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Theorem 1stcelcls 20088
Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 8832. A space satisfying the conclusion of this theorem is called a sequential space, so the theorem can also be stated as "every first-countable space is a sequential space". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcelcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
1stcelcls  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    P, f    S, f    f, X

Proof of Theorem 1stcelcls
Dummy variables  g 
j  k  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  1stc )
2 1stctop 20070 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
3 1stcelcls.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
43clsss3 19687 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
52, 4sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  X )
65sselda 3499 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  X )
731stcfb 20072 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  P  e.  X )  ->  E. g
( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  x
) ) )
81, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. g
( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  x
) ) )
9 simpr1 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  g : NN --> J )
109ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
g `  n )  e.  J )
113elcls2 19702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) )
122, 11sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
1312simplbda 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
15 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
) )
16 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( g `
 k )  /\  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )  ->  P  e.  ( g `  k ) )
1716ralimi 2850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  ->  A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k ) )
19 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
g `  k )  =  ( g `  n ) )
2019eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( P  e.  ( g `  k )  <->  P  e.  ( g `  n
) ) )
2120rspccva 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  ( g `  n
) )
2218, 21sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  ( g `  n
) )
23 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  ( g `  n
) ) )
24 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
y  i^i  S )  =  ( ( g `
 n )  i^i 
S ) )
2524neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
( y  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( (
g `  n )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2623, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( g `  n
)  ->  ( (
g `  n )  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2726rspcv 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  n )  e.  J  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( P  e.  ( g `  n )  ->  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) )
2810, 14, 22, 27syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/) )
29 elin 3683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  <->  ( x  e.  ( g `  n
)  /\  x  e.  S ) )
30 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( g `
 n )  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n ) ) )
3129, 30bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n
) ) )
3231exbii 1668 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  x  e.  ( ( g `  n
)  i^i  S )  <->  E. x ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n
) ) )
33 n0 3803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( g `  n )  i^i  S
) )
34 df-rex 2813 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n )  <->  E. x
( x  e.  S  /\  x  e.  (
g `  n )
) )
3532, 33, 343bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n ) )
3628, 35sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n
) )
372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
383topopn 19542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  X  e.  J )
40 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  X
)
4139, 40ssexd 4603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  _V )
42 fvi 5930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4544rexeqdv 3061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  (  _I  `  S ) x  e.  ( g `  n )  <->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n
) ) )
4636, 45mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n ) )
4746ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. n  e.  NN  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n ) )
48 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  (  _I 
`  S )  e. 
_V
49 nnenom 12093 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
50 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  ( g `
 n )  <->  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5148, 49, 50axcc4 8836 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n )  ->  E. f ( f : NN --> (  _I 
`  S )  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )
5247, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  E. f
( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5343feq3d 5725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( f : NN --> (  _I  `  S )  <->  f : NN
--> S ) )
5453biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( f : NN --> (  _I  `  S )  ->  f : NN --> S ) )
5554adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
f : NN --> (  _I 
`  S )  -> 
f : NN --> S ) )
566ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  P  e.  X )
57 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
)
58 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
59 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
g `  k )  =  ( g `  j ) )
6059sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( g `  k
)  C_  x  <->  ( g `  j )  C_  x
) )
6160cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. k  e.  NN  (
g `  k )  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  x )
62 sseq2 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  j
)  C_  x  <->  ( g `  j )  C_  y
) )
6362rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6461, 63syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6558, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )  <->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  y )
) )
6665rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )  /\  y  e.  J
)  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6757, 66sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  y )
)
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ( g `
 k )  /\  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )  -> 
( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
6968ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
7015, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
72 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  j  e.  NN )
73 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  j  ->  (
g `  n )  =  ( g `  j ) )
7473sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  j  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  j )  C_  (
g `  j )
) )
7574imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  j )  C_  ( g `  j
) ) ) )
76 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7776sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  m )  C_  (
g `  j )
) )
7877imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) ) )
79 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
