MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthonlem1 Structured version   Unicode version

Theorem 1pthonlem1 23641
Description: Lemma 1 for 1pthon 23643. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
1pthonlem1  |-  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )

Proof of Theorem 1pthonlem1
StepHypRef Expression
1 1trl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 fun0 5584 . . . 4  |-  Fun  (/)
3 res0 5224 . . . . . . 7  |-  ( P  |`  (/) )  =  (/)
43cnveqi 5123 . . . . . 6  |-  `' ( P  |`  (/) )  =  `' (/)
5 cnv0 5349 . . . . . 6  |-  `' (/)  =  (/)
64, 5eqtri 2483 . . . . 5  |-  `' ( P  |`  (/) )  =  (/)
76funeqi 5547 . . . 4  |-  ( Fun  `' ( P  |`  (/) )  <->  Fun  (/) )
82, 7mpbir 209 . . 3  |-  Fun  `' ( P  |`  (/) )
9 fveq2 5800 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
109oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )
11 opex 4665 . . . . . . . . . 10  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
12 hashsng 12254 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
1413oveq2i 6212 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )  =  ( 1..^ 1 )
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )  =  ( 1..^ 1 ) )
16 fzo0 11691 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ 1 )  =  (/) )
1810, 15, 173eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  (/) )
1918reseq2d 5219 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  ( P  |`  (/) ) )
2019cnveqd 5124 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  `' ( P  |`  (/) ) )
2120funeqd 5548 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F ) ) )  <->  Fun  `' ( P  |`  (/) ) ) )
228, 21mpbiri 233 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) ) )
231, 22ax-mp 5 1  |-  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3746   {csn 3986   {cpr 3988   <.cop 3992   `'ccnv 4948    |` cres 4951   Fun wfun 5521   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395  ..^cfzo 11666   #chash 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222
This theorem is referenced by:  1pthon  23643
  Copyright terms: Public domain W3C validator