MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sr Structured version   Unicode version

Theorem 1sr 9470
Description: The constant  1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1sr  |-  1R  e.  R.

Proof of Theorem 1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 9405 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 9408 . . . . 5  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 672 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 opelxpi 5037 . . . 4  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
53, 1, 4mp2an 672 . . 3  |-  <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )
6 enrex 9456 . . . 4  |-  ~R  e.  _V
76ecelqsi 7379 . . 3  |-  ( <.
( 1P  +P.  1P ) ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
85, 7ax-mp 5 . 2  |-  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
9 df-1r 9451 . 2  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
10 df-nr 9446 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
118, 9, 103eltr4i 2568 1  |-  1R  e.  R.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   <.cop 4039    X. cxp 5003  (class class class)co 6295   [cec 7321   /.cqs 7322   P.cnp 9249   1Pc1p 9250    +P. cpp 9251    ~R cer 9254   R.cnr 9255   1Rc1r 9257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-ni 9262  df-pli 9263  df-mi 9264  df-lti 9265  df-plpq 9298  df-mpq 9299  df-ltpq 9300  df-enq 9301  df-nq 9302  df-erq 9303  df-plq 9304  df-mq 9305  df-1nq 9306  df-rq 9307  df-ltnq 9308  df-np 9371  df-1p 9372  df-plp 9373  df-enr 9445  df-nr 9446  df-1r 9451
This theorem is referenced by:  1ne0sr  9485  supsr  9501  ax1cn  9538  axicn  9539  axi2m1  9548  ax1ne0  9549  ax1rid  9550  axcnre  9553
  Copyright terms: Public domain W3C validator