Theorem 1r 6342

Description: The constant 1R is a signed real.

Assertion

Ref	Expression
1r	|- 1R e. R.

Proof of Theorem 1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 6269	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 6272	. . . . 5 |- ((1P e. P. /\ 1P e. P.) -> (1P +P. 1P) e. P.)
3	1, 1, 2	mp2an 761	. . . 4 |- (1P +P. 1P) e. P.
4		opelxpi 4040	. . . 4 |- (((1P +P. 1P) e. P. /\ 1P e. P.) -> <.(1P +P. 1P), 1P>. e. (P. X. P.))
5	3, 1, 4	mp2an 761	. . 3 |- <.(1P +P. 1P), 1P>. e. (P. X. P.)
6		enrex 6330	. . . 4 |- ~R e. _V
7	6	ecelqsi 5350	. . 3 |- (<.(1P +P. 1P), 1P>. e. (P. X. P.) -> [<.(1P +P. 1P), 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
8	5, 7	ax-mp 7	. 2 |- [<.(1P +P. 1P), 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R )
9		df-1r 6324	. . 3 |- 1R = [<.(1P +P. 1P), 1P>.] ~R
10		df-nr 6319	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
11	9, 10	eleq12i 1962	. 2 |- (1R e. R. <-> [<.(1P +P. 1P), 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
12	8, 11	mpbir 207	1 |- 1R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984  (class class class)co 4884  [cec 5316  /.cqs 5317  P.cnp 6137  1Pc1p 6138   +P. cpp 6139   ~R cer 6144  R.cnr 6145  1Rc1r 6147

This theorem is referenced by:  1ne0sr 6357  pn0sr 6362  recexsrlem 6364  supsrlem5 6381  ax1cn 6422  axicn 6423  ax1ne0 6433  ax1id 6435  axi2m1 6438  axcnre 6439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-enr 6318  df-nr 6319  df-1r 6324

Copyright terms: Public domain