Theorem 1pthon 23635

Description: A path of length 1 from one vertex to another vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
1pthon	|- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )

Proof of Theorem 1pthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . . . 5 |- { <. 0 , i >. } = { <. 0 , i >. }
2		eqid 2451	. . . . 5 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } = { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. }
3	1, 2	constr1trl 23632	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )
4		trliswlk 23583	. . . 4 |- ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } -> { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )
5	3, 4	syl 16	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )
6		c0ex 9484	. . . . 5 |- 0 e. _V
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> 0 e. _V )
8		simp2l 1014	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> A e. V )
9		0ne1 10493	. . . . 5 |- 0 =/= 1
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> 0 =/= 1 )
11		fvpr1g 6025	. . . 4 |- ( ( 0 e. _V /\ A e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A )
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A )
13		1ex 9485	. . . . 5 |- 1 e. _V
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> 1 e. _V )
15		simp2r 1015	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> B e. V )
16		opex 4657	. . . . . 6 |- <. 0 , i >. e. _V
17		hashsng 12246	. . . . . 6 |- ( <. 0 , i >. e. _V -> ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1 )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1
19		fveq2 5792	. . . . . 6 |- ( ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1 -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 1 ) )
20		fvpr2g 6026	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. _V /\ B e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 1 ) = B )
21	19, 20	sylan9eq 2512	. . . . 5 |- ( ( ( # ` { <. 0 , i >. } ) = 1 /\ ( 1 e. _V /\ B e. V /\ 0 =/= 1 ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B )
22	18, 21	mpan 670	. . . 4 |- ( ( 1 e. _V /\ B e. V /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B )
23	14, 15, 10, 22	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B )
24	5, 12, 23	3jca 1168	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) )
25	1, 2	1pthonlem1 23633	. . . 4 |- Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) )
26	25	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) )
27	1, 2	1pthonlem2 23634	. . . 4 |- ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/)
28	27	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) )
29	3, 26, 28	3jca 1168	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) )
30		simp1 988	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( V e. X /\ E e. Y ) )
31		snex 4634	. . . . 5 |- { <. 0 , i >. } e. _V
32		prex 4635	. . . . 5 |- { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V
33	31, 32	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V )
34	33	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) )
35		simp2 989	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( A e. V /\ B e. V ) )
36		ispthon 23620	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V WalkOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ { <. 0 , i >. } ( V Paths E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ) ) )
37		iswlkon 23575	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V WalkOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) ) )
38		ispth 23612	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( V Paths E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) )
39	38	3adant3 1008	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( V Paths E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) )
40	37, 39	anbi12d 710	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( ( { <. 0 , i >. } ( A ( V WalkOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ { <. 0 , i >. } ( V Paths E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ) <-> ( ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) /\ ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) ) )
41	36, 40	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( { <. 0 , i >. } e. _V /\ { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) /\ ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) ) )
42	30, 34, 35, 41	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> ( { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } <-> ( ( { <. 0 , i >. } ( V Walks E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` 0 ) = A /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } ` ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) = B ) /\ ( { <. 0 , i >. } ( V Trails E ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } /\ Fun `' ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } |` ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) /\ ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " { 0 , ( # ` { <. 0 , i >. } ) } ) i^i ( { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } " ( 1..^ ( # ` { <. 0 , i >. } ) ) ) ) = (/) ) ) ) )
43	24, 29, 42	mpbir2and 913	1 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( E ` i ) = { A , B } ) -> { <. 0 , i >. } ( A ( V PathOn E ) B ) { <. 0 , A >. , <. 1 , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   _Vcvv 3071   i^i cin 3428   (/)c0 3738   {csn 3978   {cpr 3980   <.cop 3984   class class class wbr 4393   `'ccnv 4940   |` cres 4943   "cima 4944   Fun wfun 5513   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   0cc0 9386   1c1 9387  ..^cfzo 11658   #chash 12213   Walks cwalk 23550   Trails ctrail 23551   Paths cpath 23552   WalkOn cwlkon 23554   PathOn cpthon 23556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-hash 12214  df-word 12340  df-wlk 23560  df-trail 23561  df-pth 23562  df-wlkon 23566  df-pthon 23568

This theorem is referenced by:  1pthoncl  23636