MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthonlem2 Structured version   Unicode version

Theorem 1pthonlem2 24996
Description: Lemma 2 for 1pthon 24997. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
1pthonlem2  |-  ( ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)

Proof of Theorem 1pthonlem2
StepHypRef Expression
1 1trl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
3 opex 4654 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
4 hashsng 12484 . . . . . . . 8  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
62, 5syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  1 )
76preq2d 4057 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  { 0 ,  ( # `  F ) }  =  { 0 ,  1 } )
87imaeq2d 5156 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  =  ( P " {
0 ,  1 } ) )
96oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 1 ) )
10 fzo0 11879 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
119, 10syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  (/) )
1211imaeq2d 5156 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( P " ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  ( P " (/) ) )
138, 12ineq12d 3641 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( ( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  1 } )  i^i  ( P " (/) ) ) )
14 ima0 5171 . . . . 5  |-  ( P
" (/) )  =  (/)
1514ineq2i 3637 . . . 4  |-  ( ( P " { 0 ,  1 } )  i^i  ( P " (/) ) )  =  ( ( P " {
0 ,  1 } )  i^i  (/) )
16 in0 3764 . . . 4  |-  ( ( P " { 0 ,  1 } )  i^i  (/) )  =  (/)
1715, 16eqtri 2431 . . 3  |-  ( ( P " { 0 ,  1 } )  i^i  ( P " (/) ) )  =  (/)
1813, 17syl6eq 2459 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( ( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )
191, 18ax-mp 5 1  |-  ( ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    i^i cin 3412   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   "cima 4825   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521   1c1 9522  ..^cfzo 11852   #chash 12450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451
This theorem is referenced by:  1pthon  24997
  Copyright terms: Public domain W3C validator