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Theorem 1stccn 19770
Description: A mapping  X --> Y, where  X is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence  f (
n ) converging to  x, its image under  F converges to  F ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
1stccnp.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stccnp.3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1stccn.7  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
Assertion
Ref Expression
1stccn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, J, x    ph, f, x    f, K, x    f, X, x    f, Y, x

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 1stccnp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cncnp 19587 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) ) )
5 1stccn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
65biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
74, 6bitr4d 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
8 1stccnp.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  1stc )
101adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
112adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
12 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
139, 10, 11, 121stccnp 19769 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
145adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> Y )
1514biantrurd 508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
1613, 15bitr4d 256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
1716ralbidva 2900 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
18 ralcom4 3132 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f A. x  e.  X  ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )
19 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
2019ralbii 2895 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  X  ( f : NN --> X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
21 r19.21v 2869 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
f : NN --> X  -> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )  <->  ( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
2220, 21bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
23 df-ral 2819 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x ( x  e.  X  ->  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
24 lmcl 19604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  X )
251, 24sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  X )
2625ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  x  e.  X )
)
2726pm4.71rd 635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  <->  ( x  e.  X  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
2827imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
29 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3028, 29syl6rbb 262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  ->  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) )  <-> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3130albidv 1689 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x ( x  e.  X  -> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )  <->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
3223, 31syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3332imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) ) )
3422, 33syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) ) )
3534albidv 1689 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. f A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
3618, 35syl5bb 257 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
377, 17, 363bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   NNcn 10537  TopOnctopon 19202    Cn ccn 19531    CnP ccnp 19532   ~~> tclm 19533   1stcc1stc 19744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-topgen 14702  df-top 19206  df-topon 19209  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-lm 19536  df-1stc 19746
This theorem is referenced by:  metcn4  21576
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