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Theorem 1stcelcls 20256
Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 8849. A space satisfying the conclusion of this theorem is called a sequential space, so the theorem can also be stated as "every first-countable space is a sequential space". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcelcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
1stcelcls  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    P, f    S, f    f, X

Proof of Theorem 1stcelcls
Dummy variables  g 
j  k  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 754 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  1stc )
2 1stctop 20238 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
3 1stcelcls.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
43clsss3 19854 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
52, 4sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  X )
65sselda 3444 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  X )
731stcfb 20240 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  P  e.  X )  ->  E. g
( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  x
) ) )
81, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. g
( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  x
) ) )
9 simpr1 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  g : NN --> J )
109ffvelrnda 6011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
g `  n )  e.  J )
113elcls2 19870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) )
122, 11sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
1312simplbda 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
1413ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
15 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
) )
16 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( g `
 k )  /\  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )  ->  P  e.  ( g `  k ) )
1716ralimi 2799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  ->  A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k ) )
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k ) )
19 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
g `  k )  =  ( g `  n ) )
2019eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( P  e.  ( g `  k )  <->  P  e.  ( g `  n
) ) )
2120rspccva 3161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  ( g `  n
) )
2218, 21sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  ( g `  n
) )
23 eleq2 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  ( g `  n
) ) )
24 ineq1 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
y  i^i  S )  =  ( ( g `
 n )  i^i 
S ) )
2524neeq1d 2682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
( y  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( (
g `  n )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2623, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( g `  n
)  ->  ( (
g `  n )  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2726rspcv 3158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  n )  e.  J  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( P  e.  ( g `  n )  ->  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) )
2810, 14, 22, 27syl3c 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/) )
29 elin 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  <->  ( x  e.  ( g `  n
)  /\  x  e.  S ) )
30 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( g `
 n )  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n ) ) )
3129, 30bitri 251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n
) ) )
3231exbii 1690 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  x  e.  ( ( g `  n
)  i^i  S )  <->  E. x ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n
) ) )
33 n0 3750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( g `  n )  i^i  S
) )
34 df-rex 2762 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n )  <->  E. x
( x  e.  S  /\  x  e.  (
g `  n )
) )
3532, 33, 343bitr4i 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n ) )
3628, 35sylib 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n
) )
372ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
383topopn 19709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  X  e.  J )
40 simplr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  X
)
4139, 40ssexd 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  _V )
42 fvi 5908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4544rexeqdv 3013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  (  _I  `  S ) x  e.  ( g `  n )  <->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n
) ) )
4636, 45mpbird 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n ) )
4746ralrimiva 2820 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. n  e.  NN  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n ) )
48 fvex 5861 . . . . . . 7  |-  (  _I 
`  S )  e. 
_V
49 nnenom 12133 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
50 eleq1 2476 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  ( g `
 n )  <->  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5148, 49, 50axcc4 8853 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n )  ->  E. f ( f : NN --> (  _I 
`  S )  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )
5247, 51syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  E. f
( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5343feq3d 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( f : NN --> (  _I  `  S )  <->  f : NN
--> S ) )
5453biimpd 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( f : NN --> (  _I  `  S )  ->  f : NN --> S ) )
5554adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
f : NN --> (  _I 
`  S )  -> 
f : NN --> S ) )
566ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  P  e.  X )
57 simplr3 1043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
)
58 eleq2 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
59 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
g `  k )  =  ( g `  j ) )
6059sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( g `  k
)  C_  x  <->  ( g `  j )  C_  x
) )
6160cbvrexv 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. k  e.  NN  (
g `  k )  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  x )
62 sseq2 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  j
)  C_  x  <->  ( g `  j )  C_  y
) )
6362rexbidv 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6461, 63syl5bb 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6558, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )  <->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  y )
) )
6665rspccva 3161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )  /\  y  e.  J
)  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6757, 66sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  y )
)
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ( g `
 k )  /\  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )  -> 
( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
6968ralimi 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
7015, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
72 simprrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  j  e.  NN )
73 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  j  ->  (
g `  n )  =  ( g `  j ) )
7473sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  j  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  j )  C_  (
g `  j )
) )
7574imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  j )  C_  ( g `  j
) ) ) )
76 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7776sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  m )  C_  (
g `  j )
) )
7877imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) ) )
