MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthonlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 1pthonlem2 25320
Description: Lemma 2 for 1pthon 25321. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
1pthonlem2  |-  ( ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)

Proof of Theorem 1pthonlem2
StepHypRef Expression
1 1trl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
3 opex 4664 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
4 hashsng 12549 . . . . . . . 8  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
62, 5syl6eq 2501 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  1 )
76preq2d 4058 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  { 0 ,  ( # `  F ) }  =  { 0 ,  1 } )
87imaeq2d 5168 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  =  ( P " {
0 ,  1 } ) )
96oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 1 ) )
10 fzo0 11942 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
119, 10syl6eq 2501 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  (/) )
1211imaeq2d 5168 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( P " ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  ( P " (/) ) )
138, 12ineq12d 3635 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( ( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  1 } )  i^i  ( P " (/) ) ) )
14 ima0 5183 . . . . 5  |-  ( P
" (/) )  =  (/)
1514ineq2i 3631 . . . 4  |-  ( ( P " { 0 ,  1 } )  i^i  ( P " (/) ) )  =  ( ( P " {
0 ,  1 } )  i^i  (/) )
16 in0 3760 . . . 4  |-  ( ( P " { 0 ,  1 } )  i^i  (/) )  =  (/)
1715, 16eqtri 2473 . . 3  |-  ( ( P " { 0 ,  1 } )  i^i  ( P " (/) ) )  =  (/)
1813, 17syl6eq 2501 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( ( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )
191, 18ax-mp 5 1  |-  ( ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    i^i cin 3403   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970   <.cop 3974   "cima 4837   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540  ..^cfzo 11915   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516
This theorem is referenced by:  1pthon  25321
  Copyright terms: Public domain W3C validator