MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pthon Structured version   Unicode version

Theorem 1pthon 24795
Description: A path of length 1 from one vertex to another vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1pthon  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )

Proof of Theorem 1pthon
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  i >. }  =  { <. 0 ,  i >. }
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }
31, 2constr1trl 24792 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( V Trails  E ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
4 trliswlk 24743 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( V Walks  E ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( V Walks  E ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
6 c0ex 9579 . . . . 5  |-  0  e.  _V
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  0  e.  _V )
8 simp2l 1020 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  A  e.  V )
9 0ne1 10599 . . . . 5  |-  0  =/=  1
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  0  =/=  1 )
11 fvpr1g 6092 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0
)  =  A )
127, 8, 10, 11syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A )
13 1ex 9580 . . . . 5  |-  1  e.  _V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  1  e.  _V )
15 simp2r 1021 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  B  e.  V )
16 opex 4701 . . . . . 6  |-  <. 0 ,  i >.  e.  _V
17 hashsng 12421 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  i >.  e.  _V  ->  ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1 )
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } )  =  1
19 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
) )
20 fvpr2g 6093 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
2119, 20sylan9eq 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  { <. 0 ,  i >. } )  =  1  /\  ( 1  e. 
_V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1
) )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )
2218, 21mpan 668 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  0  =/=  1 )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `
 { <. 0 ,  i >. } ) )  =  B )
2314, 15, 10, 22syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )
245, 12, 233jca 1174 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B ) )
251, 21pthonlem1 24793 . . . 4  |-  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )
2625a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )
271, 21pthonlem2 24794 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/)
2827a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " {
0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) )
293, 26, 283jca 1174 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) )
30 simp1 994 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )
)
31 snex 4678 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  i >. }  e.  _V
32 prex 4679 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V
3331, 32pm3.2i 453 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  i
>. }  e.  _V  /\  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  _V )
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  e.  _V  /\  {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  _V )
)
35 simp2 995 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
)
36 ispthon 24780 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V WalkOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  { <. 0 ,  i >. }  ( V Paths  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } ) ) )
37 iswlkon 24736 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V WalkOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B ) ) )
38 ispth 24772 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )
)  ->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( V Paths  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) )
39383adant3 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Paths  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( { <. 0 ,  i >. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) )
4037, 39anbi12d 708 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
( { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V WalkOn  E
) B ) {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  { <. 0 ,  i >. }  ( V Paths  E ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )  <->  ( ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )  /\  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) ) )
4136, 40bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( { <. 0 ,  i >. }  e.  _V  /\  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. }  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )  /\  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) ) )
4230, 34, 35, 41syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  <->  ( ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Walks  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  0 )  =  A  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } `  ( # `  { <. 0 ,  i
>. } ) )  =  B )  /\  ( { <. 0 ,  i
>. }  ( V Trails  E
) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  /\  Fun  `' ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  |`  (
1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) )  /\  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } " { 0 ,  ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) } )  i^i  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } " ( 1..^ ( # `  { <. 0 ,  i >. } ) ) ) )  =  (/) ) ) ) )
4324, 29, 42mpbir2and 920 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  /\  ( E `  i )  =  { A ,  B } )  ->  { <. 0 ,  i >. }  ( A ( V PathOn  E ) B ) { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    i^i cin 3460   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987    |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482  ..^cfzo 11799   #chash 12387   Walks cwalk 24700   Trails ctrail 24701   Paths cpath 24702   WalkOn cwlkon 24704   PathOn cpthon 24706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-wlk 24710  df-trail 24711  df-pth 24712  df-wlkon 24716  df-pthon 24718
This theorem is referenced by:  1pthoncl  24796
  Copyright terms: Public domain W3C validator