Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom Structured version   Unicode version

Theorem 1sdom 7627
 Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 7493.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
1sdom
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem 1sdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4405 . 2
2 rexeq 3024 . . 3
32rexeqbi1dv 3032 . 2
4 1onn 7189 . . . 4
5 sucdom 7620 . . . 4
64, 5ax-mp 5 . . 3
7 df-2o 7032 . . . 4
87breq1i 4408 . . 3
9 2dom 7493 . . . 4
10 df2o3 7044 . . . . 5
11 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12
12 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12
13 0ex 4531 . . . . . . . . . . . 12
144elexi 3088 . . . . . . . . . . . 12
1511, 12, 13, 14funpr 5578 . . . . . . . . . . 11
16 df-ne 2650 . . . . . . . . . . 11
17 1n0 7046 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817necomi 2722 . . . . . . . . . . . . . 14
1913, 14, 11, 12fpr 6000 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
21 df-f1 5532 . . . . . . . . . . . . 13
2220, 21mpbiran 909 . . . . . . . . . . . 12
2313, 11cnvsn 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15
2414, 12cnvsn 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24uneq12i 3617 . . . . . . . . . . . . . 14
26 df-pr 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726cnveqi 5123 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 cnvun 5351 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14
30 df-pr 3989 . . . . . . . . . . . . . 14
3125, 29, 303eqtr4i 2493 . . . . . . . . . . . . 13
3231funeqi 5547 . . . . . . . . . . . 12
3322, 32bitr2i 250 . . . . . . . . . . 11
3415, 16, 333imtr3i 265 . . . . . . . . . 10
35 prssi 4138 . . . . . . . . . 10
36 f1ss 5720 . . . . . . . . . 10
3734, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . 9
38 prex 4643 . . . . . . . . . 10
39 f1eq1 5710 . . . . . . . . . 10
4038, 39spcev 3170 . . . . . . . . 9
4137, 40syl 16 . . . . . . . 8
42 vex 3081 . . . . . . . . 9
4342brdom 7433 . . . . . . . 8
4441, 43sylibr 212 . . . . . . 7
4544expcom 435 . . . . . 6
4645rexlimivv 2952 . . . . 5
4710, 46syl5eqbr 4434 . . . 4
489, 47impbii 188 . . 3
496, 8, 483bitr2i 273 . 2
501, 3, 49vtoclbg 3137 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369  wex 1587   wcel 1758   wne 2648  wrex 2800   cun 3435   wss 3437  c0 3746  csn 3986  cpr 3988  cop 3992   class class class wbr 4401   csuc 4830  ccnv 4948   wfun 5521  wf 5523  wf1 5524  com 6587  c1o 7024  c2o 7025   cdom 7419   csdm 7420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-1o 7031  df-2o 7032  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424 This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  7631  frgpnabl  16475  isnzr2  17469
 Copyright terms: Public domain W3C validator