MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nprm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 1nprm 14677
Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm  |-  -.  1  e.  Prime

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10647 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
2 eleq1 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  NN  <->  1  e.  NN ) )
31, 2mpbiri 241 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  z  e.  NN )
4 nnnn0 10904 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
5 dvds1 14401 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z 
||  1  <->  z  = 
1 ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  ||  1  <->  z  = 
1 ) )
76bicomd 206 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  <->  z  ||  1 ) )
83, 7biadan2 652 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
9 elsn 3993 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
10 breq1 4418 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  z  ->  (
n  ||  1  <->  z  ||  1 ) )
1110elrab 3207 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
128, 9, 113bitr4ri 286 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  z  e.  {
1 } )
1312eqriv 2458 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  =  {
1 }
14 1ex 9663 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1514ensn1 7658 . . . . 5  |-  { 1 }  ~~  1o
1613, 15eqbrtri 4435 . . . 4  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  1o
17 1sdom2 7796 . . . 4  |-  1o  ~<  2o
18 ensdomtr 7733 . . . 4  |-  ( ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o )
1916, 17, 18mp2an 683 . . 3  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o
20 sdomnen 7623 . . 3  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o 
->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o )
2119, 20ax-mp 5 . 2  |-  -.  {
n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o
22 isprm 14672 . . 3  |-  ( 1  e.  Prime  <->  ( 1  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o ) )
231, 22mpbiran 934 . 2  |-  ( 1  e.  Prime  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  2o )
2421, 23mtbir 305 1  |-  -.  1  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   {crab 2752   {csn 3979   class class class wbr 4415   1oc1o 7200   2oc2o 7201    ~~ cen 7591    ~< csdm 7593   1c1 9565   NNcn 10636   NN0cn0 10897    || cdvds 14353   Primecprime 14670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-dvds 14354  df-prm 14671
This theorem is referenced by:  isprm2  14680  nprmdvds1  14698  pcmpt  14885  prmo1  15043  prmlem1a  15126  prmcyg  17576  prmirredlem  19112  bposlem5  24264
  Copyright terms: Public domain W3C validator