Theorem 1pr 6269

Description: The positive real number 'one'.

Assertion

Ref	Expression
1pr	|- 1P e. P.

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnp 6244	. 2 |- (1P e. P. <-> (((/) C. 1P /\ 1P C. Q.) /\ A.x e. 1P (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y)))
2		1lt2pq 6230	. . . . . . 7 |- 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
3		1q 6209	. . . . . . . . . 10 |- 1Q e. Q.
4	3	elisseti 2301	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. _V
5		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (1Q +Q 1Q) e. _V
6	4, 5	ltrpq 6237	. . . . . . . 8 |- (1Q <Q (1Q +Q 1Q) -> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q (*Q` 1Q))
7		fvex 4689	. . . . . . . . . 10 |- (*Q` 1Q) e. _V
8	7, 4	mulcompq 6216	. . . . . . . . 9 |- ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (1Q .Q (*Q` 1Q))
9		recclpq 6224	. . . . . . . . . . 11 |- (1Q e. Q. -> (*Q` 1Q) e. Q.)
10	3, 9	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (*Q` 1Q) e. Q.
11		mulidpq 6221	. . . . . . . . . 10 |- ((*Q` 1Q) e. Q. -> ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (*Q` 1Q))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (*Q` 1Q)
13		recidpq 6223	. . . . . . . . . 10 |- (1Q e. Q. -> (1Q .Q (*Q` 1Q)) = 1Q)
14	3, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (1Q .Q (*Q` 1Q)) = 1Q
15	8, 12, 14	3eqtr3i 1918	. . . . . . . 8 |- (*Q` 1Q) = 1Q
16	6, 15	syl6breq 3376	. . . . . . 7 |- (1Q <Q (1Q +Q 1Q) -> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q)
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q
18		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) e. _V
19		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (x = (*Q` (1Q +Q 1Q)) -> (x <Q 1Q <-> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q))
20		df-1p 6239	. . . . . . 7 |- 1P = {x | x <Q 1Q}
21	18, 19, 20	elab2 2407	. . . . . 6 |- ((*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P <-> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q)
22	17, 21	mpbir 207	. . . . 5 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P
23		ne0i 2881	. . . . 5 |- ((*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P -> 1P =/= (/))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . 4 |- 1P =/= (/)
25		0pss 2910	. . . 4 |- ((/) C. 1P <-> 1P =/= (/))
26	24, 25	mpbir 207	. . 3 |- (/) C. 1P
27		dfpss2 2694	. . . 4 |- (1P C. Q. <-> (1P C_ Q. /\ -. 1P = Q.))
28	20	abeq2i 2001	. . . . . 6 |- (x e. 1P <-> x <Q 1Q)
29		ltrelpq 6203	. . . . . . . 8 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
30	4, 29	brel 4048	. . . . . . 7 |- (x <Q 1Q -> (x e. Q. /\ 1Q e. Q.))
31	30	simplld 348	. . . . . 6 |- (x <Q 1Q -> x e. Q.)
32	28, 31	sylbi 216	. . . . 5 |- (x e. 1P -> x e. Q.)
33	32	ssriv 2621	. . . 4 |- 1P C_ Q.
34		ltsopq 6227	. . . . . . 7 |- <Q Or Q.
35	4, 34, 29	soirri 4314	. . . . . 6 |- -. 1Q <Q 1Q
36		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (x = 1Q -> (x <Q 1Q <-> 1Q <Q 1Q))
37	4, 36, 20	elab2 2407	. . . . . 6 |- (1Q e. 1P <-> 1Q <Q 1Q)
38	35, 37	mtbir 209	. . . . 5 |- -. 1Q e. 1P
39		eleq2 1958	. . . . . 6 |- (1P = Q. -> (1Q e. 1P <-> 1Q e. Q.))
40	3, 39	mpbiri 211	. . . . 5 |- (1P = Q. -> 1Q e. 1P)
41	38, 40	mto 121	. . . 4 |- -. 1P = Q.
42	27, 33, 41	mpbir2an 800	. . 3 |- 1P C. Q.
43	26, 42	pm3.2i 307	. 2 |- ((/) C. 1P /\ 1P C. Q.)
44		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
45		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
46	44, 34, 29, 45, 4	sotri 4315	. . . . . . . 8 |- ((y <Q x /\ x <Q 1Q) -> y <Q 1Q)
47	46	ex 402	. . . . . . 7 |- (y <Q x -> (x <Q 1Q -> y <Q 1Q))
48		df-1p 6239	. . . . . . . 8 |- 1P = {y | y <Q 1Q}
49	48	abeq2i 2001	. . . . . . 7 |- (y e. 1P <-> y <Q 1Q)
50	47, 28, 49	3imtr4g 612	. . . . . 6 |- (y <Q x -> (x e. 1P -> y e. 1P))
51	50	com12 14	. . . . 5 |- (x e. 1P -> (y <Q x -> y e. 1P))
52	51	19.21aiv 1664	. . . 4 |- (x e. 1P -> A.y(y <Q x -> y e. 1P))
53	45, 4	ltbtwnpq 6236	. . . . . 6 |- (x <Q 1Q -> E.y(x <Q y /\ y <Q 1Q))
54	49	anbi1i 539	. . . . . . . 8 |- ((y e. 1P /\ x <Q y) <-> (y <Q 1Q /\ x <Q y))
55		ancom 482	. . . . . . . 8 |- ((y <Q 1Q /\ x <Q y) <-> (x <Q y /\ y <Q 1Q))
56	54, 55	bitri 190	. . . . . . 7 |- ((y e. 1P /\ x <Q y) <-> (x <Q y /\ y <Q 1Q))
57	56	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.y(y e. 1P /\ x <Q y) <-> E.y(x <Q y /\ y <Q 1Q))
58	53, 28, 57	3imtr4i 236	. . . . 5 |- (x e. 1P -> E.y(y e. 1P /\ x <Q y))
59		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.y e. 1P x <Q y <-> E.y(y e. 1P /\ x <Q y))
60	58, 59	sylibr 217	. . . 4 |- (x e. 1P -> E.y e. 1P x <Q y)
61	52, 60	jca 310	. . 3 |- (x e. 1P -> (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y))
62	61	rgen 2159	. 2 |- A.x e. 1P (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y)
63	1, 43, 62	mpbir2an 800	1 |- 1P e. P.

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131  1Qc1q 6132   +Q cplq 6133   .Q cmq 6134  *Qcrq 6135   <Q cltq 6136  P.cnp 6137  1Pc1p 6138

This theorem is referenced by:  1idpr 6285  recexpr 6312  gt0srpr 6339  0r 6341  1r 6342  m1r 6343  m1p1sr 6353  m1m1sr 6354  0lt1sr 6356  0idsr 6358  1idsr 6359  00sr 6360  recexsrlem 6364  mappsrpr 6370  ltpsrpr 6371  map2psrpr 6372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239

Copyright terms: Public domain