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Theorem 1stcelcls 18965
Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 8600. A space satisfying the conclusion of this theorem is called a sequential space, so the theorem can also be stated as "every first-countable space is a sequential space". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcelcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
1stcelcls  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    P, f    S, f    f, X

Proof of Theorem 1stcelcls
Dummy variables  g 
j  k  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 748 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  1stc )
2 1stctop 18947 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
3 1stcelcls.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
43clsss3 18563 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
52, 4sylan 468 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  X )
65sselda 3353 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  X )
731stcfb 18949 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  P  e.  X )  ->  E. g
( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  x
) ) )
81, 6, 7syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. g
( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  x
) ) )
9 simpr1 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  g : NN --> J )
109ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
g `  n )  e.  J )
113elcls2 18578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) )
122, 11sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
1312simplbda 621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
1413ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
15 simpr2 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
) )
16 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( g `
 k )  /\  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )  ->  P  e.  ( g `  k ) )
1716ralimi 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  ->  A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k ) )
19 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
g `  k )  =  ( g `  n ) )
2019eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( P  e.  ( g `  k )  <->  P  e.  ( g `  n
) ) )
2120rspccva 3069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  ( g `  n
) )
2218, 21sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  ( g `  n
) )
23 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  ( g `  n
) ) )
24 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
y  i^i  S )  =  ( ( g `
 n )  i^i 
S ) )
2524neeq1d 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
( y  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( (
g `  n )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2623, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( g `  n
)  ->  ( (
g `  n )  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2726rspcv 3066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  n )  e.  J  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( P  e.  ( g `  n )  ->  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) )
2810, 14, 22, 27syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/) )
29 elin 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  <->  ( x  e.  ( g `  n
)  /\  x  e.  S ) )
30 ancom 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( g `
 n )  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n ) ) )
3129, 30bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n
) ) )
3231exbii 1639 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  x  e.  ( ( g `  n
)  i^i  S )  <->  E. x ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n
) ) )
33 n0 3643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( g `  n )  i^i  S
) )
34 df-rex 2719 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n )  <->  E. x
( x  e.  S  /\  x  e.  (
g `  n )
) )
3532, 33, 343bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n ) )
3628, 35sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n
) )
372ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
383topopn 18419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  X  e.  J )
40 simplr 749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  X
)
4139, 40ssexd 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  _V )
42 fvi 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4443ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4544rexeqdv 2922 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  (  _I  `  S ) x  e.  ( g `  n )  <->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n
) ) )
4636, 45mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n ) )
4746ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. n  e.  NN  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n ) )
48 fvex 5698 . . . . . . 7  |-  (  _I 
`  S )  e. 
_V
49 nnenom 11798 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
50 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  ( g `
 n )  <->  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5148, 49, 50axcc4 8604 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n )  ->  E. f ( f : NN --> (  _I 
`  S )  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )
5247, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  E. f
( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
53 feq3 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  `  S )  =  S  ->  (
f : NN --> (  _I 
`  S )  <->  f : NN
--> S ) )
5443, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( f : NN --> (  _I  `  S )  <->  f : NN
--> S ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( f : NN --> (  _I  `  S )  ->  f : NN --> S ) )
5655adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
f : NN --> (  _I 
`  S )  -> 
f : NN --> S ) )
576ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  P  e.  X )
58 simplr3 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
)
59 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
60 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
g `  k )  =  ( g `  j ) )
6160sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( g `  k
)  C_  x  <->  ( g `  j )  C_  x
) )
6261cbvrexv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. k  e.  NN  (
g `  k )  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  x )
63 sseq2 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  j
)  C_  x  <->  ( g `  j )  C_  y
) )
6463rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6562, 64syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6659, 65imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )  <->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  y )
) )
6766rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )  /\  y  e.  J
)  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6858, 67sylan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  y )
)
69 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ( g `
 k )  /\  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )  -> 
( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
7069ralimi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
7115, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)
7271adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
73 simprrr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  j  e.  NN )
74 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  j  ->  (
g `  n )  =  ( g `  j ) )
7574sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  j  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  j )  C_  (
g `  j )
) )
7675imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  j )  C_  ( g `  j
) ) ) )
77 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7877sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  m )  C_  (
g `  j )
) )
7978imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) ) )
