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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 1mavmul | Structured version Unicode version |
Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
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1mavmul.a |
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1mavmul.b |
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1mavmul.t |
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1mavmul.r |
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1mavmul.n |
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1mavmul.y |
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Ref | Expression |
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1mavmul |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 1mavmul.a |
. . 3
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2 | 1mavmul.t |
. . 3
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3 | 1mavmul.b |
. . 3
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4 | eqid 2454 |
. . 3
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5 | 1mavmul.r |
. . 3
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6 | 1mavmul.n |
. . 3
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7 | eqid 2454 |
. . . . 5
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8 | 1 | fveq2i 5805 |
. . . . 5
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9 | 1, 7, 8 | mat1bas 18473 |
. . . 4
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10 | 5, 6, 9 | syl2anc 661 |
. . 3
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11 | 1mavmul.y |
. . 3
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12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11 | mavmulval 18493 |
. 2
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13 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . 10
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14 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 1, 13, 14 | mat1 18471 |
. . . . . . . . 9
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16 | 6, 5, 15 | syl2anc 661 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | proplem3 14752 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | oveq1d 6218 |
. . . . . 6
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19 | 18 | mpteq2dv 4490 |
. . . . 5
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20 | 19 | oveq2d 6219 |
. . . 4
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21 | eqidd 2455 |
. . . . . . . . 9
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22 | eqeq12 2473 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | ifbid 3922 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 23 | adantl 466 |
. . . . . . . . 9
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25 | simpr 461 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 25 | adantr 465 |
. . . . . . . . 9
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27 | simpr 461 |
. . . . . . . . 9
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28 | fvex 5812 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
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30 | fvex 5812 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 29, 31 | ifcld 3943 |
. . . . . . . . 9
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33 | 21, 24, 26, 27, 32 | ovmpt2d 6331 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | oveq1d 6218 |
. . . . . . 7
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35 | iftrue 3908 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | oveq1d 6218 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 5 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 38 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | fvex 5812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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41 | 3, 40 | eqeltri 2538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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43 | elmapg 7340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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44 | 42, 6, 43 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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45 | ffvelrn 5953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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46 | 45 | ex 434 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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47 | 44, 46 | syl6bi 228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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48 | 11, 47 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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49 | 48 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 49 | imp 429 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 3, 4, 13 | rnglidm 16801 |
. . . . . . . . . . . 12
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52 | 39, 50, 51 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 52 | adantl 466 |
. . . . . . . . . 10
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54 | fveq2 5802 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 54 | equcoms 1735 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 55 | adantr 465 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 37, 53, 56 | 3eqtrd 2499 |
. . . . . . . . 9
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58 | iftrue 3908 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | 58 | equcoms 1735 |
. . . . . . . . . 10
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60 | 59 | adantr 465 |
. . . . . . . . 9
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61 | 57, 60 | eqtr4d 2498 |
