Theorem 1nprm 14306

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	|- -. 1 e. Prime

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10542	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
2		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( z e. NN <-> 1 e. NN ) )
3	1, 2	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> z e. NN )
4		nnnn0 10798	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
5		dvds1 14118	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN0 -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
7	6	bicomd 201	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 <-> z || 1 ) )
8	3, 7	biadan2 640	. . . . . . 7 |- ( z = 1 <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
9		elsn 4030	. . . . . . 7 |- ( z e. { 1 } <-> z = 1 )
10		breq1 4442	. . . . . . . 8 |- ( n = z -> ( n || 1 <-> z || 1 ) )
11	10	elrab 3254	. . . . . . 7 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
12	8, 9, 11	3bitr4ri 278	. . . . . 6 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> z e. { 1 } )
13	12	eqriv 2450	. . . . 5 |- { n e. NN | n || 1 } = { 1 }
14		1ex 9580	. . . . . 6 |- 1 e. _V
15	14	ensn1 7572	. . . . 5 |- { 1 } ~~ 1o
16	13, 15	eqbrtri 4458	. . . 4 |- { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o
17		1sdom2 7711	. . . 4 |- 1o ~< 2o
18		ensdomtr 7646	. . . 4 |- ( ( { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o /\ 1o ~< 2o ) -> { n e. NN | n || 1 } ~< 2o )
19	16, 17, 18	mp2an 670	. . 3 |- { n e. NN | n || 1 } ~< 2o
20		sdomnen 7537	. . 3 |- ( { n e. NN | n || 1 } ~< 2o -> -. { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 |- -. { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o
22		isprm 14303	. . 3 |- ( 1 e. Prime <-> ( 1 e. NN /\ { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o ) )
23	1, 22	mpbiran 916	. 2 |- ( 1 e. Prime <-> { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
24	21, 23	mtbir 297	1 |- -. 1 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   {crab 2808   {csn 4016   class class class wbr 4439   1oc1o 7115   2oc2o 7116   ~~ cen 7506   ~< csdm 7508   1c1 9482   NNcn 10531   NN0cn0 10791   || cdvds 14070   Primecprime 14301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-dvds 14071  df-prm 14302

This theorem is referenced by:  isprm2  14309  nprmdvds1  14336  pcmpt  14495  prmlem1a  14676  prmcyg  17095  prmirredlem  18705  bposlem5  23761