MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Structured version   Unicode version

Theorem 1st2nd2 6608
Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 6603 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  /\  (
( 1st `  A
)  e.  B  /\  ( 2nd `  A )  e.  C ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3878    X. cxp 4833   ` cfv 5413   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-1st 6572  df-2nd 6573
This theorem is referenced by:  1st2ndb  6609  xpopth  6610  eqop  6611  2nd1st  6614  1st2nd  6615  opiota  6628  disjen  7460  xpmapenlem  7470  mapunen  7472  r0weon  8171  enqbreq2  9081  nqereu  9090  lterpq  9131  elreal2  9291  cnref1o  10978  ruclem6  13509  ruclem8  13511  ruclem9  13512  ruclem12  13515  eucalgval  13749  eucalginv  13751  eucalglt  13752  eucalg  13754  qnumdenbi  13814  isstruct2  14175  xpsff1o  14498  comfffval2  14632  comfeq  14637  idfucl  14783  funcpropd  14802  coapm  14931  xpccatid  14990  1stfcl  14999  2ndfcl  15000  1st2ndprf  15008  xpcpropd  15010  evlfcl  15024  hofcl  15061  hofpropd  15069  yonedalem3  15082  gsum2dlem2  16450  gsum2dOLD  16452  mdetunilem9  18401  tx1cn  19157  tx2cn  19158  txdis  19180  txlly  19184  txnlly  19185  txhaus  19195  txkgen  19200  txcon  19237  utop3cls  19801  ucnima  19831  fmucndlem  19841  psmetxrge0  19864  imasdsf1olem  19923  cnheiborlem  20501  caublcls  20794  bcthlem1  20810  bcthlem2  20811  bcthlem4  20813  bcthlem5  20814  ovolfcl  20925  ovolfioo  20926  ovolficc  20927  ovolficcss  20928  ovolfsval  20929  ovolicc2lem1  20975  ovolicc2lem5  20979  ovolfs2  21026  uniiccdif  21033  uniioovol  21034  uniiccvol  21035  uniioombllem2a  21037  uniioombllem2  21038  uniioombllem3a  21039  uniioombllem3  21040  uniioombllem4  21041  uniioombllem5  21042  uniioombllem6  21043  dyadmbl  21055  fsumvma  22527  ofpreima  25935  ofpreima2  25936  1stmbfm  26627  2ndmbfm  26628  sibfof  26678  oddpwdcv  26690  txsconlem  27081  mblfinlem1  28381  mblfinlem2  28382  ftc2nc  28429  heiborlem8  28670  wlkcpr  30243  bj-elid  32368  dvhgrp  34592  dvhlveclem  34593
  Copyright terms: Public domain W3C validator