MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthoncl Structured version   Unicode version

Theorem 1pthoncl 23491
Description: A path of length 1 from one vertex to another vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1pthoncl  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  (
I  e.  _V  /\  ( E `  I )  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )

Proof of Theorem 1pthoncl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  ( E `  i )  =  ( E `  I ) )
21eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  (
( E `  i
)  =  { A ,  B }  <->  ( E `  I )  =  { A ,  B }
) )
323anbi3d 1295 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } )  <->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  /\  ( E `  I )  =  { A ,  B }
) ) )
4 opeq2 4060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  <. 0 ,  i >.  =  <. 0 ,  I >. )
54sneqd 3889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  { <. 0 ,  i >. }  =  { <. 0 ,  I >. } )
65breq1d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  { <. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } ) )
73, 6imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i
)  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )  <->  ( (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  I )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) ) )
8 1pthon 23490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
97, 8vtoclg 3030 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  I
)  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) )
109com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  I )  =  { A ,  B } )  ->  (
I  e.  _V  ->  {
<. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) )
11103exp 1186 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( E `  I
)  =  { A ,  B }  ->  (
I  e.  _V  ->  {
<. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) ) ) )
1211com23 78 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
I  e.  _V  ->  {
<. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) ) ) )
1312com14 88 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( E `  I
)  =  { A ,  B }  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  { <. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) ) ) )
1413imp 429 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( E `  I )  =  { A ,  B } )  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  { <. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) ) )
1514com13 80 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( I  e.  _V  /\  ( E `  I
)  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) ) )
16153imp 1181 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  (
I  e.  _V  /\  ( E `  I )  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  I >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   {csn 3877   {cpr 3879   <.cop 3883   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   PathOn cpthon 23411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-wlk 23415  df-trail 23416  df-pth 23417  df-wlkon 23421  df-pthon 23423
This theorem is referenced by:  1pthon2v  23492
  Copyright terms: Public domain W3C validator