MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthonlem1 Structured version   Unicode version

Theorem 1pthonlem1 24264
Description: Lemma 1 for 1pthon 24266. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
1trl.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }
Assertion
Ref Expression
1pthonlem1  |-  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )

Proof of Theorem 1pthonlem1
StepHypRef Expression
1 1trl.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  i
>. }
2 fun0 5643 . . . 4  |-  Fun  (/)
3 res0 5276 . . . . . . 7  |-  ( P  |`  (/) )  =  (/)
43cnveqi 5175 . . . . . 6  |-  `' ( P  |`  (/) )  =  `' (/)
5 cnv0 5407 . . . . . 6  |-  `' (/)  =  (/)
64, 5eqtri 2496 . . . . 5  |-  `' ( P  |`  (/) )  =  (/)
76funeqi 5606 . . . 4  |-  ( Fun  `' ( P  |`  (/) )  <->  Fun  (/) )
82, 7mpbir 209 . . 3  |-  Fun  `' ( P  |`  (/) )
9 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  (
# `  F )  =  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )
109oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )
11 opex 4711 . . . . . . . . . 10  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
12 hashsng 12400 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
1413oveq2i 6293 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )  =  ( 1..^ 1 )
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) )  =  ( 1..^ 1 ) )
16 fzo0 11813 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ 1 )  =  (/) )
1810, 15, 173eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  =  (/) )
1918reseq2d 5271 . . . . 5  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  ( P  |`  (/) ) )
2019cnveqd 5176 . . . 4  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  =  `' ( P  |`  (/) ) )
2120funeqd 5607 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F ) ) )  <->  Fun  `' ( P  |`  (/) ) ) )
228, 21mpbiri 233 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  i >. }  ->  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) ) )
231, 22ax-mp 5 1  |-  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   `'ccnv 4998    |` cres 5001   Fun wfun 5580   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489  ..^cfzo 11788   #chash 12367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368
This theorem is referenced by:  1pthon  24266
  Copyright terms: Public domain W3C validator