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Theorem 1stccn 19202
Description: A mapping  X --> Y, where  X is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence  f (
n ) converging to  x, its image under  F converges to  F ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
1stccnp.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stccnp.3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1stccn.7  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
Assertion
Ref Expression
1stccn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, J, x    ph, f, x    f, K, x    f, X, x    f, Y, x

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 1stccnp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cncnp 19019 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) ) )
5 1stccn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
65biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
74, 6bitr4d 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
8 1stccnp.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  1stc )
101adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
112adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
12 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
139, 10, 11, 121stccnp 19201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
145adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> Y )
1514biantrurd 508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
1613, 15bitr4d 256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
1716ralbidva 2844 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
18 ralcom4 3097 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f A. x  e.  X  ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )
19 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
2019ralbii 2839 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  X  ( f : NN --> X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
21 r19.21v 2909 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
f : NN --> X  -> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )  <->  ( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
2220, 21bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
23 df-ral 2804 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x ( x  e.  X  ->  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
24 lmcl 19036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  X )
251, 24sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  X )
2625ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  x  e.  X )
)
2726pm4.71rd 635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  <->  ( x  e.  X  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
2827imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
29 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3028, 29syl6rbb 262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  ->  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) )  <-> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3130albidv 1680 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x ( x  e.  X  -> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )  <->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
3223, 31syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3332imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) ) )
3422, 33syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) ) )
3534albidv 1680 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. f A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
3618, 35syl5bb 257 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
377, 17, 363bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    e. wcel 1758   A.wral 2799   class class class wbr 4403    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   NNcn 10436  TopOnctopon 18634    Cn ccn 18963    CnP ccnp 18964   ~~> tclm 18965   1stcc1stc 19176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cc 8718  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-topgen 14504  df-top 18638  df-topon 18641  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-1stc 19178
This theorem is referenced by:  metcn4  20956
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