MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthon Structured version   Unicode version

Theorem 1pthon 23635
Description: A path of length 1 from one vertex to another vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1pthon  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )

Proof of Theorem 1pthon
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  i >. }  =  { <. 0 ,  i >. }
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }
31, 2constr1trl 23632 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( V Trails  E ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
4 trliswlk 23583 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( V Walks  E ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( V Walks  E ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
6 c0ex 9484 . . . . 5  |-  0  e.  _V
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  0  e.  _V )
8 simp2l 1014 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A  e.  V )
9 0ne1 10493 . . . . 5  |-  0  =/=  1
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  0  =/=  1 )
11 fvpr1g 6025 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
127, 8, 10, 11syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
13 1ex 9485 . . . . 5  |-  1  e.  _V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  1  e.  _V )
15 simp2r 1015 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  B  e.  V )
16 opex 4657 . . . . . 6  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
17 hashsng 12246 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
19 fveq2 5792 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
) )
20 fvpr2g 6026 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
2119, 20sylan9eq 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1  /\  ( 1  e. 
_V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )
2218, 21mpan 670 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `
 { <. 0 ,  i >. } ) )  =  B )
2314, 15, 10, 22syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )
245, 12, 233jca 1168 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B ) )
251, 21pthonlem1 23633 . . . 4  |-  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )
2625a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )
271, 21pthonlem2 23634 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/)
2827a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " {
0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) )
293, 26, 283jca 1168 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) )
30 simp1 988 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )
)
31 snex 4634 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  i >. }  e.  _V
32 prex 4635 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
3331, 32pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. }  e.  _V  /\  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  _V )
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  e.  _V  /\  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  _V )
)
35 simp2 989 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
)
36 ispthon 23620 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V WalkOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  { <. 0 ,  i >. }  ( V Paths  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) ) )
37 iswlkon 23575 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V WalkOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B ) ) )
38 ispth 23612 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )
)  ->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( V Paths  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) )
39383adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Paths  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) )
4037, 39anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V WalkOn  E
) B ) {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  { <. 0 ,  i >. }  ( V Paths  E ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )  <->  ( ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )  /\  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) ) )
4136, 40bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )  /\  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) ) )
4230, 34, 35, 41syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )  /\  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) ) )
4324, 29, 42mpbir2and 913 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3071    i^i cin 3428   (/)c0 3738   {csn 3978   {cpr 3980   <.cop 3984   class class class wbr 4393   `'ccnv 4940    |` cres 4943   "cima 4944   Fun wfun 5513   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   0cc0 9386   1c1 9387  ..^cfzo 11658   #chash 12213   Walks cwalk 23550   Trails ctrail 23551   Paths cpath 23552   WalkOn cwlkon 23554   PathOn cpthon 23556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-hash 12214  df-word 12340  df-wlk 23560  df-trail 23561  df-pth 23562  df-wlkon 23566  df-pthon 23568
This theorem is referenced by:  1pthoncl  23636
  Copyright terms: Public domain W3C validator