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Theorem 1stccnp 17478
Description: A mapping is continuous at  P in a first-countable space  X iff it is sequentially continuous at  P, meaning that the image under  F of every sequence converging at  P converges to  F ( P ). This proof uses ax-cc 8271, but only via 1stcelcls 17477, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
1stccnp.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stccnp.3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1stccnp.4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
1stccnp  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, J    ph, f    f, K   
f, X    f, Y    P, f

Proof of Theorem 1stccnp
Dummy variables  j 
k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 1stccnp.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
31, 2jca 519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
) )
4 cnpf2 17268 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
543expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
63, 5sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
7 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f ( ~~> t `  J ) P )
8 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
97, 8lmcnp 17322 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )
109ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( (
f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )
1110alrimiv 1638 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )
126, 11jca 519 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )
13 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  F : X --> Y )
14 fal 1328 . . . . . . . . 9  |-  -.  F.
15 19.29 1603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  E. f ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  E. f
( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
16 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) ) )
17 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X 
\  ( `' F " u ) )  C_  X
18 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  X )  ->  f : NN --> X )
1916, 17, 18sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f : NN --> X )
20 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f ( ~~> t `  J ) P )
2119, 20jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
22 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  u
)
24 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )
27 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  u  e.  K )
2822, 23, 25, 26, 27lmcvg 17280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u )
2922r19.2uz 12110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F  o.  f ) `
 k )  e.  u  ->  E. k  e.  NN  ( ( F  o.  f ) `  k )  e.  u
)
30 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  f : NN
--> ( X  \  ( `' F " u ) ) )
31 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  -> 
f  Fn  NN )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  f  Fn  NN )
33 fvco2 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( F `
 ( f `  k ) ) )
3432, 33sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o.  f
) `  k )  =  ( F `  ( f `  k
) ) )
3534eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  <->  ( F `  ( f `  k
) )  e.  u
) )
3630ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  ( X  \  ( `' F " u ) ) )
3736eldifad 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  X )
38 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  F : X
--> Y )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : X --> Y )
40 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
41 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  Fn  X  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  <-> 
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u ) ) )
4239, 40, 413syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  <-> 
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u ) ) )
4336eldifbd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( f `  k
)  e.  ( `' F " u ) )
4443pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  ->  F.  ) )
4542, 44sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u )  ->  F.  ) )
4637, 45mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  (
f `  k )
)  e.  u  ->  F.  ) )
4735, 46sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  ->  F.  ) )
4847rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( E. k  e.  NN  (
( F  o.  f
) `  k )  e.  u  ->  F.  )
)
4929, 48syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  ->  F.  ) )
5028, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  F.  )
5150expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P )  ->  F.  ) )
5221, 51embantd 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  F.  ) )
5352ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  F.  ) )
)
5453com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
)
5554imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
5655exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( E. f ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
5715, 56syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  E. f ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
5857exp4b 591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  ( A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) ) ) )
5958com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( ( u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u )  ->  ( E. f ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
) )
6059impr 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  (
( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) ) )
6160imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
6214, 61mtoi 171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
63 1stccnp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
6463ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  1stc )
651ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
66 toponuni 16947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  X  =  U. J )
6817, 67syl5sseq 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( X  \ 
( `' F "
u ) )  C_  U. J )
69 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
70691stcelcls 17477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  <->  E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
7164, 68, 70syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
7262, 71mtbird 293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) ) )
73 topontop 16946 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
7465, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  Top )
75 1stccnp.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
7675ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  P  e.  X
)
7776, 67eleqtrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  P  e.  U. J )
7869elcls 17092 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  U. J  /\  P  e.  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
7974, 68, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
8072, 79mtbid 292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) )
8113ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  F : X
--> Y )
82 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  Fun  F )
84 toponss 16949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  v  e.  J )  ->  v  C_  X )
8565, 84sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  v  C_  X )
86 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
8781, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  dom  F  =  X )
8885, 87sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  v  C_  dom  F )
89 funimass3 5805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  v  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
v )  C_  u  <->  v 
C_  ( `' F " u ) ) )
9083, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  v  C_  ( `' F " u ) ) )
91 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  X  <->  ( v  i^i  X )  =  v )
9285, 91sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( v  i^i  X )  =  v )
9392sseq1d 3335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
v  i^i  X )  C_  ( `' F "
u )  <->  v  C_  ( `' F " u ) ) )
9490, 93bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  ( v  i^i  X
)  C_  ( `' F " u ) ) )
95 nne 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/)  <->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =  (/) )
96 inssdif0 3655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  i^i  X ) 
C_  ( `' F " u )  <->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =  (/) )
9795, 96bitr4i 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/)  <->  ( v  i^i 
X )  C_  ( `' F " u ) )
9894, 97syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) )
9998anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  u )  <->  ( P  e.  v  /\  -.  (
v  i^i  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
10099rexbidva 2683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u )  <->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  -.  (
v  i^i  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
101 rexanali 2712 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) )  <->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) )
102100, 101syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u )  <->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
10380, 102mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
104103expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  u  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
105104ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  A. u  e.  K  ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
106 iscnp 17255 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
1071, 2, 75, 106syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
108107adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  (
( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
10913, 105, 108mpbir2and 889 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
11012, 109impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    F. wfal 1323   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   clsccl 17037    CnP ccnp 17243   ~~> tclm 17244   1stcc1stc 17453
This theorem is referenced by:  1stccn  17479  metcnp4  19215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-top 16918  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-1stc 17455
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