Theorem 1nprm 13769

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	|- 1 e/ Prime

Proof of Theorem 1nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> z e. ZZ)
2		1nn 7117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN
3		dvdsle 13693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. ZZ /\ 1 e. NN) -> (z||1 -> z <_ 1))
4	2, 3	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. ZZ -> (z||1 -> z <_ 1))
5	1, 4	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (z||1 -> z <_ 1))
6		nnge1 7126	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> 1 <_ z)
7	6	a1d 15	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (z||1 -> 1 <_ z))
8	5, 7	jcad 661	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (z||1 -> (z <_ 1 /\ 1 <_ z)))
9		nnre 7112	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> z e. RR)
10		1re 6598	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
11		letri3 6687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR /\ 1 e. RR) -> (z = 1 <-> (z <_ 1 /\ 1 <_ z)))
12	10, 11	mpan2 760	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. RR -> (z = 1 <-> (z <_ 1 /\ 1 <_ z)))
13	9, 12	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (z = 1 <-> (z <_ 1 /\ 1 <_ z)))
14	8, 13	sylibrd 221	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> (z||1 -> z = 1))
15	14	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((z e. NN /\ z||1) -> z = 1)
16		1z 7368	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
17		iddvds 13668	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 e. ZZ -> 1||1)
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- 1||1
19	2, 18	pm3.2i 307	. . . . . . . . . 10 |- (1 e. NN /\ 1||1)
20		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (z = 1 -> (z e. NN <-> 1 e. NN))
21		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (z = 1 -> (z||1 <-> 1||1))
22	20, 21	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (z = 1 -> ((z e. NN /\ z||1) <-> (1 e. NN /\ 1||1)))
23	19, 22	mpbiri 211	. . . . . . . . 9 |- (z = 1 -> (z e. NN /\ z||1))
24	15, 23	impbii 174	. . . . . . . 8 |- ((z e. NN /\ z||1) <-> z = 1)
25		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (n = z -> (n||1 <-> z||1))
26	25	elrab 2414	. . . . . . . 8 |- (z e. {n e. NN | n||1} <-> (z e. NN /\ z||1))
27		elsn 3058	. . . . . . . 8 |- (z e. {1} <-> z = 1)
28	24, 26, 27	3bitr4i 200	. . . . . . 7 |- (z e. {n e. NN | n||1} <-> z e. {1})
29	28	eqriv 1881	. . . . . 6 |- {n e. NN | n||1} = {1}
30	2	elisseti 2301	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
31	30	ensn1 5483	. . . . . 6 |- {1} ~~ 1o
32	29, 31	eqbrtri 3356	. . . . 5 |- {n e. NN | n||1} ~~ 1o
33		1sdom2 5619	. . . . 5 |- 1o ~< 2o
34		ensdomtr 5534	. . . . 5 |- (({n e. NN | n||1} ~~ 1o /\ 1o ~< 2o) -> {n e. NN | n||1} ~< 2o)
35	32, 33, 34	mp2an 761	. . . 4 |- {n e. NN | n||1} ~< 2o
36		sdomnen 5446	. . . 4 |- ({n e. NN | n||1} ~< 2o -> -. {n e. NN | n||1} ~~ 2o)
37	35, 36	ax-mp 7	. . 3 |- -. {n e. NN | n||1} ~~ 2o
38		isprm 13768	. . . 4 |- (1 e. Prime <-> (1 e. NN /\ {n e. NN | n||1} ~~ 2o))
39	38, 2	mpbiran 798	. . 3 |- (1 e. Prime <-> {n e. NN | n||1} ~~ 2o)
40	37, 39	mtbir 209	. 2 |- -. 1 e. Prime
41		df-nel 2020	. 2 |- (1 e/ Prime <-> -. 1 e. Prime)
42	40, 41	mpbir 207	1 |- 1 e/ Prime

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   e/ wnel 2018  {crab 2108  {csn 3044   class class class wbr 3338  1oc1o 5172  2oc2o 5173   ~~ cen 5423   ~< csdm 5425  RRcr 6385  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451  ||cdivides 13662  Primecprime 13766

This theorem is referenced by:  isprm2 13775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-z 7345  df-divides 13663  df-prime 13767

Copyright terms: Public domain