Theorem 1lt2pi 5097

Description: One is less than two (one plus one).

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 4311	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 4281	. . . . 5 |- (1o e. om -> (1o +o (/)) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- (1o +o (/)) = 1o
4		0lt1o 4205	. . . . 5 |- (/) e. 1o
5		peano1 3206	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		nnaord 4293	. . . . . 6 |- (((/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om) -> ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 928	. . . . 5 |- ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o))
8	4, 7	mpbi 196	. . . 4 |- (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)
9	3, 8	eqeltrri 1592	. . 3 |- 1o e. (1o +o 1o)
10		1pi 5076	. . . 4 |- 1o e. N.
11		addpiord 5077	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
12	10, 10, 11	mp2an 709	. . 3 |- (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
13	9, 12	eleqtrri 1594	. 2 |- 1o e. (1o +N 1o)
14		addclpi 5085	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) e. N.)
15	10, 10, 14	mp2an 709	. . 3 |- (1o +N 1o) e. N.
16		ltpiord 5080	. . 3 |- ((1o e. N. /\ (1o +N 1o) e. N.) -> (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o)))
17	10, 15, 16	mp2an 709	. 2 |- (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o))
18	13, 17	mpbir 197	1 |- 1o <N (1o +N 1o)

Syntax hints:   <-> wb 153   = wceq 997   e. wcel 999  (/)c0 2331   class class class wbr 2674  omcom 3188  (class class class)co 4021  1oc1o 4186   +o coa 4188  N.cnpi 5037   +N cpli 5038   <N clti 5040

This theorem is referenced by:  1lt2pq 5143

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-ni 5065  df-pli 5066  df-lti 5068

Copyright terms: Public domain