Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1marepvmarrepid Structured version   Unicode version

Theorem 1marepvmarrepid 19054
 Description: Replacing the ith row by 0's and the ith component of a (column) vector at the diagonal position for the identity matrix with the ith column replaced by the vector results in the matrix itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvmarrep1.v
marepvmarrep1.o Mat
marepvmarrep1.x matRepV
Assertion
Ref Expression
1marepvmarrepid matRRep

Proof of Theorem 1marepvmarrepid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marepvmarrep1.x . . . 4 matRepV
2 eqid 2443 . . . . . 6 Mat Mat
3 eqid 2443 . . . . . 6 Mat Mat
4 marepvmarrep1.v . . . . . 6
5 marepvmarrep1.o . . . . . 6 Mat
62, 3, 4, 5ma1repvcl 19049 . . . . 5 matRepV Mat
76ancom2s 802 . . . 4 matRepV Mat
81, 7syl5eqel 2535 . . 3 Mat
9 elmapi 7442 . . . . . . 7
10 ffvelrn 6014 . . . . . . . 8
1110ex 434 . . . . . . 7
129, 11syl 16 . . . . . 6
1312, 4eleq2s 2551 . . . . 5
1413impcom 430 . . . 4
16 simpl 457 . . . 4
18 eqid 2443 . . . 4 matRRep matRRep
19 eqid 2443 . . . 4
202, 3, 18, 19marrepval 19041 . . 3 Mat matRRep
218, 15, 17, 17, 20syl22anc 1230 . 2 matRRep
22 iftrue 3932 . . . . . 6
2322adantr 465 . . . . 5
24 iftrue 3932 . . . . . . . 8
2524adantr 465 . . . . . . 7
26 iftrue 3932 . . . . . . . 8
27 fveq2 5856 . . . . . . . . 9
2827adantr 465 . . . . . . . 8
2926, 28sylan9eq 2504 . . . . . . 7
3025, 29eqtr4d 2487 . . . . . 6
31 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
34333ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11
35 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
37363ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11
38 simp2 998 . . . . . . . . . . 11
39 simp3 999 . . . . . . . . . . 11
402, 31, 19, 34, 37, 38, 39, 5mat1ov 18927 . . . . . . . . . 10
4140adantl 466 . . . . . . . . 9
4241adantl 466 . . . . . . . 8
43 eqtr2 2470 . . . . . . . . . . . . . 14
4443eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . 13
4544ex 434 . . . . . . . . . . . 12
4645con3d 133 . . . . . . . . . . 11
4746adantr 465 . . . . . . . . . 10
4847impcom 430 . . . . . . . . 9
49 iffalse 3935 . . . . . . . . 9
5048, 49syl 16 . . . . . . . 8
5142, 50eqtrd 2484 . . . . . . 7
52 iffalse 3935 . . . . . . . 8
5352adantr 465 . . . . . . 7
54 iffalse 3935 . . . . . . . 8
5554adantr 465 . . . . . . 7
5651, 53, 553eqtr4rd 2495 . . . . . 6
5730, 56pm2.61ian 790 . . . . 5
5823, 57eqtrd 2484 . . . 4
59 iffalse 3935 . . . . . 6
6059adantr 465 . . . . 5
612, 3, 5mat1bas 18928 . . . . . . . . . . 11 Mat
6261adantr 465 . . . . . . . . . 10 Mat
63 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
6463adantl 466 . . . . . . . . . 10
6562, 64, 173jca 1177 . . . . . . . . 9 Mat
66653ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 Mat
67 3simpc 996 . . . . . . . 8
6837, 66, 673jca 1177 . . . . . . 7 Mat
6968adantl 466 . . . . . 6 Mat
702, 3, 4, 5, 19, 1ma1repveval 19050 . . . . . 6 Mat
7169, 70syl 16 . . . . 5
7234ad2antlr 726 . . . . . . . 8
7337ad2antlr 726 . . . . . . . 8
7438ad2antlr 726 . . . . . . . 8
7539ad2antlr 726 . . . . . . . 8
762, 31, 19, 72, 73, 74, 75, 5mat1ov 18927 . . . . . . 7
77 equcom 1780 . . . . . . . . 9
7877a1i 11 . . . . . . . 8
7978ifbid 3948 . . . . . . 7
8076, 79eqtr2d 2485 . . . . . 6
8180ifeq2da 3957 . . . . 5
8260, 71, 813eqtrd 2488 . . . 4
8358, 82pm2.61ian 790 . . 3
8483mpt2eq3dva 6346 . 2
85 eqid 2443 . . . . 5 matRepV matRepV
862, 3, 85, 4marepvval 19046 . . . 4 Mat matRepV
8765, 86syl 16 . . 3 matRepV
881, 87syl5req 2497 . 2
8921, 84, 883eqtrd 2488 1 matRRep
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cif 3926  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283   cmap 7422  cfn 7518  cbs 14613  c0g 14818  cur 17131  crg 17176   Mat cmat 18886   matRRep cmarrep 19035   matRepV cmatrepV 19036 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-prds 14826  df-pws 14828  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mulg 16038  df-subg 16176  df-ghm 16243  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-dsmm 18740  df-frlm 18755  df-mamu 18863  df-mat 18887  df-marrep 19037  df-marepv 19038 This theorem is referenced by:  cramerimplem1  19162
 Copyright terms: Public domain W3C validator