MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1mod Structured version   Unicode version

Theorem 1mod 12009
Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
1mod  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
( 1  mod  N
)  =  1 )

Proof of Theorem 1mod
StepHypRef Expression
1 0lt1 10082 . . . . . 6  |-  0  <  1
2 0re 9599 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 9598 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4 lttr 9664 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  N )  ->  0  <  N
) )
52, 3, 4mp3an12 1315 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  N )  ->  0  <  N
) )
61, 5mpani 676 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
1  <  N  ->  0  <  N ) )
76imdistani 690 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
8 elrp 11232 . . . 4  |-  ( N  e.  RR+  <->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
97, 8sylibr 212 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  ->  N  e.  RR+ )
109, 3jctil 537 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
)
11 simpr 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
12 0le1 10083 . . 3  |-  0  <_  1
1311, 12jctil 537 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
( 0  <_  1  /\  1  <  N ) )
14 modid 12001 . 2  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  N ) )  ->  ( 1  mod  N )  =  1 )
1510, 13, 14syl2anc 661 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
( 1  mod  N
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    < clt 9631    <_ cle 9632   RR+crp 11230    mod cmo 11977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fl 11910  df-mod 11978
This theorem is referenced by:  modprm1div  14305  pockthlem  14404  pockthi  14406  sylow3lem6  16630  wilthlem1  23318  lgslem4  23550  lgsne0  23584  numclwwlk5  25088  numclwwlk7  25090
  Copyright terms: Public domain W3C validator