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Theorem 1stcelcls 20256
 Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 8849. A space satisfying the conclusion of this theorem is called a sequential space, so the theorem can also be stated as "every first-countable space is a sequential space". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcelcls.1
Assertion
Ref Expression
1stcelcls
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem 1stcelcls
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 754 . . . . 5
2 1stctop 20238 . . . . . . 7
3 1stcelcls.1 . . . . . . . 8
43clsss3 19854 . . . . . . 7
52, 4sylan 471 . . . . . 6
65sselda 3444 . . . . 5
731stcfb 20240 . . . . 5
81, 6, 7syl2anc 661 . . . 4
9 simpr1 1005 . . . . . . . . . . 11
109ffvelrnda 6011 . . . . . . . . . 10
113elcls2 19870 . . . . . . . . . . . . 13
122, 11sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
1312simplbda 624 . . . . . . . . . . 11
1413ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10
15 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . 12
16 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
1716ralimi 2799 . . . . . . . . . . . 12
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11
19 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . 13
2019eleq2d 2474 . . . . . . . . . . . 12
2120rspccva 3161 . . . . . . . . . . 11
2218, 21sylan 471 . . . . . . . . . 10
23 eleq2 2477 . . . . . . . . . . . 12
24 ineq1 3636 . . . . . . . . . . . . 13
2524neeq1d 2682 . . . . . . . . . . . 12
2623, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
2726rspcv 3158 . . . . . . . . . 10
2810, 14, 22, 27syl3c 62 . . . . . . . . 9
29 elin 3628 . . . . . . . . . . . 12
30 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12
3129, 30bitri 251 . . . . . . . . . . 11
3231exbii 1690 . . . . . . . . . 10
33 n0 3750 . . . . . . . . . 10
34 df-rex 2762 . . . . . . . . . 10
3532, 33, 343bitr4i 279 . . . . . . . . 9
3628, 35sylib 198 . . . . . . . 8
372ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13
383topopn 19709 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12
40 simplr 756 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40ssexd 4543 . . . . . . . . . . 11
42 fvi 5908 . . . . . . . . . . 11
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . 9
4544rexeqdv 3013 . . . . . . . 8
4636, 45mpbird 234 . . . . . . 7
4746ralrimiva 2820 . . . . . 6
48 fvex 5861 . . . . . . 7
49 nnenom 12133 . . . . . . 7
50 eleq1 2476 . . . . . . 7
5148, 49, 50axcc4 8853 . . . . . 6
5247, 51syl 17 . . . . 5
5343feq3d 5704 . . . . . . . . 9
5453biimpd 209 . . . . . . . 8
5554adantr 465 . . . . . . 7
566ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10
57 simplr3 1043 . . . . . . . . . . . . 13
58 eleq2 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160cbvrexv 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 sseq2 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6362rexbidv 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6461, 63syl5bb 259 . . . . . . . . . . . . . . 15
6558, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14
6665rspccva 3161 . . . . . . . . . . . . 13
6757, 66sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6968ralimi 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7015, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72 simprrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7473sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7574imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
76 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7776sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7877imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
79 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8079sseq1d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8180imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
82 ssid 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
83822a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
84 eluznn 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
85 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8685fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
87 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8886, 87sseq12d 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8988rspccva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9084, 89sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9190anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
92 sstr2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9493expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9594a2d 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9675, 78, 81, 78, 83, 95uzind4 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9796com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9897ralrimiv 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9971, 72, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10072, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102101ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104103, 76eleq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105104rspcv 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106100, 102, 105sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107106ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 r19.26 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10999, 107, 108sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110 ssel2 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110ralimi 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112109, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 ssel 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113ralimdv 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115112, 114syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14
117116anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13
118117reximdva 2881 . . . . . . . . . . . 12
11967, 118syld 44 . . . . . . . . . . 11
120119ralrimiva 2820 . . . . . . . . . 10
12137ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12
1223toptopon 19728 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
123121, 122sylib 198 . . . . . . . . . . 11 TopOn
124 nnuz 11164 . . . . . . . . . . 11
125 1zzd 10938 . . . . . . . . . . 11
126 simprl 758 . . . . . . . . . . . 12
12740ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12
128126, 127fssd 5725 . . . . . . . . . . 11
129 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11
130123, 124, 125, 128, 129lmbrf 20056 . . . . . . . . . 10
13156, 120, 130mpbir2and 925 . . . . . . . . 9
132131expr 615 . . . . . . . 8
133132imdistanda 693 . . . . . . 7
13455, 133syland 481 . . . . . 6
135134eximdv 1733 . . . . 5
13652, 135mpd 15 . . . 4
1378, 136exlimddv 1749 . . 3
138137ex 434 . 2
1392ad2antrr 726 . . . . . 6
140139, 122sylib 198 . . . . 5 TopOn
141 1zzd 10938 . . . . 5
142 simprr 760 . . . . 5
143 simprl 758 . . . . . 6
144143ffvelrnda 6011 . . . . 5
145 simplr 756 . . . . 5
146124, 140, 141, 142, 144, 145lmcls 20098 . . . 4
147146ex 434 . . 3
148147exlimdv 1747 . 2
149138, 148impbid 192 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   w3a 976   wceq 1407  wex 1635   wcel 1844   wne 2600  wral 2756  wrex 2757  cvv 3061   cin 3415   wss 3416  c0 3740  cuni 4193   class class class wbr 4397   cid 4735  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280  c1 9525   caddc 9527  cn 10578  cz 10907  cuz 11129  ctop 19688  TopOnctopon 19689  ccl 19813  clm 20022  c1stc 20232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-top 19693  df-topon 19696  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-lm 20025  df-1stc 20234 This theorem is referenced by:  1stccnp  20257  hausmapdom  20295  1stckgen  20349  metelcls  22037
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