Theorem 1nprm 14567

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	|- -. 1 e. Prime

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10566	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
2		eleq1 2489	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( z e. NN <-> 1 e. NN ) )
3	1, 2	mpbiri 236	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> z e. NN )
4		nnnn0 10822	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
5		dvds1 14291	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN0 -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
7	6	bicomd 204	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 <-> z || 1 ) )
8	3, 7	biadan2 646	. . . . . . 7 |- ( z = 1 <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
9		elsn 3950	. . . . . . 7 |- ( z e. { 1 } <-> z = 1 )
10		breq1 4364	. . . . . . . 8 |- ( n = z -> ( n || 1 <-> z || 1 ) )
11	10	elrab 3166	. . . . . . 7 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
12	8, 9, 11	3bitr4ri 281	. . . . . 6 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> z e. { 1 } )
13	12	eqriv 2420	. . . . 5 |- { n e. NN | n || 1 } = { 1 }
14		1ex 9584	. . . . . 6 |- 1 e. _V
15	14	ensn1 7582	. . . . 5 |- { 1 } ~~ 1o
16	13, 15	eqbrtri 4381	. . . 4 |- { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o
17		1sdom2 7719	. . . 4 |- 1o ~< 2o
18		ensdomtr 7656	. . . 4 |- ( ( { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o /\ 1o ~< 2o ) -> { n e. NN | n || 1 } ~< 2o )
19	16, 17, 18	mp2an 676	. . 3 |- { n e. NN | n || 1 } ~< 2o
20		sdomnen 7547	. . 3 |- ( { n e. NN | n || 1 } ~< 2o -> -. { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 |- -. { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o
22		isprm 14562	. . 3 |- ( 1 e. Prime <-> ( 1 e. NN /\ { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o ) )
23	1, 22	mpbiran 926	. 2 |- ( 1 e. Prime <-> { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
24	21, 23	mtbir 300	1 |- -. 1 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   {crab 2713   {csn 3936   class class class wbr 4361   1oc1o 7125   2oc2o 7126   ~~ cen 7516   ~< csdm 7518   1c1 9486   NNcn 10555   NN0cn0 10815   || cdvds 14243   Primecprime 14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-n0 10816  df-z 10884  df-dvds 14244  df-prm 14561

This theorem is referenced by:  isprm2  14570  nprmdvds1  14588  pcmpt  14775  prmo1  14933  prmlem1a  15016  prmcyg  17466  prmirredlem  19001  bposlem5  24153