Theorem 1nprm 13879

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	|- -. 1 e. Prime

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10437	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
2		eleq1 2523	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( z e. NN <-> 1 e. NN ) )
3	1, 2	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> z e. NN )
4		nnnn0 10690	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
5		dvds1 13692	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN0 -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
7	6	bicomd 201	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 <-> z || 1 ) )
8	3, 7	biadan2 642	. . . . . . 7 |- ( z = 1 <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
9		elsn 3992	. . . . . . 7 |- ( z e. { 1 } <-> z = 1 )
10		breq1 4396	. . . . . . . 8 |- ( n = z -> ( n || 1 <-> z || 1 ) )
11	10	elrab 3217	. . . . . . 7 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
12	8, 9, 11	3bitr4ri 278	. . . . . 6 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> z e. { 1 } )
13	12	eqriv 2447	. . . . 5 |- { n e. NN | n || 1 } = { 1 }
14		1ex 9485	. . . . . 6 |- 1 e. _V
15	14	ensn1 7476	. . . . 5 |- { 1 } ~~ 1o
16	13, 15	eqbrtri 4412	. . . 4 |- { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o
17		1sdom2 7615	. . . 4 |- 1o ~< 2o
18		ensdomtr 7550	. . . 4 |- ( ( { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o /\ 1o ~< 2o ) -> { n e. NN | n || 1 } ~< 2o )
19	16, 17, 18	mp2an 672	. . 3 |- { n e. NN | n || 1 } ~< 2o
20		sdomnen 7441	. . 3 |- ( { n e. NN | n || 1 } ~< 2o -> -. { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 |- -. { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o
22		isprm 13876	. . 3 |- ( 1 e. Prime <-> ( 1 e. NN /\ { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o ) )
23	1, 22	mpbiran 909	. 2 |- ( 1 e. Prime <-> { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
24	21, 23	mtbir 299	1 |- -. 1 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2799   {csn 3978   class class class wbr 4393   1oc1o 7016   2oc2o 7017   ~~ cen 7410   ~< csdm 7412   1c1 9387   NNcn 10426   NN0cn0 10683   || cdivides 13646   Primecprime 13874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-dvds 13647  df-prm 13875

This theorem is referenced by:  isprm2  13882  nprmdvds1  13908  pcmpt  14065  prmlem1a  14245  prmcyg  16483  prmirredlem  18035  prmirredlemOLD  18038  bposlem5  22753