Theorem 1mavmul 18919

Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	|- A = ( N Mat R )
1mavmul.b	|- B = ( Base ` R )
1mavmul.t	|- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
1mavmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
1mavmul.n	|- ( ph -> N e. Fin )
1mavmul.y	|- ( ph -> Y e. ( B ^m N ) )

Assertion

Ref	Expression
1mavmul	|- ( ph -> ( ( 1r ` A ) .x. Y ) = Y )

Proof of Theorem 1mavmul

Dummy variables i j x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . 3 |- A = ( N Mat R )
2		1mavmul.t	. . 3 |- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
3		1mavmul.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
4		eqid 2467	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		1mavmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
6		1mavmul.n	. . 3 |- ( ph -> N e. Fin )
7		eqid 2467	. . . . 5 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
8	1	fveq2i 5875	. . . . 5 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` ( N Mat R ) )
9	1, 7, 8	mat1bas 18820	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( 1r ` A ) e. ( Base ` A ) )
10	5, 6, 9	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( 1r ` A ) e. ( Base ` A ) )
11		1mavmul.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( B ^m N ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mavmulval 18916	. 2 |- ( ph -> ( ( 1r ` A ) .x. Y ) = ( i e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) )
13		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
14		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
15	1, 13, 14	mat1 18818	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
16	6, 5, 15	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1r ` A ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
17	16	proplem3 14963	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( i ( 1r ` A ) j ) = ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) )
18	17	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
19	18	mpteq2dv 4540	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) )
20	19	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) )
21		eqidd 2468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
22		eqeq12 2486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x = y <-> i = j ) )
23	22	ifbid 3967	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
24	23	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ ( x = i /\ y = j ) ) -> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
25		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> i e. N )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> i e. N )
27		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> j e. N )
28		fvex 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` R ) e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( 1r ` R ) e. _V )
30		fvex 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
32	29, 31	ifcld 3988	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. _V )
33	21, 24, 26, 27, 32	ovmpt2d 6425	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) = if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
34	33	oveq1d 6310	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
35		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
37	36	oveq1d 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
38	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> R e. Ring )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> R e. Ring )
40		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) e. _V
41	3, 40	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B e. _V
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. _V )
43		elmapg 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. _V /\ N e. Fin ) -> ( Y e. ( B ^m N ) <-> Y : N --> B ) )
44	42, 6, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Y e. ( B ^m N ) <-> Y : N --> B ) )
45		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y : N --> B /\ j e. N ) -> ( Y ` j ) e. B )
46	45	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y : N --> B -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
47	44, 46	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Y e. ( B ^m N ) -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) ) )
48	11, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
50	49	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( Y ` j ) e. B )
51	3, 4, 13	ringlidm 17094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` j ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( Y ` j ) )
52	39, 50, 51	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( Y ` j ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( Y ` j ) )
54		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( Y ` j ) = ( Y ` i ) )
55	54	equcoms 1744	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( Y ` j ) = ( Y ` i ) )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( Y ` j ) = ( Y ` i ) )
57	37, 53, 56	3eqtrd 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( Y ` i ) )
58		iftrue 3951	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( Y ` i ) )
59	58	equcoms 1744	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( Y ` i ) )
60	59	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( Y ` i ) )
61	57, 60	eqtr4d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
62		iffalse 3954	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. i = j -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
63	62	oveq1d 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. i = j -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
65	3, 4, 14	ringlz 17107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` j ) e. B ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( 0g ` R ) )
66	39, 50, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( 0g ` R ) )
67	66	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( 0g ` R ) )
68		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j <-> j = i )
69		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. j = i -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
70	68, 69	sylnbi 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. i = j -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
71	70	eqcomd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( -. i = j -> ( 0g ` R ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( 0g ` R ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
73	64, 67, 72	3eqtrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( -. i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
74	61, 73	pm2.61ian 788	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
75	34, 74	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
76	75	mpteq2dva 4539	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( j e. N |-> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) = ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) ) )
77	76	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
78		ringmnd 17079	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
79	5, 78	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Mnd )
80	79	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> R e. Mnd )
81	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> N e. Fin )
82		eqid 2467	. . . . 5 |- ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
83		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y : N --> B /\ i e. N ) -> ( Y ` i ) e. B )
84	83, 3	syl6eleq 2565	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y : N --> B /\ i e. N ) -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) )
85	84	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( Y : N --> B -> ( i e. N -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) ) )
86	44, 85	syl6bi 228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y e. ( B ^m N ) -> ( i e. N -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) ) ) )
87	11, 86	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( i e. N -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) ) )
88	87	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) )
89	14, 80, 81, 25, 82, 88	gsummptif1n0 16866	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( Y ` i ) )
90	20, 77, 89	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( Y ` i ) )
91	90	mpteq2dva 4539	. 2 |- ( ph -> ( i e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) = ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) )
92		ffn 5737	. . . . 5 |- ( Y : N --> B -> Y Fn N )
93	44, 92	syl6bi 228	. . . 4 |- ( ph -> ( Y e. ( B ^m N ) -> Y Fn N ) )
94	11, 93	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> Y Fn N )
95		eqcom 2476	. . . 4 |- ( ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) = Y <-> Y = ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) )
96		dffn5 5919	. . . 4 |- ( Y Fn N <-> Y = ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) )
97	95, 96	bitr4i 252	. . 3 |- ( ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) = Y <-> Y Fn N )
98	94, 97	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) = Y )
99	12, 91, 98	3eqtrd 2512	1 |- ( ph -> ( ( 1r ` A ) .x. Y ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3118   ifcif 3945   <.cop 4039   |-> cmpt 4511   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   ^m cmap 7432   Fincfn 7528   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   0gc0g 14712   gsum_g cgsu 14713   Mndcmnd 15793   1rcur 17025   Ringcrg 17070   Mat cmat 18778   maVecMul cmvmul 18911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mamu 18755  df-mat 18779  df-mvmul 18912

This theorem is referenced by:  slesolinv  19051  slesolinvbi  19052