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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 1pthon | Structured version Unicode version |
Description: A path of length 1 from one vertex to another vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
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1pthon |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2451 |
. . . . 5
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2 | eqid 2451 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | constr1trl 23632 |
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4 | trliswlk 23583 |
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5 | 3, 4 | syl 16 |
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6 | c0ex 9484 |
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7 | 6 | a1i 11 |
. . . 4
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8 | simp2l 1014 |
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9 | 0ne1 10493 |
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10 | 9 | a1i 11 |
. . . 4
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11 | fvpr1g 6025 |
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12 | 7, 8, 10, 11 | syl3anc 1219 |
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13 | 1ex 9485 |
. . . . 5
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14 | 13 | a1i 11 |
. . . 4
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15 | simp2r 1015 |
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16 | opex 4657 |
. . . . . 6
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17 | hashsng 12246 |
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18 | 16, 17 | ax-mp 5 |
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19 | fveq2 5792 |
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20 | fvpr2g 6026 |
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21 | 19, 20 | sylan9eq 2512 |
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22 | 18, 21 | mpan 670 |
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23 | 14, 15, 10, 22 | syl3anc 1219 |
. . 3
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24 | 5, 12, 23 | 3jca 1168 |
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25 | 1, 2 | 1pthonlem1 23633 |
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26 | 25 | a1i 11 |
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27 | 1, 2 | 1pthonlem2 23634 |
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28 | 27 | a1i 11 |
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29 | 3, 26, 28 | 3jca 1168 |
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30 | simp1 988 |
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31 | snex 4634 |
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32 | prex 4635 |
. . . . 5
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33 | 31, 32 | pm3.2i 455 |
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34 | 33 | a1i 11 |
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35 | simp2 989 |
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36 | ispthon 23620 |
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37 | iswlkon 23575 |
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38 | ispth 23612 |
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39 | 38 | 3adant3 1008 |
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40 | 37, 39 | anbi12d 710 |
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41 | 36, 40 | bitrd 253 |
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42 | 30, 34, 35, 41 | syl3anc 1219 |
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43 | 24, 29, 42 | mpbir2and 913 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4504 ax-sep 4514 ax-nul 4522 ax-pow 4571 ax-pr 4632 ax-un 6475 ax-cnex 9442 ax-resscn 9443 ax-1cn 9444 ax-icn 9445 ax-addcl 9446 ax-addrcl 9447 ax-mulcl 9448 ax-mulrcl 9449 ax-mulcom 9450 ax-addass 9451 ax-mulass 9452 ax-distr 9453 ax-i2m1 9454 ax-1ne0 9455 ax-1rid 9456 ax-rnegex 9457 ax-rrecex 9458 ax-cnre 9459 ax-pre-lttri 9460 ax-pre-lttrn 9461 ax-pre-ltadd 9462 ax-pre-mulgt0 9463 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rab 2804 df-v 3073 df-sbc 3288 df-csb 3390 df-dif 3432 df-un 3434 df-in 3436 df-ss 3443 df-pss 3445 df-nul 3739 df-if 3893 df-pw 3963 df-sn 3979 df-pr 3981 df-tp 3983 df-op 3985 df-uni 4193 df-int 4230 df-iun 4274 df-br 4394 df-opab 4452 df-mpt 4453 df-tr 4487 df-eprel 4733 df-id 4737 df-po 4742 df-so 4743 df-fr 4780 df-we 4782 df-ord 4823 df-on 4824 df-lim 4825 df-suc 4826 df-xp 4947 df-rel 4948 df-cnv 4949 df-co 4950 df-dm 4951 df-rn 4952 df-res 4953 df-ima 4954 df-iota 5482 df-fun 5521 df-fn 5522 df-f 5523 df-f1 5524 df-fo 5525 df-f1o 5526 df-fv 5527 df-riota 6154 df-ov 6196 df-oprab 6197 df-mpt2 6198 df-om 6580 df-1st 6680 df-2nd 6681 df-recs 6935 df-rdg 6969 df-1o 7023 df-oadd 7027 df-er 7204 df-map 7319 df-pm 7320 df-en 7414 df-dom 7415 df-sdom 7416 df-fin 7417 df-card 8213 df-pnf 9524 df-mnf 9525 df-xr 9526 df-ltxr 9527 df-le 9528 df-sub 9701 df-neg 9702 df-nn 10427 df-n0 10684 df-z 10751 df-uz 10966 df-fz 11548 df-fzo 11659 df-hash 12214 df-word 12340 df-wlk 23560 df-trail 23561 df-pth 23562 df-wlkon 23566 df-pthon 23568 |
This theorem is referenced by: 1pthoncl 23636 |
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