MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1marepvsma1 Structured version   Unicode version

Theorem 1marepvsma1 19543
Description: The submatrix of the identity matrix with the ith column replaced by the vector obtained by removing the ith row and the ith column is an identity matrix. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1marepvsma1.v  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
1marepvsma1.1  |-  .1.  =  ( 1r `  ( N Mat 
R ) )
1marepvsma1.x  |-  X  =  ( (  .1.  ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )
Assertion
Ref Expression
1marepvsma1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
I ( ( N subMat  R ) `  X
) I )  =  ( 1r `  (
( N  \  {
I } ) Mat  R
) ) )

Proof of Theorem 1marepvsma1
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1marepvsma1.x . . . . . 6  |-  X  =  ( (  .1.  ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )
21oveqi 6318 . . . . 5  |-  ( i X j )  =  ( i ( (  .1.  ( N matRepV  R
) Z ) `  I ) j )
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
( i X j )  =  ( i ( (  .1.  ( N matRepV  R ) Z ) `
 I ) j ) )
4 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
5 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
6 1marepvsma1.1 . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  ( N Mat 
R ) )
74, 5, 6mat1bas 19409 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  .1.  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
87adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  .1.  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
9 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  Z  e.  V )
10 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  I  e.  N )
118, 9, 103jca 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (  .1.  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  /\  Z  e.  V  /\  I  e.  N )
)
12113ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
(  .1.  e.  (
Base `  ( N Mat  R ) )  /\  Z  e.  V  /\  I  e.  N ) )
13 eldifi 3593 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  i  e.  N
)
14 eldifi 3593 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( N  \  { I } )  ->  j  e.  N
)
1513, 14anim12i 568 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
16153adant1 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
17 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( N matRepV  R )  =  ( N matRepV  R )
18 1marepvsma1.v . . . . . 6  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
194, 5, 17, 18marepveval 19528 . . . . 5  |-  ( ( (  .1.  e.  (
Base `  ( N Mat  R ) )  /\  Z  e.  V  /\  I  e.  N )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( (  .1.  ( N matRepV  R ) Z ) `
 I ) j )  =  if ( j  =  I ,  ( Z `  i
) ,  ( i  .1.  j ) ) )
2012, 16, 19syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
( i ( (  .1.  ( N matRepV  R
) Z ) `  I ) j )  =  if ( j  =  I ,  ( Z `  i ) ,  ( i  .1.  j ) ) )
21 eldifsni 4129 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( N  \  { I } )  ->  j  =/=  I
)
2221neneqd 2632 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( N  \  { I } )  ->  -.  j  =  I )
23223ad2ant3 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  ->  -.  j  =  I
)
2423iffalsed 3926 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  ->  if ( j  =  I ,  ( Z `  i ) ,  ( i  .1.  j ) )  =  ( i  .1.  j ) )
25 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
26 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
27 simp1lr 1069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  ->  N  e.  Fin )
28 simp1ll 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  ->  R  e.  Ring )
29133ad2ant2 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
i  e.  N )
30143ad2ant3 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
j  e.  N )
314, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 6mat1ov 19408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
( i  .1.  j
)  =  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
3224, 31eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  ->  if ( j  =  I ,  ( Z `  i ) ,  ( i  .1.  j ) )  =  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
333, 20, 323eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V ) )  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  ( N  \  { I } ) )  -> 
( i X j )  =  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
3433mpt2eq3dva 6369 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
i  e.  ( N 
\  { I }
) ,  j  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( i X j ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  ( N  \  { I } )  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
354, 5, 18, 6ma1repvcl 19530 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( Z  e.  V  /\  I  e.  N
) )  ->  (
(  .1.  ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
3635ancom2s 809 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
(  .1.  ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
371, 36syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  X  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
38 eqid 2429 . . . 4  |-  ( N subMat  R )  =  ( N subMat  R )
394, 38, 5submaval 19541 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  /\  I  e.  N  /\  I  e.  N )  ->  (
I ( ( N subMat  R ) `  X
) I )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( i X j ) ) )
4037, 10, 10, 39syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
I ( ( N subMat  R ) `  X
) I )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( i X j ) ) )
41 diffi 7809 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { I }
)  e.  Fin )
4241anim2i 571 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( N  \  { I }
)  e.  Fin )
)
4342ancomd 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( N  \  {
I } )  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring ) )
4443adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
( N  \  {
I } )  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring ) )
45 eqid 2429 . . . 4  |-  ( ( N  \  { I } ) Mat  R )  =  ( ( N 
\  { I }
) Mat  R )
4645, 25, 26mat1 19407 . . 3  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( 1r `  ( ( N  \  { I } ) Mat 
R ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  if ( i  =  j ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )
4744, 46syl 17 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  ( 1r `  ( ( N 
\  { I }
) Mat  R ) )  =  ( i  e.  ( N  \  {
I } ) ,  j  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  if ( i  =  j ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
4834, 40, 473eqtr4d 2480 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
I ( ( N subMat  R ) `  X
) I )  =  ( 1r `  (
( N  \  {
I } ) Mat  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    \ cdif 3439   ifcif 3915   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   Basecbs 15084   0gc0g 15301   1rcur 17674   Ringcrg 17719   Mat cmat 19367   matRepV cmatrepV 19517   subMat csubma 19536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-sca 15169  df-vsca 15170  df-ip 15171  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-hom 15177  df-cco 15178  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-prds 15309  df-pws 15311  df-mre 15447  df-mrc 15448  df-acs 15450  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-mhm 16537  df-submnd 16538  df-grp 16628  df-minusg 16629  df-sbg 16630  df-mulg 16631  df-subg 16769  df-ghm 16836  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-abl 17372  df-mgp 17663  df-ur 17675  df-ring 17721  df-subrg 17945  df-lmod 18032  df-lss 18095  df-sra 18334  df-rgmod 18335  df-dsmm 19230  df-frlm 19245  df-mamu 19344  df-mat 19368  df-marepv 19519  df-subma 19537
This theorem is referenced by:  cramerimplem1  19643
  Copyright terms: Public domain W3C validator