MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pr Structured version   Unicode version

Theorem 1pr 9180
Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1pr  |-  1P  e.  P.

Proof of Theorem 1pr
StepHypRef Expression
1 df-1p 9147 . 2  |-  1P  =  { x  |  x  <Q  1Q }
2 1nq 9093 . . 3  |-  1Q  e.  Q.
3 nqpr 9179 . . 3  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  { x  |  x  <Q  1Q }  e.  P. )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  { x  |  x  <Q  1Q }  e.  P.
51, 4eqeltri 2511 1  |-  1P  e.  P.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1761   {cab 2427   class class class wbr 4289   Q.cnq 9015   1Qc1q 9016    <Q cltq 9021   P.cnp 9022   1Pc1p 9023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-ni 9037  df-pli 9038  df-mi 9039  df-lti 9040  df-plpq 9073  df-mpq 9074  df-ltpq 9075  df-enq 9076  df-nq 9077  df-erq 9078  df-plq 9079  df-mq 9080  df-1nq 9081  df-rq 9082  df-ltnq 9083  df-np 9146  df-1p 9147
This theorem is referenced by:  1idpr  9194  gt0srpr  9241  0r  9243  1sr  9244  m1r  9245  m1p1sr  9255  m1m1sr  9256  0lt1sr  9258  0idsr  9260  1idsr  9261  00sr  9262  recexsrlem  9266  mappsrpr  9271  ltpsrpr  9272  map2psrpr  9273  supsrlem  9274
  Copyright terms: Public domain W3C validator