Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stccn Structured version   Unicode version

Theorem 1stccn 20409
 Description: A mapping , where is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence converging to , its image under converges to . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1
1stccnp.2 TopOn
1stccnp.3 TopOn
1stccn.7
Assertion
Ref Expression
1stccn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . 4 TopOn
2 1stccnp.3 . . . 4 TopOn
3 cncnp 20227 . . . 4 TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 665 . . 3
5 1stccn.7 . . . 4
65biantrurd 510 . . 3
74, 6bitr4d 259 . 2
8 1stccnp.1 . . . . . 6
98adantr 466 . . . . 5
101adantr 466 . . . . 5 TopOn
112adantr 466 . . . . 5 TopOn
12 simpr 462 . . . . 5
139, 10, 11, 121stccnp 20408 . . . 4
145adantr 466 . . . . 5
1514biantrurd 510 . . . 4
1613, 15bitr4d 259 . . 3
1716ralbidva 2868 . 2
18 ralcom4 3106 . . 3
19 impexp 447 . . . . . . 7
2019ralbii 2863 . . . . . 6
21 r19.21v 2837 . . . . . 6
2220, 21bitri 252 . . . . 5
23 df-ral 2787 . . . . . . 7
24 lmcl 20244 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
251, 24sylan 473 . . . . . . . . . . . 12
2625ex 435 . . . . . . . . . . 11
2726pm4.71rd 639 . . . . . . . . . 10
2827imbi1d 318 . . . . . . . . 9
29 impexp 447 . . . . . . . . 9
3028, 29syl6rbb 265 . . . . . . . 8
3130albidv 1760 . . . . . . 7
3223, 31syl5bb 260 . . . . . 6
3332imbi2d 317 . . . . 5
3422, 33syl5bb 260 . . . 4
3534albidv 1760 . . 3
3618, 35syl5bb 260 . 2
377, 17, 363bitrd 282 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370  wal 1435   wcel 1870  wral 2782   class class class wbr 4426   ccom 4858  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cn 10609  TopOnctopon 19849   ccn 20171   ccnp 20172  clm 20173  c1stc 20383 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-topgen 15301  df-top 19852  df-topon 19854  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-1stc 20385 This theorem is referenced by:  metcn4  22173
 Copyright terms: Public domain W3C validator