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62 | iffalse 3910 |
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63 | 62 | oveq1d 6218 |
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64 | 63 | adantr 465 |
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65 | 3, 4, 14 | rnglz 16814 |
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66 | 39, 50, 65 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 66 | adantl 466 |
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68 | eqcom 2463 |
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69 | iffalse 3910 |
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70 | 68, 69 | sylnbi 306 |
. . . . . . . . . . 11
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71 | 70 | eqcomd 2462 |
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72 | 71 | adantr 465 |
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73 | 64, 67, 72 | 3eqtrd 2499 |
. . . . . . . 8
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74 | 61, 73 | pm2.61ian 788 |
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75 | 34, 74 | eqtrd 2495 |
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76 | 75 | mpteq2dva 4489 |
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77 | 76 | oveq2d 6219 |
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78 | rngmnd 16787 |
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79 | 5, 78 | syl 16 |
. . . . . 6
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80 | 79 | adantr 465 |
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81 | 6 | adantr 465 |
. . . . 5
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82 | eqid 2454 |
. . . . 5
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83 | ffvelrn 5953 |
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84 | 83, 3 | syl6eleq 2552 |
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85 | 84 | ex 434 |
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86 | 44, 85 | syl6bi 228 |
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87 | 11, 86 | mpd 15 |
. . . . . 6
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88 | 87 | imp 429 |
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89 | 14, 80, 81, 25, 82, 88 | gsummptif1n0 16589 |
. . . 4
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90 | 20, 77, 89 | 3eqtrd 2499 |
. . 3
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91 | 90 | mpteq2dva 4489 |
. 2
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92 | ffn 5670 |
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93 | 44, 92 | syl6bi 228 |
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94 | 11, 93 | mpd 15 |
. . 3
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95 | eqcom 2463 |
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96 | dffn5 5849 |
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97 | 95, 96 | bitr4i 252 |
. . 3
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98 | 94, 97 | sylibr 212 |
. 2
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99 | 12, 91, 98 | 3eqtrd 2499 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4532 ax-pow 4581 ax-pr 4642 ax-un 6485 ax-inf2 7962 ax-cnex 9453 ax-resscn 9454 ax-1cn 9455 ax-icn 9456 ax-addcl 9457 ax-addrcl 9458 ax-mulcl 9459 ax-mulrcl 9460 ax-mulcom 9461 ax-addass 9462 ax-mulass 9463 ax-distr 9464 ax-i2m1 9465 ax-1ne0 9466 ax-1rid 9467 ax-rnegex 9468 ax-rrecex 9469 ax-cnre 9470 ax-pre-lttri 9471 ax-pre-lttrn 9472 ax-pre-ltadd 9473 ax-pre-mulgt0 9474 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-fal 1376 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2650 df-nel 2651 df-ral 2804 df-rex 2805 df-reu 2806 df-rmo 2807 df-rab 2808 df-v 3080 df-sbc 3295 df-csb 3399 df-dif 3442 df-un 3444 df-in 3446 df-ss 3453 df-pss 3455 df-nul 3749 df-if 3903 df-pw 3973 df-sn 3989 df-pr 3991 df-tp 3993 df-op 3995 df-ot 3997 df-uni 4203 df-int 4240 df-iun 4284 df-iin 4285 df-br 4404 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4497 df-eprel 4743 df-id 4747 df-po 4752 df-so 4753 df-fr 4790 df-se 4791 df-we 4792 df-ord 4833 df-on 4834 df-lim 4835 df-suc 4836 df-xp 4957 df-rel 4958 df-cnv 4959 df-co 4960 df-dm 4961 df-rn 4962 df-res 4963 df-ima 4964 df-iota 5492 df-fun 5531 df-fn 5532 df-f 5533 df-f1 5534 df-fo 5535 df-f1o 5536 df-fv 5537 df-isom 5538 df-riota 6164 df-ov 6206 df-oprab 6207 df-mpt2 6208 df-of 6433 df-om 6590 df-1st 6690 df-2nd 6691 df-supp 6804 df-recs 6945 df-rdg 6979 df-1o 7033 df-oadd 7037 df-er 7214 df-map 7329 df-ixp 7377 df-en 7424 df-dom 7425 df-sdom 7426 df-fin 7427 df-fsupp 7735 df-sup 7806 df-oi 7839 df-card 8224 df-pnf 9535 df-mnf 9536 df-xr 9537 df-ltxr 9538 df-le 9539 df-sub 9712 df-neg 9713 df-nn 10438 df-2 10495 df-3 10496 df-4 10497 df-5 10498 df-6 10499 df-7 10500 df-8 10501 df-9 10502 df-10 10503 df-n0 10695 df-z 10762 df-dec 10871 df-uz 10977 df-fz 11559 df-fzo 11670 df-seq 11928 df-hash 12225 df-struct 14298 df-ndx 14299 df-slot 14300 df-base 14301 df-sets 14302 df-ress 14303 df-plusg 14374 df-mulr 14375 df-sca 14377 df-vsca 14378 df-ip 14379 df-tset 14380 df-ple 14381 df-ds 14383 df-hom 14385 df-cco 14386 df-0g 14503 df-gsum 14504 df-prds 14509 df-pws 14511 df-mre 14647 df-mrc 14648 df-acs 14650 df-mnd 15538 df-mhm 15587 df-submnd 15588 df-grp 15668 df-minusg 15669 df-sbg 15670 df-mulg 15671 df-subg 15801 df-ghm 15868 df-cntz 15958 df-cmn 16404 df-abl 16405 df-mgp 16724 df-ur 16736 df-rng 16780 df-subrg 16996 df-lmod 17083 df-lss 17147 df-sra 17386 df-rgmod 17387 df-dsmm 18292 df-frlm 18307 df-mamu 18416 df-mat 18417 df-mvmul 18489 |
This theorem is referenced by: slesolinv 18628 slesolinvbi 18629 |
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