MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom Structured version   Unicode version

Theorem 1sdom 7627
Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 7493.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
1sdom  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ~<  A  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem 1sdom
Dummy variables  f 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4405 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( 1o  ~<  a  <->  1o  ~<  A ) )
2 rexeq 3024 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( E. y  e.  a  -.  x  =  y  <->  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
)
32rexeqbi1dv 3032 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
)
4 1onn 7189 . . . 4  |-  1o  e.  om
5 sucdom 7620 . . . 4  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  ~<  a  <->  suc  1o  ~<_  a ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( 1o 
~<  a  <->  suc  1o  ~<_  a )
7 df-2o 7032 . . . 4  |-  2o  =  suc  1o
87breq1i 4408 . . 3  |-  ( 2o  ~<_  a  <->  suc  1o  ~<_  a )
9 2dom 7493 . . . 4  |-  ( 2o  ~<_  a  ->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
10 df2o3 7044 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
11 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
13 0ex 4531 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
144elexi 3088 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
1511, 12, 13, 14funpr 5578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =/=  y  ->  Fun  {
<. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. } )
16 df-ne 2650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
17 1n0 7046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =/=  (/)
1817necomi 2722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  =/=  1o
1913, 14, 11, 12fpr 6000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  { <. (/) ,  x >. ,  <. 1o ,  y
>. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y } )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y }
21 df-f1 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  <->  ( { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y }  /\  Fun  `' { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } ) )
2220, 21mpbiran 909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  <->  Fun  `' { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } )
2313, 11cnvsn 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <.
(/) ,  x >. }  =  { <. x ,  (/) >. }
2414, 12cnvsn 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <. 1o ,  y >. }  =  { <. y ,  1o >. }
2523, 24uneq12i 3617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' { <. (/) ,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y >. } )  =  ( { <. x ,  (/) >. }  u.  { <. y ,  1o >. } )
26 df-pr 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. }  =  ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )
2726cnveqi 5123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  `' ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )
28 cnvun 5351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )  =  ( `' { <. (/)
,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y
>. } )
2927, 28eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  ( `' { <. (/) ,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y >. } )
30 df-pr 3989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }  =  ( { <. x ,  (/) >. }  u.  { <. y ,  1o >. } )
3125, 29, 303eqtr4i 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }
3231funeqi 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  `' { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } 
<->  Fun  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. } )
3322, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
{ <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }  <->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y } )
3415, 16, 333imtr3i 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  y  ->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y } )
35 prssi 4138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  a  /\  y  e.  a )  ->  { x ,  y }  C_  a )
36 f1ss 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  /\  { x ,  y }  C_  a )  ->  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
3734, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
38 prex 4643 . . . . . . . . . 10  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. }  e.  _V
39 f1eq1 5710 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  { <. (/) ,  x >. ,  <. 1o ,  y
>. }  ->  ( f : { (/) ,  1o } -1-1-> a  <->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a ) )
4038, 39spcev 3170 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a  ->  E. f 
f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
4137, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  E. f  f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
42 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
4342brdom 7433 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) ,  1o }  ~<_  a  <->  E. f 
f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
4441, 43sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  { (/) ,  1o }  ~<_  a )
4544expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  a  /\  y  e.  a )  ->  ( -.  x  =  y  ->  { (/) ,  1o }  ~<_  a ) )
4645rexlimivv 2952 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  ->  {
(/) ,  1o }  ~<_  a )
4710, 46syl5eqbr 4434 . . . 4  |-  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  ->  2o  ~<_  a )
489, 47impbii 188 . . 3  |-  ( 2o  ~<_  a  <->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
496, 8, 483bitr2i 273 . 2  |-  ( 1o 
~<  a  <->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
501, 3, 49vtoclbg 3137 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ~<  A  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3746   {csn 3986   {cpr 3988   <.cop 3992   class class class wbr 4401   suc csuc 4830   `'ccnv 4948   Fun wfun 5521   -->wf 5523   -1-1->wf1 5524   omcom 6587   1oc1o 7024   2oc2o 7025    ~<_ cdom 7419    ~< csdm 7420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-1o 7031  df-2o 7032  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424
This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  7631  frgpnabl  16475  isnzr2  17469
  Copyright terms: Public domain W3C validator