Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom Structured version   Unicode version

Theorem 1sdom 7757
 Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 7625.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
1sdom
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem 1sdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4398 . 2
2 rexeq 3004 . . 3
32rexeqbi1dv 3012 . 2
4 1onn 7324 . . . 4
5 sucdom 7751 . . . 4
64, 5ax-mp 5 . . 3
7 df-2o 7167 . . . 4
87breq1i 4401 . . 3
9 2dom 7625 . . . 4
10 df2o3 7179 . . . . 5
11 vex 3061 . . . . . . . . . . . 12
12 vex 3061 . . . . . . . . . . . 12
13 0ex 4525 . . . . . . . . . . . 12
144elexi 3068 . . . . . . . . . . . 12
1511, 12, 13, 14funpr 5619 . . . . . . . . . . 11
16 df-ne 2600 . . . . . . . . . . 11
17 1n0 7181 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817necomi 2673 . . . . . . . . . . . . . 14
1913, 14, 11, 12fpr 6058 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
21 df-f1 5573 . . . . . . . . . . . . 13
2220, 21mpbiran 919 . . . . . . . . . . . 12
2313, 11cnvsn 5306 . . . . . . . . . . . . . . 15
2414, 12cnvsn 5306 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24uneq12i 3594 . . . . . . . . . . . . . 14
26 df-pr 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726cnveqi 4997 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 cnvun 5228 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . 14
30 df-pr 3974 . . . . . . . . . . . . . 14
3125, 29, 303eqtr4i 2441 . . . . . . . . . . . . 13
3231funeqi 5588 . . . . . . . . . . . 12
3322, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . 11
3415, 16, 333imtr3i 265 . . . . . . . . . 10
35 prssi 4127 . . . . . . . . . 10
36 f1ss 5768 . . . . . . . . . 10
3734, 35, 36syl2an 475 . . . . . . . . 9
38 prex 4632 . . . . . . . . . 10
39 f1eq1 5758 . . . . . . . . . 10
4038, 39spcev 3150 . . . . . . . . 9
4137, 40syl 17 . . . . . . . 8
42 vex 3061 . . . . . . . . 9
4342brdom 7565 . . . . . . . 8
4441, 43sylibr 212 . . . . . . 7
4544expcom 433 . . . . . 6
4645rexlimivv 2900 . . . . 5
4710, 46syl5eqbr 4427 . . . 4
489, 47impbii 188 . . 3
496, 8, 483bitr2i 273 . 2
501, 3, 49vtoclbg 3117 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367  wex 1633   wcel 1842   wne 2598  wrex 2754   cun 3411   wss 3413  c0 3737  csn 3971  cpr 3973  cop 3977   class class class wbr 4394  ccnv 4821   csuc 5411   wfun 5562  wf 5564  wf1 5565  com 6682  c1o 7159  c2o 7160   cdom 7551   csdm 7552 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-om 6683  df-1o 7166  df-2o 7167  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556 This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  7760  frgpnabl  17201  isnzr2  18229
 Copyright terms: Public domain W3C validator