MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nqenq Structured version   Unicode version

Theorem 1nqenq 9389
Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1nqenq  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  ~Q 
<. A ,  A >. )

Proof of Theorem 1nqenq
StepHypRef Expression
1 enqer 9348 . . 3  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
21a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
3 mulidpi 9313 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
43, 3opeq12d 4193 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  =  <. A ,  A >. )
5 1pi 9310 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
6 mulcanenq 9387 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  <. 1o ,  1o >. )
75, 5, 6mp3an23 1353 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  <. 1o ,  1o >. )
8 df-1nq 9343 . . . 4  |-  1Q  =  <. 1o ,  1o >.
97, 8syl6breqr 4462 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  1Q )
104, 9eqbrtrrd 4444 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  <. A ,  A >.  ~Q  1Q )
112, 10ersym 7381 1  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  ~Q 
<. A ,  A >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1869   <.cop 4003   class class class wbr 4421    X. cxp 4849  (class class class)co 6303   1oc1o 7181    Er wer 7366   N.cnpi 9271    .N cmi 9273    ~Q ceq 9278   1Qc1q 9280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-ni 9299  df-mi 9301  df-enq 9338  df-1nq 9343
This theorem is referenced by:  recmulnq  9391
  Copyright terms: Public domain W3C validator