MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Structured version   Unicode version

Theorem 1lt2pi 9178
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 7181 . . . . 5  |-  1o  e.  om
2 nna0 7146 . . . . 5  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  +o  (/) )  =  1o )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  =  1o
4 0lt1o 7047 . . . . 5  |-  (/)  e.  1o
5 peano1 6598 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 nnaord 7161 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  1o  e.  om  /\  1o  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o ) ) )
75, 1, 1, 6mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o 
+o  1o ) )
84, 7mpbi 208 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o )
93, 8eqeltrri 2536 . . 3  |-  1o  e.  ( 1o  +o  1o )
10 1pi 9156 . . . 4  |-  1o  e.  N.
11 addpiord 9157 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  =  ( 1o  +o  1o ) )
1210, 10, 11mp2an 672 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  =  ( 1o  +o  1o )
139, 12eleqtrri 2538 . 2  |-  1o  e.  ( 1o  +N  1o )
14 addclpi 9165 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  e.  N. )
1510, 10, 14mp2an 672 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  e. 
N.
16 ltpiord 9160 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  ( 1o  +N  1o )  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  ( 1o  +N  1o )  <->  1o  e.  ( 1o  +N  1o ) ) )
1710, 15, 16mp2an 672 . 2  |-  ( 1o 
<N  ( 1o  +N  1o ) 
<->  1o  e.  ( 1o 
+N  1o ) )
1813, 17mpbir 209 1  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   (/)c0 3738   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   omcom 6579   1oc1o 7016    +o coa 7020   N.cnpi 9115    +N cpli 9116    <N clti 9118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-ni 9145  df-pli 9146  df-lti 9148
This theorem is referenced by:  1lt2nq  9246
  Copyright terms: Public domain W3C validator