MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pi Structured version   Unicode version

Theorem 1pi 9064
Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1pi  |-  1o  e.  N.

Proof of Theorem 1pi
StepHypRef Expression
1 1onn 7090 . 2  |-  1o  e.  om
2 1n0 6947 . 2  |-  1o  =/=  (/)
3 elni 9057 . 2  |-  ( 1o  e.  N.  <->  ( 1o  e.  om  /\  1o  =/=  (/) ) )
41, 2, 3mpbir2an 911 1  |-  1o  e.  N.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756    =/= wne 2618   (/)c0 3649   omcom 6488   1oc1o 6925   N.cnpi 9023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-om 6489  df-1o 6932  df-ni 9053
This theorem is referenced by:  mulidpi  9067  1lt2pi  9086  nlt1pi  9087  indpi  9088  pinq  9108  1nq  9109  1nqenq  9143  mulidnq  9144  1lt2nq  9154  archnq  9161  prlem934  9214
  Copyright terms: Public domain W3C validator