MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1ne0sr Structured version   Unicode version

Theorem 1ne0sr 9476
Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1ne0sr  |-  -.  1R  =  0R

Proof of Theorem 1ne0sr
StepHypRef Expression
1 ltsosr 9474 . . 3  |-  <R  Or  R.
2 1sr 9461 . . 3  |-  1R  e.  R.
3 sonr 4811 . . 3  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  1R  e.  R. )  ->  -.  1R  <R  1R )
41, 2, 3mp2an 672 . 2  |-  -.  1R  <R  1R
5 0lt1sr 9475 . . 3  |-  0R  <R  1R
6 breq1 4440 . . 3  |-  ( 1R  =  0R  ->  ( 1R  <R  1R  <->  0R  <R  1R )
)
75, 6mpbiri 233 . 2  |-  ( 1R  =  0R  ->  1R  <R  1R )
84, 7mto 176 1  |-  -.  1R  =  0R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437    Or wor 4789   R.cnr 9246   0Rc0r 9247   1Rc1r 9248    <R cltr 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-ni 9253  df-pli 9254  df-mi 9255  df-lti 9256  df-plpq 9289  df-mpq 9290  df-ltpq 9291  df-enq 9292  df-nq 9293  df-erq 9294  df-plq 9295  df-mq 9296  df-1nq 9297  df-rq 9298  df-ltnq 9299  df-np 9362  df-1p 9363  df-plp 9364  df-ltp 9366  df-enr 9436  df-nr 9437  df-ltr 9440  df-0r 9441  df-1r 9442
This theorem is referenced by:  ax1ne0  9540
  Copyright terms: Public domain W3C validator