MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthon2v Structured version   Unicode version

Theorem 1pthon2v 23645
Description: For each pair of adjacent vertices there is a path of length 1 from one vertex to the other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1pthon2v  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } )  ->  E. f E. p  f ( A ( V PathOn  E
) B ) p )
Distinct variable groups:    A, f, p    B, f, p    f, E, p    f, V, p
Allowed substitution hints:    X( f, p)    Y( f, p)

Proof of Theorem 1pthon2v
StepHypRef Expression
1 snex 4642 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. }  e.  _V
2 prex 4643 . . 3  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . 2  |-  ( {
<. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )
4 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } )  ->  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } )
5 fvex 5810 . . . 4  |-  ( `' E `  { A ,  B } )  e. 
_V
64, 5jctil 537 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } )  ->  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  _V  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } ) )
7 1pthoncl 23644 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  (
( `' E `  { A ,  B }
)  e.  _V  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } ) )  ->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
86, 7syld3an3 1264 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
9 breq12 4406 . . 3  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. }  /\  p  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } )  ->  (
f ( A ( V PathOn  E ) B ) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. }  ( A ( V PathOn  E
) B ) {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) )
109spc2egv 3165 . 2  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { A ,  B } ) >. }  ( A ( V PathOn  E
) B ) {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  E. f E. p  f ( A ( V PathOn  E
) B ) p ) )
113, 8, 10mpsyl 63 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  ( `' E `  { A ,  B } ) )  =  { A ,  B } )  ->  E. f E. p  f ( A ( V PathOn  E
) B ) p )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   {csn 3986   {cpr 3988   <.cop 3992   class class class wbr 4401   `'ccnv 4948   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395   PathOn cpthon 23564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222  df-word 12348  df-wlk 23568  df-trail 23569  df-pth 23570  df-wlkon 23574  df-pthon 23576
This theorem is referenced by:  cusconngra  23715
  Copyright terms: Public domain W3C validator