80 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
g `  n )  =  ( g `  ( m  +  1
) ) )
8180sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  j )
) )
8281imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
83 ssid 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g `
 j )  C_  ( g `  j
)
8483a1ii 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  j )  C_  (
g `  j )
) )
85 eluznn 10921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
86 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  m  ->  (
k  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
8786fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  m  ->  (
g `  ( k  +  1 ) )  =  ( g `  ( m  +  1
) ) )
88 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  m  ->  (
g `  k )  =  ( g `  m ) )
8987, 88sseq12d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  m  ->  (
( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  <->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  m )
) )
9089rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  m  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  m ) )
9185, 90sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  (
j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  C_  (
g `  m )
)
9291anassrs 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  C_  (
g `  m )
)
93 sstr2 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  m )  ->  (
( g `  m
)  C_  ( g `  j )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( g `
 m )  C_  ( g `  j
)  ->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  j )
) )
9594expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( g `  m
)  C_  ( g `  j )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
9695a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  m )  C_  (
g `  j )
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
9776, 79, 82, 79, 84, 96uzind4 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) )
9897com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) )
9998ralrimiv 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( g `  m
)  C_  ( g `  j ) )
10072, 73, 99syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( g `  m ) 
C_  ( g `  j ) )
10173, 85sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
102 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n ) )
103102ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n ) )
104 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
105104, 77eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( f `  n
)  e.  ( g `
 n )  <->  ( f `  m )  e.  ( g `  m ) ) )
106105rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n )  -> 
( f `  m
)  e.  ( g `
 m ) ) )
107101, 103, 106sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( f `  m )  e.  ( g `  m ) )
108107ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  m ) )
109 r19.26 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( g `  m ) 
C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  <->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( g `
 m )  C_  ( g `  j
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  ( g `
 m ) ) )
110100, 108, 109sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( g `  m
)  C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) ) )
111 ssel2 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  ->  (
f `  m )  e.  ( g `  j
) )
112111ralimi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( g `  m ) 
C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  ( g `
 j ) )
113110, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  j ) )
114 ssel 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g `  j ) 
C_  y  ->  (
( f `  m
)  e.  ( g `
 j )  -> 
( f `  m
)  e.  y ) )
115114ralimdv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  j ) 
C_  y  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  j )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  y ) )
116113, 115syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  ( ( g `
 j )  C_  y  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  y ) )
117116anassrs 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( g `  j
)  C_  y  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
118117anassrs 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( g `
 j )  C_  y  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  y ) )
119118reximdva 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
12068, 119syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
121120ralrimiva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
12237ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  J  e.  Top )
1233toptopon 18438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
124122, 123sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
125 nnuz 10892 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
126 1zzd 10673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
1  e.  ZZ )
127 simprl 750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f : NN --> S )
12840ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  S  C_  X )
129 fss 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> S  /\  S  C_  X )  -> 
f : NN --> X )
130127, 128, 129syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f : NN --> X )
131 eqidd 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m
)  =  ( f `
 m ) )
132124, 125, 126, 130, 131lmbrf 18764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
( f ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  y ) ) ) )
13357, 121, 132mpbir2and 908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f ( ~~> t `  J ) P )
134133expr 612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  f : NN --> S )  -> 
( A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n )  ->  f ( ~~> t `  J ) P ) )
135134imdistanda 688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  ->  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
13656, 135syland 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  ->  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
137136eximdv 1681 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  ( E. f ( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
13852, 137mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
1398, 138exlimddv 1697 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
140139ex 434 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
1412ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  J  e.  Top )
142141, 123sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
143 1zzd 10673 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  1  e.  ZZ )
144 simprr 751 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f ( ~~> t `  J ) P )
145 simprl 750 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f : NN
--> S )
146145ffvelrnda 5840 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k )  e.  S
)
147 simplr 749 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  S  C_  X
)
148125, 142, 143, 144, 146, 147lmcls 18806 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
149148ex 434 . . 3  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  (
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
150149exlimdv 1695 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
151140, 150impbid 191 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    _I cid 4627   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1c1 9279    + caddc 9281   NNcn 10318   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   clsccl 18522   ~~> tclm 18730   1stcc1stc 18941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-top 18403  df-topon 18406  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-lm 18733  df-1stc 18943
This theorem is referenced by:  1stccnp  18966  hausmapdom  19004  1stckgen  19027  metelcls  20715
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