Theorem 1pthon 24795

Description: A path of length 1 from one vertex to another vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1pthon	|- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )

Proof of Theorem 1pthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . . . 5 |- { <. 0 , i >. } = { <. 0 , i >. }
2		eqid 2454	. . . . 5 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. }
3	1, 2	constr1trl 24792	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )
4		trliswlk 24743	. . . 4 |- ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } -> { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )
5	3, 4	syl 16	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )
6		c0ex 9579	. . . . 5 |- 0 e. _V
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> 0 e. _V )
8		simp2l 1020	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> A e. V )
9		0ne1 10599	. . . . 5 |- 0 =/= 1
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> 0 =/= 1 )
11		fvpr1g 6092	. . . 4 |- ( ( 0 e. _V /\ A e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A )
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A )
13		1ex 9580	. . . . 5 |- 1 e. _V
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> 1 e. _V )
15		simp2r 1021	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> B e. V )
16		opex 4701	. . . . . 6 |- <. 0 , i >. e. _V
17		hashsng 12421	. . . . . 6 |- ( <. 0 , i >. e. _V -> ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1 )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1
19		fveq2 5848	. . . . . 6 |- ( ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1 -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 1 ) )
20		fvpr2g 6093	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. _V /\ B e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
21	19, 20	sylan9eq 2515	. . . . 5 |- ( ( ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1 /\ ( 1 e. _V /\ B e. V /\ 0 =/= 1 ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B )
22	18, 21	mpan 668	. . . 4 |- ( ( 1 e. _V /\ B e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B )
23	14, 15, 10, 22	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B )
24	5, 12, 23	3jca 1174	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) )
25	1, 2	1pthonlem1 24793	. . . 4 |- Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) )
26	25	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) )
27	1, 2	1pthonlem2 24794	. . . 4 |- ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/)
28	27	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) )
29	3, 26, 28	3jca 1174	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) )
30		simp1 994	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( V e. X /\ E e. Y ) )
31		snex 4678	. . . . 5 |- { <. 0 , i >. } e. _V
32		prex 4679	. . . . 5 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V
33	31, 32	pm3.2i 453	. . . 4 |- ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V )
34	33	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) )
35		simp2 995	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( A e. V /\ B e. V ) )
36		ispthon 24780	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V WalkOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ { <. 0 , i >. } ( V Paths E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ) ) )
37		iswlkon 24736	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V WalkOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) ) )
38		ispth 24772	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( V Paths E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) )
39	38	3adant3 1014	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( V Paths E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) )
40	37, 39	anbi12d 708	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( ( { <. 0 , i >. } ( A ( V WalkOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ { <. 0 , i >. } ( V Paths E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ) <-> ( ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) /\ ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) ) )
41	36, 40	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) /\ ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) ) )
42	30, 34, 35, 41	syl3anc 1226	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) /\ ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) ) )
43	24, 29, 42	mpbir2and 920	1 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   _Vcvv 3106   i^i cin 3460   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482  ..^cfzo 11799   #chash 12387   Walks cwalk 24700   Trails ctrail 24701   Paths cpath 24702   WalkOn cwlkon 24704   PathOn cpthon 24706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-wlk 24710  df-trail 24711  df-pth 24712  df-wlkon 24716  df-pthon 24718

This theorem is referenced by:  1pthoncl  24796