Theorem 1nprm 14677

Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1nprm	|- -. 1 e. Prime

Proof of Theorem 1nprm

Dummy variables z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10647	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
2		eleq1 2527	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( z e. NN <-> 1 e. NN ) )
3	1, 2	mpbiri 241	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> z e. NN )
4		nnnn0 10904	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
5		dvds1 14401	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN0 -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z e. NN -> ( z || 1 <-> z = 1 ) )
7	6	bicomd 206	. . . . . . . 8 |- ( z e. NN -> ( z = 1 <-> z || 1 ) )
8	3, 7	biadan2 652	. . . . . . 7 |- ( z = 1 <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
9		elsn 3993	. . . . . . 7 |- ( z e. { 1 } <-> z = 1 )
10		breq1 4418	. . . . . . . 8 |- ( n = z -> ( n || 1 <-> z || 1 ) )
11	10	elrab 3207	. . . . . . 7 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> ( z e. NN /\ z || 1 ) )
12	8, 9, 11	3bitr4ri 286	. . . . . 6 |- ( z e. { n e. NN | n || 1 } <-> z e. { 1 } )
13	12	eqriv 2458	. . . . 5 |- { n e. NN | n || 1 } = { 1 }
14		1ex 9663	. . . . . 6 |- 1 e. _V
15	14	ensn1 7658	. . . . 5 |- { 1 } ~~ 1o
16	13, 15	eqbrtri 4435	. . . 4 |- { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o
17		1sdom2 7796	. . . 4 |- 1o ~< 2o
18		ensdomtr 7733	. . . 4 |- ( ( { n e. NN | n || 1 } ~~ 1o /\ 1o ~< 2o ) -> { n e. NN | n || 1 } ~< 2o )
19	16, 17, 18	mp2an 683	. . 3 |- { n e. NN | n || 1 } ~< 2o
20		sdomnen 7623	. . 3 |- ( { n e. NN | n || 1 } ~< 2o -> -. { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
21	19, 20	ax-mp 5	. 2 |- -. { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o
22		isprm 14672	. . 3 |- ( 1 e. Prime <-> ( 1 e. NN /\ { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o ) )
23	1, 22	mpbiran 934	. 2 |- ( 1 e. Prime <-> { n e. NN | n || 1 } ~~ 2o )
24	21, 23	mtbir 305	1 |- -. 1 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   {crab 2752   {csn 3979   class class class wbr 4415   1oc1o 7200   2oc2o 7201   ~~ cen 7591   ~< csdm 7593   1c1 9565   NNcn 10636   NN0cn0 10897   || cdvds 14353   Primecprime 14670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-dvds 14354  df-prm 14671

This theorem is referenced by:  isprm2  14680  nprmdvds1  14698  pcmpt  14885  prmo1  15043  prmlem1a  15126  prmcyg  17576  prmirredlem  19112  bposlem5  24264