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Theorem 1mavmul 18496
Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
1mavmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
1mavmul.t  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
1mavmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1mavmul.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
1mavmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
Assertion
Ref Expression
1mavmul  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  A )  .x.  Y
)  =  Y )

Proof of Theorem 1mavmul
Dummy variables  i 
j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 1mavmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
3 1mavmul.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 1mavmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6 1mavmul.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
81fveq2i 5805 . . . . 5  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  ( N Mat  R ) )
91, 7, 8mat1bas 18473 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( 1r `  A )  e.  ( Base `  A
) )
105, 6, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  e.  ( Base `  A ) )
11 1mavmul.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  N ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mavmulval 18493 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  A )  .x.  Y
)  =  ( i  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( 1r `  A ) j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) ) ) )
13 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
14 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
151, 13, 14mat1 18471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
166, 5, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
1716proplem3 14752 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
i ( 1r `  A ) j )  =  ( i ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) j ) )
1817oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
( i ( 1r
`  A ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )
1918mpteq2dv 4490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  |->  ( ( i ( 1r
`  A ) j ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )
2019oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( 1r `  A ) j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) ) ) )
21 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
22 eqeq12 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  =  y  <-> 
i  =  j ) )
2322ifbid 3922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  if ( x  =  y ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  =  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
2423adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
)  /\  ( x  =  i  /\  y  =  j ) )  ->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( i  =  j ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  i  e.  N )
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
27 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
28 fvex 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( 1r `  R )  e. 
_V )
30 fvex 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
3229, 31ifcld 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  _V )
3321, 24, 26, 27, 32ovmpt2d 6331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) j )  =  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
3433oveq1d 6218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) )  =  ( if ( i  =  j ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) )
35 iftrue 3908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3736oveq1d 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )
385adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
40 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  R )  e.  _V
413, 40eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
43 elmapg 7340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  _V  /\  N  e.  Fin )  ->  ( Y  e.  ( B  ^m  N )  <-> 
Y : N --> B ) )
4442, 6, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( B  ^m  N )  <-> 
Y : N --> B ) )
45 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y : N --> B  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j
)  e.  B )
4645ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y : N --> B  -> 
( j  e.  N  ->  ( Y `  j
)  e.  B ) )
4744, 46syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( B  ^m  N )  ->  ( j  e.  N  ->  ( Y `  j )  e.  B
) ) )
4811, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( j  e.  N  ->  ( Y `  j
)  e.  B ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  -> 
( Y `  j
)  e.  B ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( Y `  j )  e.  B )
513, 4, 13rnglidm 16801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  j )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( Y `  j ) )
5239, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( Y `  j ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( Y `  j ) )
54 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  ( Y `  j )  =  ( Y `  i ) )
5554equcoms 1735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  ( Y `  j )  =  ( Y `  i ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( Y `  j )  =  ( Y `  i ) )
5737, 53, 563eqtrd 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( Y `  i ) )
58 iftrue 3908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( Y `
 i ) )
5958equcoms 1735 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( Y `
 i ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( Y `
 i ) )
6157, 60eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) ) )
62 iffalse 3910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  i  =  j  ->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
6362oveq1d 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  i  =  j  -> 
( if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) )  =  ( ( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( ( 0g
`  R ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )
653, 4, 14rnglz 16814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  j )  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( 0g `  R ) )
6639, 50, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( 0g `  R ) )
6766adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  ( 0g `  R ) )
68 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  <->  j  =  i )
69 iffalse 3910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  j  =  i  ->  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7068, 69sylnbi 306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  i  =  j  ->  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
7170eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  i  =  j  -> 
( 0g `  R
)  =  if ( j  =  i ,  ( Y `  i
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( 0g `  R )  =  if ( j  =  i ,  ( Y `
 i ) ,  ( 0g `  R
) ) )
7364, 67, 723eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  i  =  j  /\  ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N
) )  ->  ( if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) ) )
7461, 73pm2.61ian 788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  ( if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 j ) )  =  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) ) )
7534, 74eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  N )  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) )  =  if ( j  =  i ,  ( Y `  i ) ,  ( 0g `  R ) ) )
7675mpteq2dva 4489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  |->  ( ( i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) j ) ( .r `  R ) ( Y `  j
) ) )  =  ( j  e.  N  |->  if ( j  =  i ,  ( Y `
 i ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )
7776oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) j ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  if ( j  =  i ,  ( Y `
 i ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
78 rngmnd 16787 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
795, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8079adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  R  e.  Mnd )
816adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
82 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( j  e.  N  |->  if ( j  =  i ,  ( Y `  i
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  if ( j  =  i ,  ( Y `  i
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
83 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y : N --> B  /\  i  e.  N )  ->  ( Y `  i
)  e.  B )
8483, 3syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y : N --> B  /\  i  e.  N )  ->  ( Y `  i
)  e.  ( Base `  R ) )
8584ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( Y : N --> B  -> 
( i  e.  N  ->  ( Y `  i
)  e.  ( Base `  R ) ) )
8644, 85syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( B  ^m  N )  ->  ( i  e.  N  ->  ( Y `  i )  e.  (
Base `  R )
) ) )
8711, 86mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N  ->  ( Y `  i
)  e.  ( Base `  R ) ) )
8887imp 429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( Y `  i )  e.  ( Base `  R
) )
8914, 80, 81, 25, 82, 88gsummptif1n0 16589 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  if ( j  =  i ,  ( Y `
 i ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( Y `  i ) )
9020, 77, 893eqtrd 2499 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( 1r `  A ) j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) )  =  ( Y `  i
) )
9190mpteq2dva 4489 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( 1r `  A ) j ) ( .r
`  R ) ( Y `  j ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N  |->  ( Y `  i ) ) )
92 ffn 5670 . . . . 5  |-  ( Y : N --> B  ->  Y  Fn  N )
9344, 92syl6bi 228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( B  ^m  N )  ->  Y  Fn  N
) )
9411, 93mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  Fn  N )
95 eqcom 2463 . . . 4  |-  ( ( i  e.  N  |->  ( Y `  i ) )  =  Y  <->  Y  =  ( i  e.  N  |->  ( Y `  i
) ) )
96 dffn5 5849 . . . 4  |-  ( Y  Fn  N  <->  Y  =  ( i  e.  N  |->  ( Y `  i
) ) )
9795, 96bitr4i 252 . . 3  |-  ( ( i  e.  N  |->  ( Y `  i ) )  =  Y  <->  Y  Fn  N )
9894, 97sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N  |->  ( Y `  i
) )  =  Y )
9912, 91, 983eqtrd 2499 1  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  A )  .x.  Y
)  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ifcif 3902   <.cop 3994    |-> cmpt 4461    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14296   .rcmulr 14362   0gc0g 14501    gsumg cgsu 14502   Mndcmnd 15532   1rcur 16735   Ringcrg 16778   Mat cmat 18415   maVecMul cmvmul 18488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-prds 14509  df-pws 14511  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-subrg 16996  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-dsmm 18292  df-frlm 18307  df-mamu 18416  df-mat 18417  df-mvmul 18489
This theorem is referenced by:  slesolinv  18628  slesolinvbi  18629
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