MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Unicode version

Theorem 1st2nd2 6345
Description: Reconstruction of a member of a cross product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 6337 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  /\  (
( 1st `  A
)  e.  B  /\  ( 2nd `  A )  e.  C ) ) )
21simplbi 447 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   <.cop 3777    X. cxp 4835   ` cfv 5413   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307
This theorem is referenced by:  1st2ndb  6346  xpopth  6347  eqop  6348  2nd1st  6351  1st2nd  6352  opiota  6494  disjen  7223  xpmapenlem  7233  mapunen  7235  r0weon  7850  enqbreq2  8753  nqereu  8762  lterpq  8803  elreal2  8963  cnref1o  10563  ruclem6  12789  ruclem8  12791  ruclem9  12792  ruclem12  12795  eucalgval  13028  eucalginv  13030  eucalglt  13031  eucalg  13033  qnumdenbi  13091  isstruct2  13433  xpsff1o  13748  comfffval2  13882  comfeq  13887  idfucl  14033  funcpropd  14052  coapm  14181  xpccatid  14240  1stfcl  14249  2ndfcl  14250  1st2ndprf  14258  xpcpropd  14260  evlfcl  14274  hofcl  14311  hofpropd  14319  yonedalem3  14332  gsum2d  15501  tx1cn  17594  tx2cn  17595  txdis  17617  txlly  17621  txnlly  17622  txhaus  17632  txkgen  17637  txcon  17674  utop3cls  18234  ucnima  18264  fmucndlem  18274  psmetxrge0  18297  imasdsf1olem  18356  cnheiborlem  18932  caublcls  19214  bcthlem1  19230  bcthlem2  19231  bcthlem4  19233  bcthlem5  19234  ovolfcl  19316  ovolfioo  19317  ovolficc  19318  ovolficcss  19319  ovolfsval  19320  ovolicc2lem1  19366  ovolicc2lem5  19370  ovolfs2  19416  uniiccdif  19423  uniioovol  19424  uniiccvol  19425  uniioombllem2a  19427  uniioombllem2  19428  uniioombllem3a  19429  uniioombllem3  19430  uniioombllem4  19431  uniioombllem5  19432  uniioombllem6  19433  dyadmbl  19445  fsumvma  20950  ofpreima  24034  1stmbfm  24563  2ndmbfm  24564  sibfof  24607  txsconlem  24880  mblfinlem  26143  heiborlem8  26417  dvhgrp  31590  dvhlveclem  31591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-1st 6308  df-2nd 6309
  Copyright terms: Public domain W3C validator