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Theorem 1stcfb 20537
 Description: For any point in a first-countable topology, there is a function enumerating neighborhoods of which is decreasing and forms a local base. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcclb.1
Assertion
Ref Expression
1stcfb
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem 1stcfb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stcclb.1 . . 3
211stcclb 20536 . 2
3 1stctop 20535 . . . . . . . . . . 11
43ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
51topopn 20013 . . . . . . . . . 10
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9
7 simprrr 783 . . . . . . . . 9
8 simplr 770 . . . . . . . . 9
9 eleq2 2538 . . . . . . . . . . 11
10 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . 13
1110anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12
1211rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11
139, 12imbi12d 327 . . . . . . . . . 10
1413rspcv 3132 . . . . . . . . 9
156, 7, 8, 14syl3c 62 . . . . . . . 8
16 simpl 464 . . . . . . . . 9
1716reximi 2852 . . . . . . . 8
1815, 17syl 17 . . . . . . 7
19 eleq2 2538 . . . . . . . 8
2019cbvrexv 3006 . . . . . . 7
2118, 20sylib 201 . . . . . 6
22 rabn0 3755 . . . . . 6
2321, 22sylibr 217 . . . . 5
24 vex 3034 . . . . . . 7
2524rabex 4550 . . . . . 6
26250sdom 7721 . . . . 5
2723, 26sylibr 217 . . . 4
28 ssrab2 3500 . . . . . 6
29 ssdomg 7633 . . . . . 6
3024, 28, 29mp2 9 . . . . 5
31 simprrl 782 . . . . . 6
32 nnenom 12231 . . . . . . 7
3332ensymi 7637 . . . . . 6
34 domentr 7646 . . . . . 6
3531, 33, 34sylancl 675 . . . . 5
36 domtr 7640 . . . . 5
3730, 35, 36sylancr 676 . . . 4
38 fodomr 7741 . . . 4
3927, 37, 38syl2anc 673 . . 3
403ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9
41 imassrn 5185 . . . . . . . . . 10
42 forn 5809 . . . . . . . . . . . . 13
4342ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12
44 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . 14
4544elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . 13
4628, 45syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . 12
4743, 46eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . 11
4847adantr 472 . . . . . . . . . 10
4941, 48syl5ss 3429 . . . . . . . . 9
50 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . 14
52 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
5651, 55syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . 13
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
58 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58sylib 201 . . . . . . . . . . 11
60 elfz1end 11855 . . . . . . . . . . . 12
61 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . 13
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
6360, 62sylan2b 483 . . . . . . . . . . 11
6459, 63eqnetrd 2710 . . . . . . . . . 10
65 imadisj 5193 . . . . . . . . . . 11
6665necon3bii 2695 . . . . . . . . . 10
6764, 66sylibr 217 . . . . . . . . 9
68 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10
69 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . 13
7053, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11
72 fores 5815 . . . . . . . . . . 11
7371, 57, 72syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
74 fofi 7878 . . . . . . . . . 10
7568, 73, 74syl2anc 673 . . . . . . . . 9
76 fiinopn 20008 . . . . . . . . . 10
7776imp 436 . . . . . . . . 9
7840, 49, 67, 75, 77syl13anc 1294 . . . . . . . 8
79 eqid 2471 . . . . . . . 8
8078, 79fmptd 6061 . . . . . . 7
81 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . 13
8243adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
8381, 82syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . 12
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
8584rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . 13
86 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . 14
8786ralrab 3188 . . . . . . . . . . . . 13
8885, 87mpbir 214 . . . . . . . . . . . 12
89 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . 12
9083, 88, 89mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11
91 elintg 4234 . . . . . . . . . . . 12
9291ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11
9390, 92mpbird 240 . . . . . . . . . 10
94 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
9578ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12
96 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897inteqd 4231 . . . . . . . . . . . . . 14
9998eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
10099rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12
10195, 100sylan 479 . . . . . . . . . . 11
10298, 79fvmptg 5961 . . . . . . . . . . 11
10394, 101, 102syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
10493, 103eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9
105 fzssp1 11867 . . . . . . . . . . . 12
106 imass2 5210 . . . . . . . . . . . 12
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . 11
108 intss 4247 . . . . . . . . . . 11
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . 10
110 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . 12
111110adantl 473 . . . . . . . . . . 11
112 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113112imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15
114113inteqd 4231 . . . . . . . . . . . . . 14
115114eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
116115rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12
11795, 110, 116syl2an 485 . . . . . . . . . . 11
118114, 79fvmptg 5961 . . . . . . . . . . 11
119111, 117, 118syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
120109, 119, 1033sstr4d 3461 . . . . . . . . 9
121104, 120jca 541 . . . . . . . 8
122121ralrimiva 2809 . . . . . . 7
123 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11
124 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13
125 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15
126125anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14
127126rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13
128124, 127imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12
129128rspccva 3135 . . . . . . . . . . 11
130123, 129sylan 479 . . . . . . . . . 10
131 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
132131rexrab 3190 . . . . . . . . . . 11
13343rexeqdv 2980 . . . . . . . . . . . . . 14
134 fofn 5808 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135134ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . 15
136 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137136rexrn 6039 . . . . . . . . . . . . . . 15
138135, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
139133, 138bitr3d 263 . . . . . . . . . . . . 13
140139adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
141 elfz1end 11855 . . . . . . . . . . . . . . 15
14270adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144143ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14555adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146144, 145syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147 funfvima2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148142, 146, 147syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149148imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15
150141, 149sylan2b 483 . . . . . . . . . . . . . 14
151 intss1 4241 . . . . . . . . . . . . . 14
152 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . . 14
153150, 151, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
154153reximdva 2858 . . . . . . . . . . . 12
155140, 154sylbid 223 . . . . . . . . . . 11
156132, 155syl5bir 226 . . . . . . . . . 10
157130, 156syld 44 . . . . . . . . 9
158103sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11
159158rexbidva 2889 . . . . . . . . . 10
160159adantr 472 . . . . . . . . 9
161157, 160sylibrd 242 . . . . . . . 8
162161ralrimiva 2809 . . . . . . 7
163 nnex 10637 . . . . . . . . 9
164163mptex 6152 . . . . . . . 8
165 feq1 5720 . . . . . . . . 9
166 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
167166eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11
168 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
169168, 166sseq12d 3447 . . . . . . . . . . 11
170167, 169anbi12d 725 . . . . . . . . . 10
171170ralbidv 2829 . . . . . . . . 9
172166sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . 12
173172rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11
174173imbi2d 323 . . . . . . . . . 10
175174ralbidv 2829 . . . . . . . . 9
176165, 171, 1753anbi123d 1365 . . . . . . . 8
177164, 176spcev 3127 . . . . . . 7
17880, 122, 162, 177syl3anc 1292 . . . . . 6
179178expr 626 . . . . 5
180179adantrrl 738 . . . 4
181180exlimdv 1787 . . 3
18239, 181mpd 15 . 2
1832, 182rexlimddv 2875 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190  cint 4226   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  wfo 5587  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711   cen 7584   cdom 7585   csdm 7586  cfn 7587  c1 9558   caddc 9560  cn 10631  cfz 11810  ctop 19994  c1stc 20529 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-top 19998  df-1stc 20531 This theorem is referenced by:  1stcelcls  20553
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