Theorem 1stcclb 15471

Description: A property of points in a first-countable topology.

Hypothesis

Ref	Expression
1stcclb.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
1stcclb	|- ((J e. 1stc /\ A e. X) -> E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (A e. y -> E.z e. x (A e. z /\ z C_ y))))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,J,y

Proof of Theorem 1stcclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stctop 15470	. . 3 |- (J e. 1stc -> J e. Top)
2		1stcclb.1	. . . . 5 |- X = U.J
3	2	is1stc3 15469	. . . 4 |- (J e. Top -> (J e. 1stc <-> A.w e. X E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (w e. y -> E.z e. x (w e. z /\ z C_ y)))))
4	3	biimpcd 172	. . 3 |- (J e. 1stc -> (J e. Top -> A.w e. X E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (w e. y -> E.z e. x (w e. z /\ z C_ y)))))
5	1, 4	mpd 29	. 2 |- (J e. 1stc -> A.w e. X E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (w e. y -> E.z e. x (w e. z /\ z C_ y))))
6		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (w = A -> (w e. y <-> A e. y))
7		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (w = A -> (w e. z <-> A e. z))
8	7	anbi1d 679	. . . . . . . 8 |- (w = A -> ((w e. z /\ z C_ y) <-> (A e. z /\ z C_ y)))
9	8	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (w = A -> (E.z e. x (w e. z /\ z C_ y) <-> E.z e. x (A e. z /\ z C_ y)))
10	6, 9	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (w = A -> ((w e. y -> E.z e. x (w e. z /\ z C_ y)) <-> (A e. y -> E.z e. x (A e. z /\ z C_ y))))
11	10	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (w = A -> (A.y e. J (w e. y -> E.z e. x (w e. z /\ z C_ y)) <-> A.y e. J (A e. y -> E.z e. x (A e. z /\ z C_ y))))
12	11	anbi2d 678	. . . 4 |- (w = A -> ((x ~<_ om /\ A.y e. J (w e. y -> E.z e. x (w e. z /\ z C_ y))) <-> (x ~<_ om /\ A.y e. J (A e. y -> E.z e. x (A e. z /\ z C_ y)))))
13	12	rexbidv 2124	. . 3 |- (w = A -> (E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (w e. y -> E.z e. x (w e. z /\ z C_ y))) <-> E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (A e. y -> E.z e. x (A e. z /\ z C_ y)))))
14	13	rcla4v 2376	. 2 |- (A e. X -> (A.w e. X E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (w e. y -> E.z e. x (w e. z /\ z C_ y))) -> E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (A e. y -> E.z e. x (A e. z /\ z C_ y)))))
15	5, 14	mpan9 521	1 |- ((J e. 1stc /\ A e. X) -> E.x e. ~P J(x ~<_ om /\ A.y e. J (A e. y -> E.z e. x (A e. z /\ z C_ y))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  omcom 3949   ~<_ cdom 5424  Topctop 8857  1stcc1stc 15455

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035  df-uni 3178  df-1stc 15461

Copyright terms: Public domain