MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthonlem1 Structured version   Unicode version

Theorem 1pthonlem1 25164
Description: Lemma 1 for 1pthon 25166. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
1pthonlem1  |-  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )

Proof of Theorem 1pthonlem1
StepHypRef Expression
1 1trl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 fun0 5658 . . . 4  |-  Fun  (/)
3 res0 5129 . . . . . . 7  |-  ( P  |`  (/) )  =  (/)
43cnveqi 5029 . . . . . 6  |-  `' ( P  |`  (/) )  =  `' (/)
5 cnv0 5259 . . . . . 6  |-  `' (/)  =  (/)
64, 5eqtri 2458 . . . . 5  |-  `' ( P  |`  (/) )  =  (/)
76funeqi 5621 . . . 4  |-  ( Fun  `' ( P  |`  (/) )  <->  Fun  (/) )
82, 7mpbir 212 . . 3  |-  Fun  `' ( P  |`  (/) )
9 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
109oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )
11 opex 4686 . . . . . . . . . 10  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
12 hashsng 12546 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
1413oveq2i 6316 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )  =  ( 1..^ 1 )
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )  =  ( 1..^ 1 ) )
16 fzo0 11940 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ 1 )  =  (/) )
1810, 15, 173eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  (/) )
1918reseq2d 5125 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  ( P  |`  (/) ) )
2019cnveqd 5030 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  `' ( P  |`  (/) ) )
2120funeqd 5622 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F ) ) )  <->  Fun  `' ( P  |`  (/) ) ) )
228, 21mpbiri 236 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) ) )
231, 22ax-mp 5 1  |-  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   (/)c0 3767   {csn 4002   {cpr 4004   <.cop 4008   `'ccnv 4853    |` cres 4856   Fun wfun 5595   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539  ..^cfzo 11913   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  1pthon  25166
  Copyright terms: Public domain W3C validator