MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom Structured version   Unicode version

Theorem 1sdom 7757
Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 7625.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
1sdom  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ~<  A  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem 1sdom
Dummy variables  f 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4398 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( 1o  ~<  a  <->  1o  ~<  A ) )
2 rexeq 3004 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( E. y  e.  a  -.  x  =  y  <->  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
)
32rexeqbi1dv 3012 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
)
4 1onn 7324 . . . 4  |-  1o  e.  om
5 sucdom 7751 . . . 4  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  ~<  a  <->  suc  1o  ~<_  a ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( 1o 
~<  a  <->  suc  1o  ~<_  a )
7 df-2o 7167 . . . 4  |-  2o  =  suc  1o
87breq1i 4401 . . 3  |-  ( 2o  ~<_  a  <->  suc  1o  ~<_  a )
9 2dom 7625 . . . 4  |-  ( 2o  ~<_  a  ->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
10 df2o3 7179 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
11 vex 3061 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 vex 3061 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
13 0ex 4525 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
144elexi 3068 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
1511, 12, 13, 14funpr 5619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =/=  y  ->  Fun  {
<. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. } )
16 df-ne 2600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
17 1n0 7181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =/=  (/)
1817necomi 2673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  =/=  1o
1913, 14, 11, 12fpr 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  { <. (/) ,  x >. ,  <. 1o ,  y
>. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y } )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y }
21 df-f1 5573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  <->  ( { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y }  /\  Fun  `' { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } ) )
2220, 21mpbiran 919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  <->  Fun  `' { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } )
2313, 11cnvsn 5306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <.
(/) ,  x >. }  =  { <. x ,  (/) >. }
2414, 12cnvsn 5306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <. 1o ,  y >. }  =  { <. y ,  1o >. }
2523, 24uneq12i 3594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' { <. (/) ,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y >. } )  =  ( { <. x ,  (/) >. }  u.  { <. y ,  1o >. } )
26 df-pr 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. }  =  ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )
2726cnveqi 4997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  `' ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )
28 cnvun 5228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )  =  ( `' { <. (/)
,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y
>. } )
2927, 28eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  ( `' { <. (/) ,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y >. } )
30 df-pr 3974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }  =  ( { <. x ,  (/) >. }  u.  { <. y ,  1o >. } )
3125, 29, 303eqtr4i 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }
3231funeqi 5588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  `' { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } 
<->  Fun  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. } )
3322, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
{ <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }  <->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y } )
3415, 16, 333imtr3i 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  y  ->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y } )
35 prssi 4127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  a  /\  y  e.  a )  ->  { x ,  y }  C_  a )
36 f1ss 5768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  /\  { x ,  y }  C_  a )  ->  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
3734, 35, 36syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
38 prex 4632 . . . . . . . . . 10  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. }  e.  _V
39 f1eq1 5758 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  { <. (/) ,  x >. ,  <. 1o ,  y
>. }  ->  ( f : { (/) ,  1o } -1-1-> a  <->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a ) )
4038, 39spcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a  ->  E. f 
f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
4137, 40syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  E. f  f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
42 vex 3061 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
4342brdom 7565 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) ,  1o }  ~<_  a  <->  E. f 
f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
4441, 43sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  { (/) ,  1o }  ~<_  a )
4544expcom 433 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  a  /\  y  e.  a )  ->  ( -.  x  =  y  ->  { (/) ,  1o }  ~<_  a ) )
4645rexlimivv 2900 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  ->  {
(/) ,  1o }  ~<_  a )
4710, 46syl5eqbr 4427 . . . 4  |-  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  ->  2o  ~<_  a )
489, 47impbii 188 . . 3  |-  ( 2o  ~<_  a  <->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
496, 8, 483bitr2i 273 . 2  |-  ( 1o 
~<  a  <->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
501, 3, 49vtoclbg 3117 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ~<  A  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2754    u. cun 3411    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   class class class wbr 4394   `'ccnv 4821   suc csuc 5411   Fun wfun 5562   -->wf 5564   -1-1->wf1 5565   omcom 6682   1oc1o 7159   2oc2o 7160    ~<_ cdom 7551    ~< csdm 7552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-om 6683  df-1o 7166  df-2o 7167  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556
This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  7760  frgpnabl  17201  isnzr2  18229
  Copyright terms: Public domain W3C validator