MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sr Structured version   Unicode version

Theorem 1sr 9247
Description: The constant  1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1sr  |-  1R  e.  R.

Proof of Theorem 1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 9183 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 9186 . . . . 5  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 672 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 opelxpi 4870 . . . 4  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
53, 1, 4mp2an 672 . . 3  |-  <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )
6 enrex 9236 . . . 4  |-  ~R  e.  _V
76ecelqsi 7155 . . 3  |-  ( <.
( 1P  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
85, 7ax-mp 5 . 2  |-  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
9 df-1r 9231 . 2  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
10 df-nr 9226 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
118, 9, 103eltr4i 2521 1  |-  1R  e.  R.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   <.cop 3882    X. cxp 4837  (class class class)co 6090   [cec 7098   /.cqs 7099   P.cnp 9025   1Pc1p 9026    +P. cpp 9027    ~R cer 9032   R.cnr 9033   1Rc1r 9035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-omul 6924  df-er 7100  df-ec 7102  df-qs 7106  df-ni 9040  df-pli 9041  df-mi 9042  df-lti 9043  df-plpq 9076  df-mpq 9077  df-ltpq 9078  df-enq 9079  df-nq 9080  df-erq 9081  df-plq 9082  df-mq 9083  df-1nq 9084  df-rq 9085  df-ltnq 9086  df-np 9149  df-1p 9150  df-plp 9151  df-enr 9225  df-nr 9226  df-1r 9231
This theorem is referenced by:  1ne0sr  9262  supsr  9278  ax1cn  9315  axicn  9316  axi2m1  9325  ax1ne0  9326  ax1rid  9327  axcnre  9330
  Copyright terms: Public domain W3C validator