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Theorem 1stcelcls 19744
Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 8814. A space satisfying the conclusion of this theorem is called a sequential space, so the theorem can also be stated as "every first-countable space is a sequential space". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcelcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
1stcelcls  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    P, f    S, f    f, X

Proof of Theorem 1stcelcls
Dummy variables  g 
j  k  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  1stc )
2 1stctop 19726 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
3 1stcelcls.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
43clsss3 19342 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
52, 4sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  X )
65sselda 3504 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  P  e.  X )
731stcfb 19728 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  P  e.  X )  ->  E. g
( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  x
) ) )
81, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. g
( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  x
) ) )
9 simpr1 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  g : NN --> J )
109ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
g `  n )  e.  J )
113elcls2 19357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  -> 
( y  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) ) )
122, 11sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) ) ) )
1312simplbda 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S )  =/=  (/) ) )
15 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k
)  /\  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
) )
16 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( g `
 k )  /\  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )  ->  P  e.  ( g `  k ) )
1716ralimi 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  ->  A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k ) )
19 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
g `  k )  =  ( g `  n ) )
2019eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( P  e.  ( g `  k )  <->  P  e.  ( g `  n
) ) )
2120rspccva 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  NN  P  e.  ( g `  k )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  ( g `  n
) )
2218, 21sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  P  e.  ( g `  n
) )
23 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  ( g `  n
) ) )
24 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
y  i^i  S )  =  ( ( g `
 n )  i^i 
S ) )
2524neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
( y  i^i  S
)  =/=  (/)  <->  ( (
g `  n )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
2623, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( g `  n )  ->  (
( P  e.  y  ->  ( y  i^i 
S )  =/=  (/) )  <->  ( P  e.  ( g `  n
)  ->  ( (
g `  n )  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
2726rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  n )  e.  J  ->  ( A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  ( y  i^i  S
)  =/=  (/) )  -> 
( P  e.  ( g `  n )  ->  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) )
2810, 14, 22, 27syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/) )
29 elin 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  <->  ( x  e.  ( g `  n
)  /\  x  e.  S ) )
30 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( g `
 n )  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n ) ) )
3129, 30bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( g `
 n )  i^i 
S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n
) ) )
3231exbii 1644 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  x  e.  ( ( g `  n
)  i^i  S )  <->  E. x ( x  e.  S  /\  x  e.  ( g `  n
) ) )
33 n0 3794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( g `  n )  i^i  S
) )
34 df-rex 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n )  <->  E. x
( x  e.  S  /\  x  e.  (
g `  n )
) )
3532, 33, 343bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g `  n
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n ) )
3628, 35sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n
) )
372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
383topopn 19198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  X  e.  J )
40 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  X
)
4139, 40ssexd 4594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  _V )
42 fvi 5923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  (  _I  `  S )  =  S )
4544rexeqdv 3065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  (  _I  `  S ) x  e.  ( g `  n )  <->  E. x  e.  S  x  e.  ( g `  n
) ) )
4636, 45mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n ) )
4746ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. n  e.  NN  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n ) )
48 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  (  _I 
`  S )  e. 
_V
49 nnenom 12057 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
50 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  ( g `
 n )  <->  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
5148, 49, 50axcc4 8818 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  E. x  e.  (  _I  `  S
) x  e.  ( g `  n )  ->  E. f ( f : NN --> (  _I 
`  S )  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )
5247, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  E. f
( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) ) )
53 feq3 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  `  S )  =  S  ->  (
f : NN --> (  _I 
`  S )  <->  f : NN
--> S ) )
5443, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( f : NN --> (  _I  `  S )  <->  f : NN
--> S ) )
5554biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( f : NN --> (  _I  `  S )  ->  f : NN --> S ) )
5655adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
f : NN --> (  _I 
`  S )  -> 
f : NN --> S ) )
576ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  P  e.  X )
58 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
)
59 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
60 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
g `  k )  =  ( g `  j ) )
6160sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( g `  k
)  C_  x  <->  ( g `  j )  C_  x
) )
6261cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. k  e.  NN  (
g `  k )  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  x )
63 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  j
)  C_  x  <->  ( g `  j )  C_  y
) )
6463rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6562, 64syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x  <->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6659, 65imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )  <->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  y )
) )
6766rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )  /\  y  e.  J
)  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y
) )
6858, 67sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  ( g `  j
)  C_  y )
)
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ( g `
 k )  /\  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )  -> 
( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
7069ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
7115, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )
)
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k ) )
73 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  j  e.  NN )
74 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  j  ->  (
g `  n )  =  ( g `  j ) )
7574sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  j  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  j )  C_  (
g `  j )
) )
7675imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  j )  C_  ( g `  j
) ) ) )
77 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7877sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  m )  C_  (
g `  j )
) )
7978imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) ) )
80 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
g `  n )  =  ( g `  ( m  +  1
) ) )
8180sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( g `  n
)  C_  ( g `  j )  <->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  j )
) )
8281imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  n )  C_  (
g `  j )
)  <->  ( ( A. k  e.  NN  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
83 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g `
 j )  C_  ( g `  j
)
8483a1ii 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  j )  C_  (
g `  j )
) )
85 eluznn 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
86 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  =  m  ->  (