g `  n )  =  ( g `  ( m  +  1
) ) )
8079sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  j )
) )
8180imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
82 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g `
 j )  C_  ( g `  j
)
8382a1ii 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  j )  C_  (
g `  j )
) )
84 eluznn 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
85 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  m  ->  (
k  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
8685fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  m  ->  (
g `  ( k  +  1 ) )  =  ( g `  ( m  +  1
) ) )
87 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  m  ->  (
g `  k )  =  ( g `  m ) )
8886, 87sseq12d 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  m  ->  (
( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  <->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  m )
) )
8988rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  m  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  m ) )
9084, 89sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  (
j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  C_  (
g `  m )
)
9190anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  C_  (
g `  m )
)
92 sstr2 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  m )  ->  (
( g `  m
)  C_  ( g `  j )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( g `
 m )  C_  ( g `  j
)  ->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  j )
) )
9493expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( g `  m
)  C_  ( g `  j )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
9594a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  m )  C_  (
g `  j )
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
9675, 78, 81, 78, 83, 95uzind4 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) )
9796com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) )
9897ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( g `  m
)  C_  ( g `  j ) )
9971, 72, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( g `  m ) 
C_  ( g `  j ) )
10072, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
101 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n ) )
102101ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n ) )
103 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
104103, 76eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( f `  n
)  e.  ( g `
 n )  <->  ( f `  m )  e.  ( g `  m ) ) )
105104rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n )  -> 
( f `  m
)  e.  ( g `
 m ) ) )
106100, 102, 105sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( f `  m )  e.  ( g `  m ) )
107106ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  m ) )
108 r19.26 2984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( g `  m ) 
C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  <->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( g `
 m )  C_  ( g `  j
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  ( g `
 m ) ) )
10999, 107, 108sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( g `  m
)  C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) ) )
110 ssel2 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  ->  (
f `  m )  e.  ( g `  j
) )
111110ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( g `  m ) 
C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  ( g `
 j ) )
112109, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  j ) )
113 ssel 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g `  j ) 
C_  y  ->  (
( f `  m
)  e.  ( g `
 j )  -> 
( f `  m
)  e.  y ) )
114113ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  j ) 
C_  y  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  j )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  y ) )
115112, 114syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  ( ( g `
 j )  C_  y  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  y ) )
116115anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( g `  j
)  C_  y  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
117116anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( g `
 j )  C_  y  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  y ) )
118117reximdva 2932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
11967, 118syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
120119ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
12137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  J  e.  Top )
1223toptopon 19561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
123121, 122sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
124 nnuz 11141 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
125 1zzd 10916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
1  e.  ZZ )
126 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f : NN --> S )
12740ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  S  C_  X )
128126, 127fssd 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f : NN --> X )
129 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m
)  =  ( f `
 m ) )
130123, 124, 125, 128, 129lmbrf 19888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
( f ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  y ) ) ) )
13156, 120, 130mpbir2and 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f ( ~~> t `  J ) P )
132131expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  f : NN --> S )  -> 
( A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n )  ->  f ( ~~> t `  J ) P ) )
133132imdistanda 693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  ->  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
13455, 133syland 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  ->  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
135134eximdv 1711 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  ( E. f ( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
13652, 135mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
1378, 136exlimddv 1727 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
138137ex 434 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
1392ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  J  e.  Top )
140139, 122sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
141 1zzd 10916 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  1  e.  ZZ )
142 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f ( ~~> t `  J ) P )
143 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f : NN
--> S )
144143ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k )  e.  S
)
145 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  S  C_  X
)
146124, 140, 141, 142, 144, 145lmcls 19930 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
147146ex 434 . . 3  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  (
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
148147exlimdv 1725 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
149138, 148impbid 191 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    _I cid 4799   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510    + caddc 9512   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   clsccl 19646   ~~> tclm 19854   1stcc1stc 20064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-top 19526  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-lm 19857  df-1stc 20066
This theorem is referenced by:  1stccnp  20089  hausmapdom  20127  1stckgen  20181  metelcls  21869
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