ( g
" ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J ) )
116115rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  ->  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J )
11795, 110, 116syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  e.  J
)
118114, 79fvmptg 5961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
119111, 117, 118syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
120109, 119, 1033sstr4d 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  C_  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
121104, 120jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
122121ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. k  e.  NN  ( A  e.  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
123 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
124 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  y ) )
125 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  y
) )
126125anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
127126rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
128124, 127imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) ) )
129128rspccva 3135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
130123, 129sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
131 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  w  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  w ) )
132131rexrab 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y 
<->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) )
13343rexeqdv 2980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
ran  g  w  C_  y 
<->  E. w  e.  {
a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y )
)
134 fofn 5808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  g  Fn  NN )
135134ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
g  Fn  NN )
136 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( g `  k )  ->  (
w  C_  y  <->  ( g `  k )  C_  y
) )
137136rexrn 6039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  Fn  NN  ->  ( E. w  e.  ran  g  w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
138135, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
ran  g  w  C_  y 
<->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  y )
)
139133, 138bitr3d 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
140139adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
141 elfz1end 11855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( 1 ... k
) )
14270adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  Fun  g )
143 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
144143ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
14555adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  dom  g  =  NN )
146144, 145syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( 1 ... k
)  C_  dom  g )
147 funfvima2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  g  /\  (
1 ... k )  C_  dom  g )  ->  (
k  e.  ( 1 ... k )  -> 
( g `  k
)  e.  ( g
" ( 1 ... k ) ) ) )
148142, 146, 147syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( k  e.  ( 1 ... k )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) ) )
149148imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  (
1 ... k ) )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) )
150141, 149sylan2b 483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) )
151 intss1 4241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  k )  e.  ( g "
( 1 ... k
) )  ->  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g `  k ) )
152 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  ( g `  k )  ->  (
( g `  k
)  C_  y  ->  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
153150, 151, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( g `
 k )  C_  y  ->  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
154153reximdva 2858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
155140, 154sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
156132, 155syl5bir 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y )  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
157130, 156syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
158103sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  C_  y ) )
159158rexbidva 2889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
160159adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
161157, 160sylibrd 242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) )
162161ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) )
163 nnex 10637 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
164163mptex 6152 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )  e.  _V
165 feq1 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f : NN --> J 
<->  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J ) )
166 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
167166eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A  e.  ( f `  k )  <-> 
A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
168 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
169168, 166sseq12d 3447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
170167, 169anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  <->  ( A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  /\  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) ) )
171170ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  <->  A. k  e.  NN  ( A  e.  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) ) )
172166sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f `  k )  C_  y  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )
173172rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y  <->  E. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )
174173imbi2d 323 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
)  <->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) ) )
175174ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
)  <->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) ) )
176165, 171, 1753anbi123d 1365 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
)  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( (
n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) ) ) )
177164, 176spcev 3127 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( (
n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) )
17880, 122, 162, 177syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) )
179178expr 626 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  (
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
180179adantrrl 738 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  (
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
181180exlimdv 1787 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  ( E. g  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
18239, 181mpd 15 . 2  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
1832, 182rexlimddv 2875 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   Fincfn 7587   1c1 9558    + caddc 9560   NNcn 10631   ...cfz 11810   Topctop 19994   1stcc1stc 20529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-top 19998  df-1stc 20531
This theorem is referenced by:  1stcelcls  20553
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