MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Structured version   Unicode version

Theorem 1lt2pi 9272
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 7280 . . . . 5  |-  1o  e.  om
2 nna0 7245 . . . . 5  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  +o  (/) )  =  1o )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  =  1o
4 0lt1o 7146 . . . . 5  |-  (/)  e.  1o
5 peano1 6692 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 nnaord 7260 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  1o  e.  om  /\  1o  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o ) ) )
75, 1, 1, 6mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o 
+o  1o ) )
84, 7mpbi 208 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o )
93, 8eqeltrri 2539 . . 3  |-  1o  e.  ( 1o  +o  1o )
10 1pi 9250 . . . 4  |-  1o  e.  N.
11 addpiord 9251 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  =  ( 1o  +o  1o ) )
1210, 10, 11mp2an 670 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  =  ( 1o  +o  1o )
139, 12eleqtrri 2541 . 2  |-  1o  e.  ( 1o  +N  1o )
14 addclpi 9259 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  e.  N. )
1510, 10, 14mp2an 670 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  e. 
N.
16 ltpiord 9254 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  ( 1o  +N  1o )  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  ( 1o  +N  1o )  <->  1o  e.  ( 1o  +N  1o ) ) )
1710, 15, 16mp2an 670 . 2  |-  ( 1o 
<N  ( 1o  +N  1o ) 
<->  1o  e.  ( 1o 
+N  1o ) )
1813, 17mpbir 209 1  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823   (/)c0 3783   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   omcom 6673   1oc1o 7115    +o coa 7119   N.cnpi 9211    +N cpli 9212    <N clti 9214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-ni 9239  df-pli 9240  df-lti 9242
This theorem is referenced by:  1lt2nq  9340
  Copyright terms: Public domain W3C validator