MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nqenq Structured version   Unicode version

Theorem 1nqenq 9369
Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1nqenq  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  ~Q 
<. A ,  A >. )

Proof of Theorem 1nqenq
StepHypRef Expression
1 enqer 9328 . . 3  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
21a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
3 mulidpi 9293 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
43, 3opeq12d 4166 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  =  <. A ,  A >. )
5 1pi 9290 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
6 mulcanenq 9367 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  <. 1o ,  1o >. )
75, 5, 6mp3an23 1318 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  <. 1o ,  1o >. )
8 df-1nq 9323 . . . 4  |-  1Q  =  <. 1o ,  1o >.
97, 8syl6breqr 4434 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  1Q )
104, 9eqbrtrrd 4416 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  <. A ,  A >.  ~Q  1Q )
112, 10ersym 7359 1  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  ~Q 
<. A ,  A >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   <.cop 3977   class class class wbr 4394    X. cxp 4820  (class class class)co 6277   1oc1o 7159    Er wer 7344   N.cnpi 9251    .N cmi 9253    ~Q ceq 9258   1Qc1q 9260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-ni 9279  df-mi 9281  df-enq 9318  df-1nq 9323
This theorem is referenced by:  recmulnq  9371
  Copyright terms: Public domain W3C validator