MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Structured version   Unicode version

Theorem 1st2nd2 6602
Description: Reconstruction of a member of a Cartesian product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 6597 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  /\  (
( 1st `  A
)  e.  B  /\  ( 2nd `  A )  e.  C ) ) )
21simplbi 457 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   <.cop 3871    X. cxp 4825   ` cfv 5406   1stc1st 6564   2ndc2nd 6565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fv 5414  df-1st 6566  df-2nd 6567
This theorem is referenced by:  1st2ndb  6603  xpopth  6604  eqop  6605  2nd1st  6608  1st2nd  6609  opiota  6622  disjen  7456  xpmapenlem  7466  mapunen  7468  r0weon  8167  enqbreq2  9077  nqereu  9086  lterpq  9127  elreal2  9287  cnref1o  10974  ruclem6  13500  ruclem8  13502  ruclem9  13503  ruclem12  13506  eucalgval  13740  eucalginv  13742  eucalglt  13743  eucalg  13745  qnumdenbi  13805  isstruct2  14166  xpsff1o  14489  comfffval2  14623  comfeq  14628  idfucl  14774  funcpropd  14793  coapm  14922  xpccatid  14981  1stfcl  14990  2ndfcl  14991  1st2ndprf  14999  xpcpropd  15001  evlfcl  15015  hofcl  15052  hofpropd  15060  yonedalem3  15073  gsum2dlem2  16436  gsum2dOLD  16438  mdetunilem9  18268  tx1cn  19024  tx2cn  19025  txdis  19047  txlly  19051  txnlly  19052  txhaus  19062  txkgen  19067  txcon  19104  utop3cls  19668  ucnima  19698  fmucndlem  19708  psmetxrge0  19731  imasdsf1olem  19790  cnheiborlem  20368  caublcls  20661  bcthlem1  20677  bcthlem2  20678  bcthlem4  20680  bcthlem5  20681  ovolfcl  20792  ovolfioo  20793  ovolficc  20794  ovolficcss  20795  ovolfsval  20796  ovolicc2lem1  20842  ovolicc2lem5  20846  ovolfs2  20893  uniiccdif  20900  uniioovol  20901  uniiccvol  20902  uniioombllem2a  20904  uniioombllem2  20905  uniioombllem3a  20906  uniioombllem3  20907  uniioombllem4  20908  uniioombllem5  20909  uniioombllem6  20910  dyadmbl  20922  fsumvma  22437  ofpreima  25808  ofpreima2  25809  1stmbfm  26529  2ndmbfm  26530  sibfof  26574  oddpwdcv  26586  txsconlem  26977  mblfinlem1  28272  mblfinlem2  28273  ftc2nc  28320  heiborlem8  28561  wlkcpr  30136  bj-elid  32101  dvhgrp  34325  dvhlveclem  34326
  Copyright terms: Public domain W3C validator