79 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
g `  n )  =  ( g `  ( m  +  1
) ) )
8079sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  j )
) )
8180imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
82 ssid 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g `
 j )  C_  ( g `  j
)
83822a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  j )  C_  (
g `  j )
) )
84 eluznn 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
85 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  m  ->  (
k  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
8685fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  m  ->  (
g `  ( k  +  1 ) )  =  ( g `  ( m  +  1
) ) )
87 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  m  ->  (
g `  k )  =  ( g `  m ) )
8886, 87sseq12d 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  m  ->  (
( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  <->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  m )
) )
8988rspccva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  m  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  m ) )
9084, 89sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  (
j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  C_  (
g `  m )
)
9190anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  C_  (
g `  m )
)
92 sstr2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  m )  ->  (
( g `  m
)  C_  ( g `  j )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( g `
 m )  C_  ( g `  j
)  ->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  j )
) )
9493expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( g `  m
)  C_  ( g `  j )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
9594a2d 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  m )  C_  (
g `  j )
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
9675, 78, 81, 78, 83, 95uzind4 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) )
9796com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) )
9897ralrimiv 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( g `  m
)  C_  ( g `  j ) )
9971, 72, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( g `  m ) 
C_  ( g `  j ) )
10072, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
101 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n ) )
102101ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n ) )
103 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
104103, 76eleq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( f `  n
)  e.  ( g `
 n )  <->  ( f `  m )  e.  ( g `  m ) ) )
105104rspcv 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n )  -> 
( f `  m
)  e.  ( g `
 m ) ) )
106100, 102, 105sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( f `  m )  e.  ( g `  m ) )
107106ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  m ) )
108 r19.26 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( g `  m ) 
C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  <->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( g `
 m )  C_  ( g `  j
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  ( g `
 m ) ) )
10999, 107, 108sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( g `  m
)  C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) ) )
110 ssel2 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  ->  (
f `  m )  e.  ( g `  j
) )
111110ralimi 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( g `  m ) 
C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  ( g `
 j ) )
112109, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  j ) )
113 ssel 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g `  j ) 
C_  y  ->  (
( f `  m
)  e.  ( g `
 j )  -> 
( f `  m
)  e.  y ) )
114113ralimdv 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  j ) 
C_  y  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  j )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  y ) )
115112, 114syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  ( ( g `
 j )  C_  y  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  y ) )
116115anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( g `  j
)  C_  y  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
117116anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( g `
 j )  C_  y  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  y ) )
118117reximdva 2881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
11967, 118syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
120119ralrimiva 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
12137ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  J  e.  Top )
1223toptopon 19728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
123121, 122sylib 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
124 nnuz 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
125 1zzd 10938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
1  e.  ZZ )
126 simprl 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f : NN --> S )
12740ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  S  C_  X )
128126, 127fssd 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f : NN --> X )
129 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m
)  =  ( f `
 m ) )
130123, 124, 125, 128, 129lmbrf 20056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
( f ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  y ) ) ) )
13156, 120, 130mpbir2and 925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f ( ~~> t `  J ) P )
132131expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  f : NN --> S )  -> 
( A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n )  ->  f ( ~~> t `  J ) P ) )
133132imdistanda 693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  ->  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
13455, 133syland 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  ->  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
135134eximdv 1733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  ( E. f ( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
13652, 135mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
1378, 136exlimddv 1749 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
138137ex 434 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
1392ad2antrr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  J  e.  Top )
140139, 122sylib 198 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
141 1zzd 10938 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  1  e.  ZZ )
142 simprr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f ( ~~> t `  J ) P )
143 simprl 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f : NN
--> S )
144143ffvelrnda 6011 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k )  e.  S
)
145 simplr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  S  C_  X
)
146124, 140, 141, 142, 144, 145lmcls 20098 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
147146ex 434 . . 3  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  (
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
148147exlimdv 1747 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
149138, 148impbid 192 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   U.cuni 4193   class class class wbr 4397    _I cid 4735   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   1c1 9525    + caddc 9527   NNcn 10578   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   Topctop 19688  TopOnctopon 19689   clsccl 19813   ~~> tclm 20022   1stcc1stc 20232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-top 19693  df-topon 19696  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-lm 20025  df-1stc 20234
This theorem is referenced by:  1stccnp  20257  hausmapdom  20295  1stckgen  20349  metelcls  22037
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