k  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
8786fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  m  ->  (
g `  ( k  +  1 ) )  =  ( g `  ( m  +  1
) ) )
88 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  m  ->  (
g `  k )  =  ( g `  m ) )
8987, 88sseq12d 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  m  ->  (
( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  <->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  m )
) )
9089rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  m  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  m ) )
9185, 90sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  (
j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  C_  (
g `  m )
)
9291anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( g `  ( m  +  1
) )  C_  (
g `  m )
)
93 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  m )  ->  (
( g `  m
)  C_  ( g `  j )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( ( g `
 m )  C_  ( g `  j
)  ->  ( g `  ( m  +  1 ) )  C_  (
g `  j )
) )
9594expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( g `  m
)  C_  ( g `  j )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
9695a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
( A. k  e.  NN  ( g `  ( k  +  1 ) )  C_  (
g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  ( g `  m )  C_  (
g `  j )
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( g `  j ) ) ) )
9776, 79, 82, 79, 84, 96uzind4 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) )
9897com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  (
m  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  (
g `  m )  C_  ( g `  j
) ) )
9998ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( g `  (
k  +  1 ) )  C_  ( g `  k )  /\  j  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( g `  m
)  C_  ( g `  j ) )
10072, 73, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( g `  m ) 
C_  ( g `  j ) )
10173, 85sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
102 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n ) )
103102ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n ) )
104 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
105104, 77eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( f `  n
)  e.  ( g `
 n )  <->  ( f `  m )  e.  ( g `  m ) ) )
106105rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  ( g `
 n )  -> 
( f `  m
)  e.  ( g `
 m ) ) )
107101, 103, 106sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( f `  m )  e.  ( g `  m ) )
108107ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  m ) )
109 r19.26 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( g `  m ) 
C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  <->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( g `
 m )  C_  ( g `  j
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  ( g `
 m ) ) )
110100, 108, 109sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( g `  m
)  C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) ) )
111 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  ->  (
f `  m )  e.  ( g `  j
) )
112111ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( g `  m ) 
C_  ( g `  j )  /\  (
f `  m )  e.  ( g `  m
) )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  ( g `
 j ) )
113110, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  j ) )
114 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g `  j ) 
C_  y  ->  (
( f `  m
)  e.  ( g `
 j )  -> 
( f `  m
)  e.  y ) )
115114ralimdv 2874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  j ) 
C_  y  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( f `  m )  e.  ( g `  j )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  y ) )
116113, 115syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) ) )  ->  ( ( g `
 j )  C_  y  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  y ) )
117116anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  ( y  e.  J  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( g `  j
)  C_  y  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
118117anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( g `
 j )  C_  y  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( f `  m )  e.  y ) )
119118reximdva 2938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. j  e.  NN  ( g `  j )  C_  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
12068, 119syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
121120ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( f `
 m )  e.  y ) )
12237ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  J  e.  Top )
1233toptopon 19217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
124122, 123sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
125 nnuz 11116 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
126 1zzd 10894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
1  e.  ZZ )
127 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f : NN --> S )
12840ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  ->  S  C_  X )
129 fss 5738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> S  /\  S  C_  X )  -> 
f : NN --> X )
130127, 128, 129syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f : NN --> X )
131 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m
)  =  ( f `
 m ) )
132124, 125, 126, 130, 131lmbrf 19543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
( f ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( P  e.  y  ->  E. j  e.  NN  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( f `  m
)  e.  y ) ) ) )
13357, 121, 132mpbir2and 920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  (
f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) ) )  -> 
f ( ~~> t `  J ) P )
134133expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  /\  f : NN --> S )  -> 
( A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n )  ->  f ( ~~> t `  J ) P ) )
135134imdistanda 693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
( f : NN --> S  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  ->  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
13656, 135syland 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  (
( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  ( g `  n ) )  ->  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
137136eximdv 1686 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  ( E. f ( f : NN --> (  _I  `  S )  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  e.  ( g `  n
) )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
13852, 137mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  /\  ( g : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( P  e.  ( g `  k )  /\  (
g `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( g `  k ) )  /\  A. x  e.  J  ( P  e.  x  ->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  x )
) )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
1398, 138exlimddv 1702 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  P  e.  (
( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
140139ex 434 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  ->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
1412ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  J  e.  Top )
142141, 123sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
143 1zzd 10894 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  1  e.  ZZ )
144 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f ( ~~> t `  J ) P )
145 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f : NN
--> S )
146145ffvelrnda 6020 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  S  C_  X
)  /\  ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k )  e.  S
)
147 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  S  C_  X
)
148125, 142, 143, 144, 146, 147lmcls 19585 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  /\  ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
149148ex 434 . . 3  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  (
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
150149exlimdv 1700 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
151140, 150impbid 191 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    _I cid 4790   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   1c1 9492    + caddc 9494   NNcn 10535   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   Topctop 19177  TopOnctopon 19178   clsccl 19301   ~~> tclm 19509   1stcc1stc 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cc 8814  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-top 19182  df-topon 19185  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-lm 19512  df-1stc 19722
This theorem is referenced by:  1stccnp  19745  hausmapdom  19783  1stckgen  19806  metelcls  21494
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