MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nprm Structured version   Unicode version

Theorem 1nprm 14567
Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm  |-  -.  1  e.  Prime

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10566 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
2 eleq1 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  NN  <->  1  e.  NN ) )
31, 2mpbiri 236 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  z  e.  NN )
4 nnnn0 10822 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
5 dvds1 14291 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z 
||  1  <->  z  = 
1 ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  ||  1  <->  z  = 
1 ) )
76bicomd 204 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  <->  z  ||  1 ) )
83, 7biadan2 646 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
9 elsn 3950 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
10 breq1 4364 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  z  ->  (
n  ||  1  <->  z  ||  1 ) )
1110elrab 3166 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
128, 9, 113bitr4ri 281 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  z  e.  {
1 } )
1312eqriv 2420 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  =  {
1 }
14 1ex 9584 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1514ensn1 7582 . . . . 5  |-  { 1 }  ~~  1o
1613, 15eqbrtri 4381 . . . 4  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  1o
17 1sdom2 7719 . . . 4  |-  1o  ~<  2o
18 ensdomtr 7656 . . . 4  |-  ( ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o )
1916, 17, 18mp2an 676 . . 3  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o
20 sdomnen 7547 . . 3  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o 
->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o )
2119, 20ax-mp 5 . 2  |-  -.  {
n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o
22 isprm 14562 . . 3  |-  ( 1  e.  Prime  <->  ( 1  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o ) )
231, 22mpbiran 926 . 2  |-  ( 1  e.  Prime  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  2o )
2421, 23mtbir 300 1  |-  -.  1  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2713   {csn 3936   class class class wbr 4361   1oc1o 7125   2oc2o 7126    ~~ cen 7516    ~< csdm 7518   1c1 9486   NNcn 10555   NN0cn0 10815    || cdvds 14243   Primecprime 14560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-n0 10816  df-z 10884  df-dvds 14244  df-prm 14561
This theorem is referenced by:  isprm2  14570  nprmdvds1  14588  pcmpt  14775  prmo1  14933  prmlem1a  15016  prmcyg  17466  prmirredlem  19001  bposlem5  24153
  Copyright terms: Public domain W3C validator